2024-2025学年海南省海口市海南中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年海南省海口市海南中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.，分别为直线与上任意一点，则最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知、，则以为直径的圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
4.圆与圆的公切条数为( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
5.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若直线：与曲线：恰有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若圆：上恰有个点到直线：的距离为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子春分时，北京的阳光与地面夹角为，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线：与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有( )
A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线为
C. D. 点到抛物线的焦点的距离为
10.已知直线：，圆：，为圆上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为
11.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有( )
A. 若的周长为，则
B. 若当时，的内切圆半径为，则
C. 若存在点，使得，则
D. 若的最大值为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.动点到两定点、距离之和为，则点的轨迹方程为______．
13.设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为______．
14.法国数学家加斯帕尔蒙日发现：过圆：上任意一点作双曲线：的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆称作双曲线的蒙日圆过双曲线：的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，若，则的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
光线自点射到点后被轴反射．
求反射光线所在的直线的方程；
求过点且与入射光线垂直的直线方程请用直线的一般方程表达解题结果
16.本小题分
市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约米，短轴总尺寸约米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为黄金椭圆现有一黄金椭圆：其中，分别为其左顶点和右焦点，为上顶点．
求黄金椭圆的离心率；
某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
17.本小题分
已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上．
求；
求圆的方程．
18.本小题分
已知双曲线，，斜率为的直线过点．
若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值；
双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积．
19.本小题分
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
若圆是直线族的包络曲线，求，满足的关系式；
若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；
在的条件下，过曲线上，两点作曲线的切线，，其交点为已知点，若，，三点不共线，探究是否成立？请说明理由．
参考答案
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15.解：设入射点为，由、，可得，
所以反射光线所在的直线的斜率，
可得反射光线所在的直线为，即．
与入射光线垂直的直线，其斜率，
结合点在垂线上，
可知所求垂线的方程为，即．
16.解：由题意，设椭圆的焦距为，则，
又，得，即，，所以．
正确．理由如下；
设椭圆中心为，由
所以，即，
所以是直角三角形．
17.解：因为圆与交于，两点，
所以两圆方程作差得直线的方程为，
又圆，
所以点到直线的距离，
所以；
，圆，
则，，
则，
则直线的方程为，
即，
由，
解得，，
所以，
所以点到直线的距离，
设圆的半径为，
所以，
所以圆的方程为．
18.解：当时，，
则直线的方程为，
当时，联立方程组，
得，
由直线和双曲线相切的条件，可得，
解得；
双曲线的渐近线为，
所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点．
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或；
由双曲线，
则，，，
又点在双曲线上，即，即，
在中，由余弦定理，
即，
解得，
所以的面积．
19.解：由定义可知，与相切，
则圆的圆心到直线的距离等于，
则，即；
点不在直线族：的任意一条直线上，
所以无论取何值时，无解，
将整理成关于的一元二次方程：，
若该方程无解，则，即，
猜测直线族的包络曲线为，理由如下：
在上任取一点在该点处的切线斜率为，
于是可以得到在点处的切线方程为，即，
令直线族：中，则直线为，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意，都是抛物线在点处的切线，
所以直线族的包络曲线为；
如图，过，分别作准线的垂线，，连接，，
因为，又，，
所以，显然，
所以，又由抛物线定义得，
故为线段的中垂线，得到，
即，同理可知，
所以，即，
则，
所以成立．
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