2024-2025学年重庆市万州三中等50多校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市万州三中等50多校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆：与：的位置关系为( )
A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切
2.若直线：与直线：平行，则( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译密码的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.空间内有三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
8.如图，在四面体中，平面平面，是边长为的正三角形，是等腰直角三角形，，是的中点，，，若平面，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有四个盲盒，每个盲盒内都有个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽、蓝色水晶崽崽、粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则( )
A. 与不互斥 B.
C. D. 与相互独立
10.在空间直角坐标系中，已知，，，，，，则( )
A. 为质数 B. 为直角三角形
C. 与所成角的正弦值为 D. 几何体的体积为
11.已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是( )
A. 若，则直线与圆相切
B. 若圆上存在两点关于直线对称，则
C. 若，则
D. 若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，互斥，则 ______， ______．
13.若点在圆的外部，则正实数的取值范围是______．
14.若过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为，，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，圆：．
证明：直线与圆相交．
记直线与圆的交点为，，求的最小值．
16.本小题分
某社团为统计居民运动时长，调查了某小区名居民平均每天的运动时长单位：，并根据统计数据分为，，，，，六个小组所调查的居民平均每天的运动时长均在内，得到的频率分布直方图如图所示．
求出图中的值，并估计这名居民平均每天的运动时长的中位数；
按分组用分层随机抽样的方法从平均每天的运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出人分享运动心得，若再从这人中选出人发言，求这人来自不同分组的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．
判断直线与是否垂直，并说明理由；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点．
判断是否存在点，使平面．
是否存在点，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的轨迹方程；
若直线与曲线交于，两点，求；
若曲线与轴的交点为，，直线：与曲线交于，两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上．
参考答案
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13.
14.或
15.证明：由直线：得，
即，解得，
直线过定点，
圆：的圆心，半径，
又，
点在圆的内部，
故直线与圆相交；
解：由，当且仅当时，弦长最短，
的最小值为．
16.解：根据题意可得，所以．
因为前几组的频率依次为，，，
所以中位数在内，设中位数为，则，得；
由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为，，
则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出人，人．
记时间段内的人分别为，，，，，
记时间段内的人为，
则从这人中选出人的基本事件有：
，，，，，，，，
，，，，，，，共个，
人来自不同分组的基本事件为：，，，，，共个，
所以这人来自不同分组的概率为．
17.解：和不垂直，理由如下：
设，则，
在中，，所以为等边三角形，所以，
因为，，所以，从而，
所以在直角中，，，
又因为，所以，所以在中，满足，
故为直角三角形，则，
又因为，，所以平面；
因为，所以，所以，
故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，，，，，
所以，，
所以，
所以不成立，故AB和不垂直．
由可知，，，所以平面，
故为平面的一个法向量，
又，，
设平面的法向量，
则，所以，即，
取，则，，
故，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：当点是的靠近点的三等分点时，平面，理由如下：
在中，，，所以，，，，
在中，由余弦定理知，，
所以，即，
因为平面，，平面，
所以，，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
所以，即，
因为平面，所以平面．
建立中的空间直角坐标系，则，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
由于平面平面，
所以，解得，
此时平面的法向量为，
而，
设与平面所成角为，则，，
故AB与平面所成角的正弦值为．
19.解：在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，
设，因为，所以，
即，整理得，
所以曲线的轨迹方程为；
直线与曲线交于，两点，
曲线的圆心到直线的距离，
所以；
证明：曲线与轴的交点为，，直线：与曲线交于，两点，直线与直线交于点，
设，，，
联立得，
，
设，，所以直线的方程为，直线的方程为，
因为直线与直线交于点，所以
则
，即，解得，
所以点在直线上．
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