2024-2025学年吉林省四平市高二（上）期中数学试卷（A卷）（含答案）

2024-2025学年吉林省四平市高二（上）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.与直线垂直，且在轴上的截距为的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为，则其离心率为( )
A. B. C. D.
5.若圆：和圆：相切，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知直线：，点在圆上，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线与交于点，则( )
A.
B.
C. 点到直线的距离为
D. 点到直线的距离为
10.直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 以为直径的圆与准线相交
C. 设，则
D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为______．
13.过点作圆的切线，则切线方程为______．
14.椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且的离心率为，则的长轴长为______；直线：与交于，两点，若以为直径的圆过点，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，求满足下列条件的直线的一般方程．
经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍；
经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为．
16.本小题分
已知圆的方程为．
求实数的取值范围；
若圆与直线：交于，两点，且，求的值．
17.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点．
若，求的取值范围；
若，求的面积．
18.本小题分
如图，已知抛物线：与圆：交于，，，四点，直线与直线相交于点．
求的取值范围；
求点的坐标．
19.本小题分
已知等轴双曲线：的左，右顶点分别为，，且．
求双曲线的方程；
过点的直线交双曲线于，两点不与，重合，直线与直线的交点为，证明：点在定直线上，并求出该定直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：若直线经过原点，则方程为：，即．
若直线不经过原点，可设方程为：，
把点代入可得：，解得，方程为：，即．
综上可得直线的一般方程为：，或．
设直线的方程为：，把点代入可得：，
又，化为，
联立，
解得，
直线的一般方程为：，．
16.解：方程可化为，
此方程表示圆，
，即，即．
由可得圆心，半径，
则圆心到直线：的距离为，
由弦长公式及，得，解得，
，得．
17.解：若，则椭圆方程为，则，，
设，故，
所以，又，且，
则．
由题设，，
由，且，
所以，
综上，．
18.解：圆：，化为，
将抛物线的方程代入圆的方程有，，
由抛物线与圆相交有四个交点，必有
解得，
故的取值范围为；
设点，的坐标分别为，，
由对称性可知，，直线与直线相交于点．
点在轴上，点的坐标为，
由，可知，，有，可得，
直线的斜率为，直线的斜率为，
有，有，有，可得，
又由，有，
故点的坐标为．
19.解：因为等轴双曲线：的左，右顶点分别为，，且，
所以，，
解得，
则双曲线的方程为．
证明：由知，，
当直线的斜率存在时，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，且，
由韦达定理得，，
则直线的方程为，直线的方程为，
因为点是直线与直线的交点，
所以，
此时
，
解得；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
不妨设，，
则直线的方程为，直线的方程为，
因为点是直线与直线的交点，
所以，
解得；
综上，点在定直线上．
．
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