2024-2025学年福建省名校联盟部分中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省名校联盟部分中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.若直线与曲线相切，则( )
A. B. C. D.
5.已知，均为锐角，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，均为正实数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量，，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象经过四个象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. 是递增数列
C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为
10.已知函数满足，则( )
A.
B. 点是曲线的对称中心
C. 在区间上单调递减
D. 若函数在区间上恰有两个极值点，则
11.已知函数的定义域为，满足，，则( )
A. B. C. 是偶函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列为等比数列，若，则数列的前项和为______．
13.已知函数的图象关于直线对称，则 ______．
14.在平面四边形中，若，，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的右焦点为，离心率为．
求的方程；
已知点，直线过且与交于，两点，若，求的方程．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求面积的最大值．
17.本小题分
如图，三棱柱中，点在底面的射影为，，，，，是的中点．
证明：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的体积．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的最小值；
若，求；
证明：．
19.本小题分
若有穷数列满足：；，则称为数列．
已知是数列，写出的所有可能值；
已知是数列，对任意给定的，将的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数列
证明：当时，是等差数列；
求中所有项的和．
参考答案
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14.
15.解：因为椭圆的右焦点为，
所以，
因为椭圆的离心率为，
所以，
解得，
则，
故椭圆的方程为；
当直线斜率不存在时，显然不满足条件；
当直线斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
所以的中点坐标为，
当时，满足条件，
此时的中垂线为；
当时，若，
此时直线与直线垂直，
因为，
整理得，
解得或．
综上所述，直线的方程为或或．
16.解：，
则，
由正弦定理可得，，
故，
，
则；
，
则，即，
由正弦定理可得，，
故，
由正弦定理可得，，
，
则，
所以，当时，等号成立，
故面积的最大值为．
17.证明：取的中点，连接，，
因为，所以，
因为点在底面的射影为，即平面，且平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，所以，
因为，分别为，的中点，所以，
因为，，平面，，，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面C.
解：以为原点，，所在直线分别为，轴，作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
则，，，，，
因为是的中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，解得舍负，
所以，
故三棱柱的体积．
18.解：当时，，，，
，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，则，所以，
设，，
所以，
令，因为，在上单调递减，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，即，
即．
由知，，即，所以．
证明：当时，由可得，成立；
当时，当时，，
由知，，则；
当时，，
由知，，即，所以，
则．
综上所述，．
19.解：，设，，
故，
因为或，
故．
证明：，设，，
所以，
不妨设，是中所有可能中的任意两个，
假设，，
不妨设，，，，
所以，
不妨设，，
则
，
即中的种表示中，其取值互不相等，
即数列中共有项，易得，
，故；，
故中恒成立．
故是以等差数列为首项，为公差的等差数列；
当时，只有两项，分别为，，故和为，
当，由可得，因为是等差数列，共有项，
故其所有和为．
综上，中所有项的和为．
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