五环导学案：北师大数学八年级上册第一章（PDF版，无答案）

1.1 探索勾股定理（一）
一、激活思维
（1）在直角三角形中,任意两条边确定了,另外一条边也会随之确定吗？为
什么？
（2）三边之间存在着一种特定的数量关系吗？为什么？
二、探究新知
问题 1：下面图形以等腰直角三角形的三边作为边长，分别向外作出三个正方形
A、B、C，请你观察、思考、计算并填空：
①图 1-1 中，正方形 A的面积是____个单位面积；正方形 B的面积是____个单位
面积；正方形 C的面积是____个单位面积；
②图 1-2 中，正方形 A的面积是____个单位面积；正方形 B的面积是____个单位
面积；正方形 C的面积是____个单位面积；
你能发现 A、B、C三个正方形的面积之间有什么样的关系吗？
问题 2：在下面的方格纸上，任意画出一个顶点都在格点上的直角三角形，并分
别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，你所画的 3个正方形
面积之间有怎样的数量关系？
问题 3：如右图，如果 Rt△ABC 中两直角边分别记为 a、b, 斜边为 c，我们可以
把问题 1和 2的结论表示为： 。

A
c
b cb
C a B
a
小结：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的勾股定理，
其中：条件是______________,结论是_______________.我国古代把直角三角形
较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。
三、双基巩固
例 1：如图，在下列横线上填上适当的值：
x= , y= , n=
四、综合运用
例 2：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，AD⊥BC，垂足为 D，求
BC，AD 的长．
五、分层反馈
1．求下图中字母所代表的正方形的面积。
81
A
225 B
225
400
A=__________ B=____________
2．已知：如图，在△ABC 中，AB＝13，AC＝20，AD＝12，且 AD⊥BC，垂足为点
D，求 BC 的长．
3．如图，求等腰三角形 ABC 的面积．
4．（★）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长是 8cm，则图中的所有的正方形的面积之和是 ．
1.1 探索勾股定理（二）
一、激活思维
勾股定理
图形 定理条件 定理结论 直接应用
在 Rt △ ABC 中 ，
A
a=40，b=9，
c
b
则c2 =
C a B
二、探究新知
问题探究：如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是 a，
b，斜边长为 c）和一个边长为 c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定
理的图形，并利用此图形证明勾股定理．
方法 1：利用 4个全等的直角三角形拼出了右图的大正方形。
证明：从整体看，大正方形面积可以表示为： ，
如果分为五个部分来看，
又可以表示为：
+ + + + c2
则： =
因此：
方法 2：利用同样的 4个全等的直角三角形拼出了右图的正方形。
证明：从整体看，大正方形面积可以表示为： ，
如果分为五个部分来看，
又可以表示为：
+ + + + （b-a）2
则： =
因此：
三、双基巩固
例 1：如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方 4000
米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶 5000 米。飞机每秒飞行多少米？
四、综合运用
例 2：观察右图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a +b =c
在图（1）中 a,b,c 满足的关系式是： 它是 三角形。
在图（2）中 a,b,c 满足的关系式是： 它是 三角形。
五、分层反馈
1．一个直角三角形的斜边长为 20cm，且两直角边的长度比为 3：4，求两直角边
长。
2．如图，要修建一个育苗棚，棚高 h＝1.8m，棚宽 a＝2.4m，棚的长为 12m，现
要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
3.（★）（1）如图 1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）伽菲尔德（1881 年任美国第 20 届总统）利用（1）中的公式和图 2证明了
勾股定理（1876 年 4 月 1 日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明
2 2 2
过程．说明：c＝a +b ．
1.2 一定是直角三角形吗
一、探究新知
问题 1（猜想）在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。反过
来，如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直
角三角形吗？
问题 2（检验）下面的每组数是一个三角形的三边 a,b,c ，而且满足 a2 b2 c2 ：
3,4,5；5,12,13；8,15,17.分别以每组为三边长画出三角形，它们是直角三角形
吗？
问题 3（归纳）如果三角形的三边长 a,b,c 满足 ，那么这个三角形
是 三角形。
2 2 2
定义：满足 a +b =c 的三个 ，称为勾股数。常用的勾股数有：（3、
4、5）；（6、8、10）；（9、12、15）；（5、12、13）；（8、15、17）；（7、24、25）；
（9、40、41）。
问题 4（证明，选做）你能证明这个结论吗？
二、双基巩固
例 1：一个零件的形状如左下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC 都应为直
角,工人师傅量的这个零件各边尺寸如右下图所示，这个零件符合要求吗？
例 2：如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，试说明 BEF 的形状，并说
明你的判断理由。
三、综合运用
例 3：四边形 ABCD 中已知 AB=3, BC=4, CD=12, DA=13,且∠ABC=90°,求这个
四边形的面积。
四、分层反馈
1已知 a、b、c分别是△ABC 的三边，下列条件：①a＝12，b＝5，c＝13；②a：
b：c＝1：3：4；③a＝8，b＝15，c＝17；④a＝12，b＝11，c＝5．其中能判
