重庆市第七中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 （含答案）

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重庆市第七中学校2024—2025学年度上期高2026级半期考试
数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线经过点，，则直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 若直线与直线互相垂直，则实数的值是（）
A. 1 B. －1 C. 4 D. －4
3. 如图，在空间四边形中，设分别是，的中点， 则（）
A. B.
C. D.
4. 平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（）
A. B.
C. D.
5. 已如是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，则的面积等于（）
A. 24 B. 26 C. D.
6. 我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）
A. B.
C D.
7. 点是圆：上一动点，过点向圆：作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（）
A. B. C. D.
8. 设，分别为椭圆：（）的左、右顶点，是上一点，且，则的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（）
A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的离心率为
C. D.
10. 已知直线：和圆：，则下列选项正确的是（）
A. 直线恒过点
B. 圆与圆：有三条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 圆上恰有4个点到直线的距离等于，则
11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（）
A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间的量，，若，则______.
13. 设为实数，若直线与曲线有公共点，则实数取值范围是______.
14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数满足，则最小值为______，的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16. 已知点圆上．
（1）求该圆的圆心坐标及半径长；
（2）过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．
17. 已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在第一象限，且，求点P横坐标的取值范围．
18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为.
（1）求证：平面BDE；
（2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离；
（3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围.
19. 已知点，是平面内不同的两点，若点满足(，且)，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的—阿波罗尼斯圆.若点满足()，则点的轨迹是以为“稳点”的—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，(）.
（1）当，时，若点的轨迹是以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆，求点的轨迹方程；
（2）在(1)的条件下，若点在以为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求(为原点）的取值范围；
（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，试判断是否存在实数，，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由.
重庆市第七中学校2024—2025学年度上期高2026级半期考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】C
4.
【答案】B
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】D
8.
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ABC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】13
13.
【答案】
14.【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，证明，从而得出平面；
（2）求得直线的方向向量，由（1）知平面的法向量，结合线面角的向量公式即可得解.
【小问1详解】
因为四边形为正方形，底面，所以，，两两相互垂直，
如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16.
【解析】
【分析】（1）先根据点在圆上求出参数，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；
（2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解.
【小问1详解】
因为点在圆上，
所以，解得，
所以该圆的标准方程为，
所以该圆的圆心坐标为，半径长为；
【小问2详解】
因直线过点，斜率为，
所以直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以.
17.
【解析】
【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得，进而求得即可；
（2）设，从而可求得，再把代入求解即可.
【小问1详解】
由已知得，，
，，，
同理，
，
，，
椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
设，且，则，，
．
由椭圆方程可得，
整理得，所以，
即点的横坐标的取值范围是．
18.
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到⊥平面，⊥，又平行四边形为菱形，故⊥，又，从而得到线面垂直，
（2）建立空间直角坐标系，由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，利用点到平面的距离向量公式求出答案；
（3）设，求出，求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，从而得到，换元后，得到.
【小问1详解】
连接，因为在平面ABC内的射影为，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，⊥，
因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点，
所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，四边形为平行四边形，
所以平行四边形为菱形，故⊥，
因为D，E分别是线段，的中点，所以，
故⊥，
因为，平面，
所以⊥平面；
【小问2详解】
由（1）知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为⊥，D是线段的中点，
所以由三线合一可得，
又，故为等边三角形，
，
由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，
点到平面BDE的距离；
【小问3详解】
点F为线段上的动点（不包括端点），设，
，则，故，故，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
又平面的一个法向量为，
故，
令，
则，
因为，故，
，
平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是.
19.
【解析】
【分析】(1)由题意可知，设：，则，整理计算即可求解；
(2)设，由定义得到，从而有，
求得，再由，即可求解；
(3)由，及定义得到以为“稳点”一阿波罗尼斯圆的方程：
，再结合对称性及得到—卡西尼卵形线，
关于点对称，从而得到推出矛盾，即可解决问题.
【小问1详解】
由已知，且，设：，则：，
∴，整理得：，
∴点的轨迹方程为：.
【小问2详解】
由(1)知，，设，由，
得，所以，
，整理得，即，
所以，，由，得，
即的取值范围是.
【小问3详解】
若，则以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，
整理得，该圆关于点对称.
由点，关于点对称及，
可得—卡西尼卵形线关于点对称，
令，解得，与矛盾，
所以不存在实数，，使得以为稳点的一阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.
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