2024-2025学年广东省佛山一中高三（上）月考数学试卷（三）（A卷）（含答案）

2024-2025学年广东省佛山一中高三（上）月考数学试卷（三）（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，为单位向量，且，若，则，( )
A. B. C. D.
4.从社会效益和经济效益出发，某企业追加投入资金进行新兴产业进一步优化建设根据规划，本年度追加投入万元，以后每年追加投入将比上年减少，本年度企业在新兴产业上的收入估计为万元，由于该项建设对新兴产业的促进作用，预计今后的新兴产业收入每年会比上一年增加万元，则至少经过______年新兴产业的总收入才会超过追加的总投入( )
A. B. C. D.
5.设函数，则方程的实根个数为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右支上有一点，与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.在某次乓乒球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有名选手各比赛了场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了场，那么上述名选手之间比赛的场数是( )
A. B. C. D.
8.设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点，，则下列判断正确的是( )
A. 当时，，
B. 当时，，
C. 当时，，
D. 当时，，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是( )
A. 对应的点在复平面的第四象限 B. 是一个纯虚数
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 存在实数，使得是减函数 B. 存在实数，使得恰有个零点
C. 存在实数，使得有最小值 D. 存在实数，使得恰有个极值点
11.如图，已知矩形中，，，点为线段上一动点不与点重合，将沿向上翻折到，连接，设，二面角的大小为，则下列说法正确的有( )
A. 若，，则
B. 若，则存在，使得平面
C. 若，则直线与平面所成角的正切值的最大值为
D. 点到平面的距离的最大值为，当且仅当且时取得该最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.中国客家博物馆坐落于有“世界客都”之称的广东省梅州市城区，是一间收藏、研究、展示客家历史文化的综合性博物馆，其主馆是一座圆台形建筑，如图现有一圆台，其上、下底面圆的半径分别为米和米，母线长为米，则该圆台的体积约为______立方米结果保留整数
13.设，，，则的最大值为 ．
14.已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，直线过点交抛物线于，两点，且直线，分别过点，且均与轴平行，在直线，上分别取点，均在点，的右侧，和的角平分线相交于点，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了解高中学生对数学课是否喜爱是否和性别有关，随机调查名高中学生，将他们的意见进行了统计，得到如下的列联表．
喜爱数学课 不喜爱数学课 合计
男生
女生
合计
根据上面的列联表判断，能否有的把握认为“喜爱数学课与性别”有关；
为培养学习兴趣，从不喜爱数学课的学生中进行进一步了解，从上述调查的不喜爱数学课的人员中按分层抽样抽取人，再从这人中随机抽出名进行电话回访，求抽到的人中至少有名“男生”的概率．
参考公式：．
16.本小题分
如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成其中，，，点为弧的中点，且，，，四点共面．
证明：，，，四点共面；
若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求长．
17.本小题分
已知函数，，．
证明：关于的方程在上有且仅有一个实数根；
当时，，求实数的最大值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线交于，两点，点在双曲线上．
求线段中点的坐标；
若，过点作斜率为的直线与直线：交于点，与直线：交于点，若点满足，求的值．
19.本小题分
已知有穷数列满足，，，给定正整数，若存在正整数，，使得对任意的，都有，则称数列是连续等项数列．
判断数列：，，，，，，是否是连续等项数列，并说明理由；
若项数为的任意数列都是连续等项数列，求的最小值；
若数列：，，，不是连续等项数列，而数列：，，，，，数列：，，，，与数列：，，，，都是连续等项数列，且，求的值．
参考答案
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15.解：，
有的把握认为“喜爱数学课与性别有关”．
从不喜爱数学课的人员中按分层抽样法抽取人，男生应抽取人，设为，，女生应抽取人，
设为，，，，从中随机抽出人，总的情况为：
，，，，，，，
，，，，，，，，共种，
至少有名男生的情况数为，
故根据古典概型的公式，得．
16.解：证明：解析一：
连接，因为，，
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，，
在半圆上，是弧中点，所以，
所以，又，
所以，、、、四点共面．
解析二：
直三棱柱中，，以为原点，建立如图空间直角坐标系，
，设，
，，，，
则，，，
所以，、、、四点共面．
直棱柱中，，以为原点，建立如图空间直角坐标系，
，设，，，，
，，
设平面的法向量为．
则，有，化简得，取，
，，，，，
设平面的法向量为，
则，有，化简得，所以取，
平面与平面所成二面角即与夹角或其补角，
所以，
解得，所以．
17.解：证明：令，则，
所以
因此当时，，，当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
又因为
所以在无零点，在只有一个零点，
因此方程有且仅有一个根
令，
则
若，则当时，，
所以在上单调递增，又，所以恒成立；
当，则，
因为，所以，从而
因此当时，，
所以函数在单调递增，又，
因此，所以函数在单调递增，又，在恒成立
当时令，
因为必有一解，记为，
所以当时，，当时，
因此当时，单调递减，当时，单调递增，
又，所以在恒成立，
所以在上单调递减，又，所以与题意矛盾，
综上，所以的最大值为．
18.解：依题意，双曲线的离心率，则，
故双曲线的方程为，
联立，得，且，
设，，则，
设线段的中点为，故，
将代入直线：，得，
故线段的中点坐标为．
依题意，，则双曲线的方程为，
直线，又点在双曲线上，
所以，故直线的方程为，
由题可知，点，，均不重合，由易知为的外心，
设，，则，即，即，
线段的垂直平分线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，
联立，得，
联立，得，同理可得，
故，
故，进一步得到，
即，
则．
19.解：数列是连续等项数列，理由如下：
数列：，，，，，，中，，，，
即有，所以数列是连续等项数列．
设集合，，，，则中的元素个数为，
因为在数列中，，，，所以，
若，则，所以在，，，，这个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，即存在正整数，，使得，，
所以当项数时，数列一定是连续等项数列，
若，数列，，不是连续等项数列；
若，数列，，，不是连续等项数列；
若，数列，，，，不是连续等项数列；
若，数列，，，，，不是连续等项数列；
若，数列，，，，，，不是连续等项数列；
若，数列，，，，，，，不是连续等项数列；
若，数列，，，，，，，，不是连续等项数列；
若，数列，，，，，，，，，不是连续等项数列，
所以的最小值为．
因为，与都是连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数，，，使得，，，，
，，，，，，，，
下面用反证法证明，
假设，因为，，，，
所以，，，中至少有两个数相等，
不妨设，则，，，，
所以是连续等项数列，与题设矛盾，所以，
所以．
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