断△ABC 为直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是（ ）
A. 是直角三角形; B. 可能是锐角三角形;
C. 可能是钝角三角形; D. 不可能是直角三角形.
3．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝CD＝24，AD＝BC＝50，E 是 AD 上一点，且 AE：
DE＝9：16，判断△BEC 的形状，并说明理由．
4.（★）阅读并回答问题：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a，b，c，
称为勾股数，在一次数学活动课上，王老师设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22﹣1 8 15 24
b 4 6 8 10
2
c 2 +1 10 17 26
（1）请你分别现察 a，b，c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n（n＞1）的代数
式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）猜想：以 a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．
（3）观察下列勾股数 32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其
中的规律，写出第五组勾股数
习题课 1：股定理及逆定理的基本运算
一、知识方法
（1）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那
么________.
（2）若 Rt△ABC 的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，则SRt△ABC=________.
（3）勾股逆定理：若三角形的三边分别是 a，b，c，且满足a2+b2= c2，则三角
形是以____为斜边的____________三角形.
二、典例精讲
【例 1】利用勾股定理求边长
（1）已知：如 A 图，在△ABC 中，AB＝13，AC＝20，BC＝21，AD⊥BC，垂足为
点 D．（1）求 AD 的长；（2）求 BD、CD 的长；（3）求△ABC 的面积．
（2）如图，四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且∠B=90°，求四边
形 ABCD 的面积．
（3）如图所示的一块草地，已知 AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=90°,
求这块草地的面积。
【例 2】勾股定理逆定理的应用
（1）（龙岗）下列条件中，不能判断△ABC 是直角三角形的是( )
A.a:b:c=3:4:5 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5
C.∠A+∠B=∠C D.a 2 : b 2 : c 2 3 : 4 : 5
（2）如图，每个小正方形的边长都为 1，△ABC 的顶点都在格点上．
（1）判断△ABC 是什么形状，并说明理由．（2）求△ABC 的面积．
三、进阶训练
1.下面能够成直角三角形三边长的是（ ）
A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12
2.分别满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为 1︰2︰3 B.三边长的平方之比为 1︰2︰3
C.三边长之比为 3︰4︰5 D.三内角之比为 3︰4︰5
3.已知三角形三边长为 a、b、c，如果(a 5)2 + b 12 + c2-26c+169=0，则△
ABC 是（ ）
A.以 a 为斜边的直角三角形 B.以 b 为斜边的直角三角形
C.以 c 为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形
4.若在一直角三角形中一直角边与斜边分别为 12、13，则面积为_____，斜边上
的高为______.
5.在△ABC 中，BC=10，AB=13，中线 AD=12，则 AC＝________.
6.(龙岗)在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点 C到 AB 的距离是 7.
在△ABC 中，∠C=90°，两直角边长之比为 3:4，斜边长为 25，则这个三角形的
面积是________.
7.如图，小方格都是边长为 1的正方形，求四边形 ABCD 的面积________.
Ｄ
Ａ
Ｃ
Ｂ
第 7 题图 第 8题图 第 9 题图
8．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求 AD 的长．
9.(罗湖)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC＝6cm，BC＝8cm，现将直
角边 AC 沿着直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为
_______cm．
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、B、C、D 均在
格点上．
（1）图中线段 BC 的长度平方为 ；
（2）求图中格点四边形 ABCD 的面积．
11．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为 1的正方形，△ABC 的顶点都在
格点上．（1）试判断△ABC 是什么三角形，并说明理由．(2)求△ABC 的面积．
1.3 勾股定理的应用（1）

一、激活思维
A
c
b
C a B
定理条件 定理结论 应用
勾股定理
勾股定理逆定理
二．探究新知
探究 1：如右图：有一个圆柱,它的高等于 12 厘米,底面半径等于 3厘米,
在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它想从点 A爬到点 B , 蚂蚁沿着圆柱
侧面爬行的最短路程是多少 (π的值取 3)
（1）想一想，尝试从 A到 B沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得
从 A点到 B点哪条路线最短？ B
A
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从 A点到 B点最短路线是什么？
B B
A
A
（3）蚂蚁从 A点出发，想吃到 B 点上的食物，他沿圆柱侧面爬行的最短路程是
多少？

