2024-2025学年度上学期湖北省部分普通高中高二期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. A
2. D
3. D
4. B
5. C
6. A
7. B
8. D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BD
10. AD
11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
13.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式直接求得结果；
（2）先分析事件包含的事件，然后可求其概率值，再根据的值求得结果.
【小问1详解】
样本空间为，，
所以
【小问2详解】
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以.
16.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两条直线的方向向量，根据向量的夹角公式即可求解异面直线的夹角，
（2）求两个平面的法向量，然后利用法向量即可求得面面角的余弦值．
【小问1详解】
以为原点，以的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以．
故
设直线与所成角为，则
【小问2详解】
因为，所以．
设平面的法向量为，
则，
令，得．
取平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
故，
即平面与平面夹角的正切值为．
17.
【解析】
【分析】（1）利用百分位数定义、计算公式直接求解．
（2）根据定义先求出，，，，再利用频率分布表能求出结果．
【小问1详解】
设产品的某项质量指标值的70百分位数为，
则，
解得．
【小问2详解】
由，知，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为，
，，
该抽样数据落在内的频率约为，
可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
18.
【解析】
【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入求出参数，由此可求结果；
（2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值.
【小问1详解】
当经过时，设，代入，所以，即，
当不经过时，设，代入，解得，即，
所以直线的方程为或.
【小问2详解】
由题意设，
令，则，所以，令，则，所以，
所以，，
因为的倾斜角为，所以，
所以均为等腰直角三角形，
所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即(舍)时取等号，
由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号，
所以四边形面积的最小值为.
19.
【解析】
【分析】．
（1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标，直接由两点间的距离公式可得；
（2）把（1）中求得利用配方法求最值；
（3）求出两平面的法向量，根据面面夹角列方程求出参数，然后代入（1）可得．
【小问1详解】
因为，为正方形，所以，
又平面平面，所以，
如图建立空间直角坐标系，
，，，，
分别作，垂足分别为，
易知，
因为，由相似比可得，
所以， ．
；
小问2详解】
，
当时，最小，最小值为；
【小问3详解】
，
设平面与平面的法向量分别为，
则，
，
令，得，
令，，
因为平面与平面夹角，
所以，
即，解得（增根已舍去），
所以此时.2024-2025学年度上学期湖北省部分普通高中高二期中考试
数学试卷
（时间：120分钟满分：150分考试时间：2024年11月22日）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
2. 第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为，则这10个数的分位数是（）
A. 14.5 B. 15 C. 16 D. 17
3. 如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（）
A. B. C. D.
4. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）
A. 图（1）的平均数＝中位数＞众数 B. 图（2）的众数＜中位数＜平均数
C. 图（2）的平均数＜众数＜中位数 D. 图（3）的中位数＜平均数＜众数
5. 如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（）
A. 1 B. C. D. 2
6. 已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（）
A. 2 B. C. 1 D.
7. 已知事件A，B满足，则（ ）
A. 若B A，则 B. 若A与B互斥，则
C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则C与B相互对立
8. 设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 抛掷两枚质地均匀硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（）
A. 与互为对立事件 B. 与为相互独立事件
C. 与相等 D.
10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（）
A. 在轴上的截距为
B. 过点且可能垂直轴
C. 若，则或
D. 若，则
11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是（）
A. 若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则
B. 若点，都不在直线上，直线的方向向量是，若直线与异面且垂直，则
C. 若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点使得成立
D. 若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中______．
13. 在正方体中，，，分别是，，各棱的中点．则与平面所成角的余弦值________．
14. 在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，线段的垂直平分线分别交直线和直线于，两点．若，则点的横坐标为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 袋中有形状、大小都相同编号为的只小球，从中随机摸出只小球，设事件：摸出或号小球，：摸出或号小球，：摸出或号小球．
（1）求事件发生的概率．
（2）求的值．
16. 如图，在棱长为1正方体中，、分别是棱，上的中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的正切值．
17. 江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产．“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成，制作“草把龙”的稻草要长，颜色要鲜，成色要新．为了提高收割机脱粒和稻草的质量，某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）
质量指标值
产品 60 100 160 300 200 100 80
（1）估计产品某项质量指标值的70百分位数．
（2）经计算这组样本的质量指标值的平均数和方差分别是61和241．设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功，请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：）
18. 已知直线过定点，直线的方程是．
（1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程．
（2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积最小值．
19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．
（1）求的长（用表示）；
（2）为何值时，的长最小？
（3）当平面与平面夹角时．求的长．
