2024-2025学年度上学期湖北省部分普通高中高二期中考试
数学试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. A
2. D
3. D
4. B
5. C
6. A
7. B
8. D
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. BD
10. AD
11. ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.
13.
14.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】(1)根据古典概型的概率计算公式直接求得结果;
(2)先分析事件包含的事件,然后可求其概率值,再根据的值求得结果.
【小问1详解】
样本空间为,,
所以
【小问2详解】
因为,所以,所以,
又因为,所以,
所以.
16.
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系,求得两条直线的方向向量,根据向量的夹角公式即可求解异面直线的夹角,
(2)求两个平面的法向量,然后利用法向量即可求得面面角的余弦值.
【小问1详解】
以为原点,以的方向分别为轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则
所以.
故
设直线与所成角为,则
【小问2详解】
因为,所以.
设平面的法向量为,
则,
令,得.
取平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为,
则,
故,
即平面与平面夹角的正切值为.
17.
【解析】
【分析】(1)利用百分位数定义、计算公式直接求解.
(2)根据定义先求出,,,,再利用频率分布表能求出结果.
【小问1详解】
设产品的某项质量指标值的70百分位数为,
则,
解得.
【小问2详解】
由,知,
则,,
该抽样数据落在内的频率约为,
,,
该抽样数据落在内的频率约为,
可以判断技术改造后的产品质量初稳定,但不能判定生产线技术改造成功.
18.
【解析】
【分析】(1)分类讨论直线是否经过原点,代入求出参数,由此可求结果;
(2)设出的方程,分别表示出的面积,结合基本不等式求解出四边形面积的最小值.
【小问1详解】
当经过时,设,代入,所以,即,
当不经过时,设,代入,解得,即,
所以直线的方程为或.
【小问2详解】
由题意设,
令,则,所以,令,则,所以,
所以,,
因为的倾斜角为,所以,
所以均为等腰直角三角形,
所以,
所以,
因为,所以,
当且仅当,即(舍)时取等号,
由二次函数性质可知,,当且仅当时取等号,
所以四边形面积的最小值为.
19.
【解析】
【分析】.
(1)以为坐标原点,分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系,求得、、、、、的坐标,直接由两点间的距离公式可得;
(2)把(1)中求得利用配方法求最值;
(3)求出两平面的法向量,根据面面夹角列方程求出参数,然后代入(1)可得.
【小问1详解】
因为,为正方形,所以,
又平面平面,所以,
如图建立空间直角坐标系,
,,,,
分别作,垂足分别为,
易知,
因为,由相似比可得,
所以, .
;
小问2详解】
,
当时,最小,最小值为;
【小问3详解】
,
设平面与平面的法向量分别为,
则,
,
令,得,
令,,
因为平面与平面夹角,
所以,
即,解得(增根已舍去),
所以此时.2024-2025学年度上学期湖北省部分普通高中高二期中考试
数学试卷
(时间:120分钟满分:150分考试时间:2024年11月22日)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是()
A. B. C. D.
2. 第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行,金牌榜前10名的国家的金牌数依次为,则这10个数的分位数是()
A. 14.5 B. 15 C. 16 D. 17
3. 如图,在四面体OABC中,,点在线段OA上,且为BC中点,则等于()
A. B. C. D.
4. 如图所示,下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图(1)形成对称形态,图(2)形成“右拖尾”形态,图(3)形成“左拖尾”形态,根据所给图作出以下判断,正确的是()
A. 图(1)的平均数=中位数>众数 B. 图(2)的众数<中位数<平均数
C. 图(2)的平均数<众数<中位数 D. 图(3)的中位数<平均数<众数
5. 如图,在长方体中,,,为中点,则到平面的距离为()
A. 1 B. C. D. 2
6. 已知定点,若直线过定点且方向向量是,直线过定点且方向向量是,直线在轴上的截距是,直线在轴上的截距是,则()
A. 2 B. C. 1 D.
7. 已知事件A,B满足,则( )
A. 若B A,则 B. 若A与B互斥,则
C. 若A与B相互独立,则 D. 若,则C与B相互对立
8. 设定点,当到直线距离最大时,直线与轴的交点,则此时过点且与直线垂直的直线方程是()
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 抛掷两枚质地均匀硬币,设事件“第一枚硬币正面向上”,事件“第二枚硬币反面向上”,下列结论中正确的是()
A. 与互为对立事件 B. 与为相互独立事件
C. 与相等 D.
10. 已知直线,直线,则下列结论正确的是()
A. 在轴上的截距为
B. 过点且可能垂直轴
C. 若,则或
D. 若,则
11. 在空间直角坐标系中,已知向量,点,设点,下面结论正确的是()
A. 若直线经过点,且以为方向向量,是直线上的任意一点,则
B. 若点,都不在直线上,直线的方向向量是,若直线与异面且垂直,则
C. 若平面经过点,且为平面的法向量,则平面外存在一点使得成立
D. 若平面经过点,且以为法向量,是平面内的任意一点,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 一组数据的平均数等于21,方差,则这组数据中______.
13. 在正方体中,,,分别是,,各棱的中点.则与平面所成角的余弦值________.
14. 在平面直角坐标系中,为直线上在第一象限内的点,,线段的垂直平分线分别交直线和直线于,两点.若,则点的横坐标为________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 袋中有形状、大小都相同编号为的只小球,从中随机摸出只小球,设事件:摸出或号小球,:摸出或号小球,:摸出或号小球.
(1)求事件发生的概率.
(2)求的值.
16. 如图,在棱长为1正方体中,、分别是棱,上的中点.
(1)求直线与所成角的余弦值;
(2)求平面与平面夹角的正切值.
17. 江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产.“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成,制作“草把龙”的稻草要长,颜色要鲜,成色要新.为了提高收割机脱粒和稻草的质量,某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造,为了分析改造的效果,该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台,检测产品的某项质量指标值,根据检测数据得到下表(单位:件)
质量指标值
产品 60 100 160 300 200 100 80
(1)估计产品某项质量指标值的70百分位数.
(2)经计算这组样本的质量指标值的平均数和方差分别是61和241.设表示不大于的最大整数,表示不小于的最小整数,精确到个位,,,根据检验标准,技术升级改造后,若质量指标值至少有落在内,则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定;若至少有落在内,则可以判断技术改造后的产品质量稳定,可认为生产线技术改造成功,请问:根据样本数据估计,是否可以判定生产线的技术改造是成功的?(参考数据:)
18. 已知直线过定点,直线的方程是.
(1)若直线的横截距为纵截距2倍,求直线的方程.
(2)若直线与,轴正半轴分别交于,两点,过,分别作直线垂线,垂足分别是,.求四边形面积最小值.
19. 在如图所示的试验装置中,两个正方形框架,的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子,分别在正方形对角线和上移动,且和的长度保持相等,记.
(1)求的长(用表示);
(2)为何值时,的长最小?
(3)当平面与平面夹角时.求的长.