A
c
b
C a B

A
c
b
C a B
探究 2：如图，长方体的长为 3cm，宽为 2cm，高为 4cm，点 B到点 C的距离为
1cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点 B，需要爬行的最短距离
是？
三、分层反馈
1．一个底面周长为 10cm，高为 12cm 的圆柱，有一只小虫从底部点 A 处爬到上
底 B 处，则小虫所爬的最短路径长是 cm．
2．如图 1，有一圆柱，它的高等于 8cm，底面直径等于 4cm（π＝3），在圆柱下
底面的 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与 A 相对的 B 点处的食物，需要爬
行的最短路程大约（ ）
A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm
3．如图，正方体的棱长为 2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从 A
点出发，到达 B点，则它运动的最短路程为
4．（★）如图，长方体的高为 3cm，底面是正方形且边长为 2cm，现有一只蚂蚁
从 A点出发，沿长方体表面到达 C点，求蚂蚁行走的最短路线．
1.3 勾股定理与逆定理的应用（2）

一、激活思维
A
c
b
C a B
定理条件 定理结论 应用
勾股定理
勾股定理逆定理
二．探究新知
探究 1：如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 和 BC 是否分别垂直于底边
但他随身只带了有刻度的卷尺，李叔叔量得 AD 长 30 厘米，AB 长 40 厘米，BD
长 50 厘米，则 AD 边垂直于 AB 边吗？
探究 2：如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆 AB 长 2.5 米，顶
端 A在 AC 上运动，量得滑杆下端 B距 C点的距离为 1.5 米，当端点 B向右移动
0.5 米时，求滑杆顶端 A下滑多少米？
探究 3：如图，甲、乙两船同时从 A 港口出发，甲船以每小时 30 海里的速度向
西偏北 32°的方向航行 2小时到达 C岛，乙船以每小时 40 海里的速度航行 2
小时到 B岛，已知 B、C两岛相距 100 海里，求乙船航行的方向．
三．分层反馈

A
c
b
C a B

A
c
b
C a B
1.如图 2，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测
量了下，发现 AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检
验一下挖的是否合格？
2.有一个水池,水面是一个边长为 10 尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦
苇,它高出水面 1 尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,
请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm．A
和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可
口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为？
4.（★）如图，将长方形 ABCD 边 AD 沿折痕 AE 折叠，使点 D 落在 BC 上的点 F
处，已知 AB＝6，△ABF 的面积是 24，求 DE 的长．
5．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口 A 出发，客船每小时比货船多走 5
海里，客船与货船速度的比为 4：3，货船沿东偏南 10°方向航行，2小时后
货船到达 B处，客船到达 C处，若此时两船相距 50 海里．（1）求两船的速度
分别是多少？（2）求客船航行的方向．
习题课：勾股定理与折叠综合运用
一、知识方法
（1）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那
么 ．
（2）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的 和
不变，位置变化， 和 相等．
二、典例精讲
例 1：（三角形）如图，点 D 在△ABC 的边 AC 上，将△ABC 沿 BD 翻折后，点 A恰
好与点 C重合，若 BC＝5，CD＝3，则 BD 的长
例 2：（长方形）如图，在长房形纸片 ABCD 中，AB＝12，BC＝5，点 E在 AB 上，
将△DAE 沿 DE 折叠，使点 A落在对角线 BD 上的点 A′处，则 AE 的长
例 3：（正方形）如图，将边长为 8cm 正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边
的中点 E处，点 A落在点 F处，折痕为 MN，则线段 CN 的长
三、进阶训练
1．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，将△ACE 沿着 AE 折叠以后 C 点正好落在 AB
边上的点 D处．
（1）当∠B＝28°时，求∠AEC 的度数；
（2）当 AC＝6，AB＝10 时，①求线段 BC 的长；②求线段 DE 的长．
2．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝3，BC＝5，在 CD 上任取一点 E，连接 BE，将
△BCE 沿 BE 折叠，使点 C恰好落在 AD 边上的点 F处，则 CE 的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3.如图，将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D落在 AB 边中点 E处，点
C落在点 Q处，折痕为 FH，则线段 AF 的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
4.如图，长方形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，将其沿直线 MN 折叠，使点 C 与点 A
重合，则 CN 的长
5.如图，长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点 A
恰好落在边 BC 的点 F处．若 AE＝10，BF＝6，则 CD 的长
单元复习课 1：勾股定理及其应用
一、问题导思
问题 1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系
问题 2：举例说明：如何判断一个三角形是否为直角三角形？
问题 3：举例说明：运用勾股定理可以解决那些问题？
问题 4：搜集并列举勾股定理的有关历史。
二、知识建构
问题 5：梳理本章内容,用适当的方式（可以用表格、思维导图、列要点）呈现
全章知识结构。
三、考点精讲
考点 1：勾股定理与面积
例 1：如图，方格纸上每个小正方形的面积为 1个单位．
（1）在方格纸上，以线段 AB 为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释
你的计算方法．
（2）你能在图上画出面积依次为 5 个单位、10 个单位、13 个单位的正方形
吗？
考点 2：勾股定理的计算
例 2：如图 BC 长为 3cm，AB 长为 4cm，AF 长为 12cm，正方形 CDEF 的面积=
例 3：如图，在一只底面半径为 3cm，高为 8cm 的圆柱体状水杯中放入一支 13cm
长的吸管，这支吸管露出杯口的长度=
考点 3：判断直角三角形
例 4：相传，古埃及人用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段．并把它摆
成△ABC 的形状，如图所示，工人们按这种造型在金字塔等建筑的拐角作出直
角，试问这种“张绳法”能否得到一个直角三角形呢？请同学们动手试一试，
并说明理由．
例 5：五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角
三角形，如图，其中正确的是（ ）
A B C D
考点 4：勾股定理的应用
40
例 6：如图，一个底面直径为 cm，高为 30cm 的糖罐子，一只蚂蚁从 A处沿着

