2024-2025学年山西省大同市高二（上）期中数学试卷（A卷）（含答案）

2024-2025学年山西省大同市高二（上）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.如图，在四面体中，，且，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.若点在圆外，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知实数，，，满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成如图在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：为常数则( )
A. 若，，则曲线为椭圆
B. 若，则曲线为双曲线
C. 对任意实数、，曲线都不会是抛物线
D. 存在实数、，使得曲线是由直线组成的图形
10.在正方体中，，则( )
A. 若，则点的轨迹为线段
B. 若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段
C. 若，则三棱锥的体积为定值
D. 若，则与平面所成角的余弦值的最大值为
11.已知是抛物线：的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则( )
A. 若的纵坐标为，则
B. 若直线过点，则的最小值为
C. 若，则直线恒过定点
D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的焦距为，则 ______．
13.若圆：与曲线有两个公共点，则的取值范围为______．
14.已知，为双曲线：的左、右焦点，过点且垂直于一条渐近线的直线交的右支于点，若，则的离心率 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求两焦点分别为，，且过点的椭圆的标准方程；
求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程．
16.本小题分
已知圆：和点．
过点作一条直线与圆交于，两点，且，求直线的方程；
过点作圆的两条切线，切点分别为，，求所在的直线方程．
17.本小题分
如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，为底面圆周上的两点，且为等边三角形，是母线的中点，．
求平面与平面的夹角的余弦值；
设与交于点，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知点，是椭圆：的上、下顶点，点满足．
求点的轨迹方程；
是否存在点，使得过点的动直线交椭圆于，两点，且与的斜率之和为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知动点到直线的距离比到点的距离大，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过原点的一条直线与圆：相切，交曲线于另一点，且，求圆的方程；
已知直线与曲线交于，两点，若，求面积的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：设椭圆方程为，
两焦点分别为，，椭圆过点，
依题意，解得，所以椭圆方程为；
依题意设双曲线方程为，
双曲线过点的，
则，解得，
所以双曲线方程为．
16.解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或；
因为，则，
所以以点为圆心，为半径为圆的方程为，
联立，两式相减整理可得：，
即所在的直线方程为．
17.解：
如图，以为原点，垂直于面的直线，所在的直线，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．
根据题意得，，，，，，
所以．
令平面的法向量为，
所以，可取．
令平面的法向量为，
所以，可令，
令平面与平面的夹角为，
那么，．
如图，过点作于点，那么为中点，并且，
所以，，，
根据得，，所以，所以，
所以．
令直线与平面所成角为，
，．
18.解：由题，设，，，又，
所以，
化简得：，
所以点的轨迹方程为：；
存在，理由如下：
如图，设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
联立，化简得：，
可得，
由点在动直线上得，
即，
同理可得，，
所以，是方程的两个根，
则，则为定值，
令，则，代入动直线方程得，
，
令，得，代入动直线方程得，即，
点代入中轨迹方程得，
，解得：，
所以存在满足条件的点，坐标为或．
19.解：已知动点到直线的距离比到点的距离大，
所以动点到直线的距离与到点的距离相等，
根据抛物线的定义可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，
即动点的轨迹为；
联立，
解得，
设，
由对称性，不妨取，
则，
直线方程为，
即，
由圆：的圆心到的距离为，
所以，
故圆的方程为．
因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，
由，
可得，
由，
设，，
所以，，
因为，
所以，
即，
即，
将，代入得，，，
所以，且，
解得或．
设点到直线的距离为，
所以，
所以
，
所以的面积，
而或，
所以当时，的面积．
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