糖罐的表面爬行到 B处，则蚂蚁爬行的最短距离是
例 7：如图是一个滑梯示意图，若将滑梯 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长．已
知滑梯的高度 CE＝3m，CD＝1m，求滑道 AC 的长= ．
四、易错突破
易错 1: C 不一定是直角
例：在Rt ABC 中,若 AC=3,BC=4,则AB 2 .
易错 2:三角形不一定是直角三角形
例：在 ABC 中， A, B, C 所对的边分别是a,b,c ，且a 3,b 4,若三边长
为连续整数，则 c= .
易错 3:忽略展开图的多种情况
例：如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B离点 C的距离是 5，一只
蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点 B，需要爬行的最短距离是多少？
易错 4:忽略多图情况
例：（★）在△ABC 中，AB＝15，AC＝20，BC 边上的高 AD＝12，试求 BC 的长．
五、达标测试（时间 25 分钟，满分 50 分；客观题每题 3 分,分数： ）
1．如果直角三角形的两直角边长是 9，12，那么斜边长为（ ）
A．15 B．13 C．17 D．19
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
2 2 2
A．b ＝c ﹣a B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝12：13：15
3．下面说法正确的是（ ）
2 2 2
A．在 Rt△ABC 中，a +b ＝c
B．在 Rt△ABC 中，a＝3，b＝4，那么 c＝5
C．直角三角形两直角边都是 5，那么斜边长为 10
D．直角三角形中，斜边最长
4．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边扩大到原
来的（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
5．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合
直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．13，16，18
6．如图，将一根长为 8cm（AB＝8cm）的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端 A
和 B，然后把中点 C 竖直地向上拉升 3cm 至 D 点，则拉长后橡皮筋的长度为
（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
7．如图是某地的长方形广场的示意图，如果小明要从 A 角走到 C角，那么至少
要走（ ）
A．90m B．100m C．120m D．140m
8．如图，一圆柱高 5cm，底面半径 4cm，一只蚂蚁从点 A爬到点 B处吃食，要爬
行的最短路程（π取 3）是（ ）
A．13cm B．26cm C．17cm D．9cm
9．在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，a＝3cm，b＝4cm，则第三边的平方是 ．
10．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，CD⊥AB，垂足为 D．则
CD 的长为 ．
11．(4 分)已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，求 AC 的长．
12．(4 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足
为 D，求 AB 和 CD.
13．(6 分)甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了
避免走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米，早晨
8：00 甲先出发，他以 6 千米/时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5
千米/时的速度向北行进，上午 10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系
吗？
14．(6 分)观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，
a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当 a＝19 时，求 b、c的值；
（2）当 a＝2n+1 时，求 b、c的值；
（3）用（2）的结论判断 15，111，112 是否为一组勾股数，并说明理由．
单元错题笔记
题号 错题与错解 错因与正解
题号 错题与错解 错因与正解