山东省泰安市2025届高三上学期11月期中考试数学试题（含答案）

1
高三年级考试
数学试题
2024.11
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 命题的否定为（）
A. B.
C D.
3已知，，，且，则（）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 12
4. 函数的部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
5. 已知等差数列的前n项和为，，，则（）
A. 220 B. 240 C. 260 D. 280
6. 已知，则（）
A. B. C. D.
7. “函数的图象关于对称”是“，”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
8. 已知对任意恒成立，则的解集为（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知a，b，，则下列命题正确的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 已知函数，则下列选项正确的是（）
A.
B. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称
C. 是函数的极大值点
D. 当时，函数的值域为
11. 已知各项均为正数的数列的前n项和，，，则下列选项正确的是（）
A. B. 数列是递减数列
C. D. ，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数定义域为__________.
13. 已知数列满足，设的前n项和为，若，则__________.
14. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，其中，.
（1）若，最小正周期为，求的单调递增区间；
（2）若函数的部分图象如图所示，其中，，求的解析式.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）讨论方程（）解的个数.
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，的面积为S，且.
（1）求A；
（2）若，求S的最大值.
18. 已知函数.
（1）若，是定义在上的函数，，.证明：当时，为周期函数.
（2）若曲线在处的切线方程为，设（），为的导函数，且有两个极值点，（）.证明：.
19. 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1.证明当（）时命题成立；2.假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有自然数n都成立.已知有穷递增数列，，，且.定义：集合，若对，，使得，则称具有性质T.
（1）若数列，1，2，m（）具有性质T，求实数m的值；
（2）若具有性质T，且，，
（ⅰ）猜想当时的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想；
（ⅱ）求（）.
高三年级考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】A
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】B
8.
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BC
10.
【答案】BCD
11.
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.【答案】123
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）由周期公式确定函数解析式，再由整体代换即可求解；
（2）由两点可确定周期，再结合可得即可求解.
【小问1详解】
因为函数，，的最小正周期为，
所以，解得：，又，
所以，
由，
解得：，
所以的单调递增区间为：.
【小问2详解】
由，，
可得，即，得：
同时，结合，
可得：，
所以
16.
【解析】
【分析】（1）根据函数的导函数与函数的单调性的关系可得函数单调区间；
（2）由（1）得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值和极小值，由此讨论出在对应取值范围内方程解的个数.
【小问1详解】
的定义域为，
，
由，可得，由，可得或，
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
【小问2详解】
由（1）可知函数在，上单调递增；函数在上单调递减，
∴在时函数取极大值：；在时函数取极小值：，
又∵，，∴，
可得函数的大致图象，
∴当时，有0个解；
当或时，有1个解；
当时，有3个解；
当时，有2个解.
17.
【解析】
【分析】（1）通过二倍角公式与余弦定理化简原式，即可求得；
（2）借助余弦定理和基本不等式可以求得面积最大值.
【小问1详解】
由得，
，
化简得，，又根据余弦定理
，则代入上式可得即，
因为A为锐角，所以.
【小问2详解】
，由，
，则，，
所以S的最大值为.
18.
【解析】
【分析】（1）首先根据偶函数的判定得为偶函数，再计算得，则证明其为周期函数；
（2）直接求导，根据得到值，则得到的解析式，两次求导得到再结合韦达定理得到，作差化简得，将原不等式转化为证明，再设新函数求导即可.
【小问1详解】
时，，
，则
，
为偶函数.
①，，
②，；
③，.
，为偶函数.
，，
，，
即为周期函数.
【小问2详解】
由题意得，
由已知，，，
，，
，
设
.
由已知，为在上的两个不等实根，且，
，.
，
，
要证:，
只需证，
即证.
设，则，
在上单调递减，又.
.
，
原不等式成立.
19.
【解析】
【分析】（1）讨论的不同取法，根据性质的定义，结合数列的单调性，即可求得参数值；
（2）（ⅰ）猜想，再利用数学归纳法，结合性质的定义，分类讨论，即可证明；
（ⅱ）利用（ⅰ）中所求通项公式，利用裂项求和法，即可求得结果.
【小问1详解】
由已知，数列具有性质，
当时，取，满足题意；
当时，取，满足题意；
当时，，此时中有且仅有一个数为，
若，则，不满足题意；
若，则或或，
又因为，故；
综上所述，.
【小问2详解】
（ⅰ）猜想.
当时，满足题意；
假设时，成立，则当时，
若，则取满足题意；
若，则中有且仅有一个数为，
当时，设，则，
故，当且仅当时，取得等号；
当时，设，则，
记，则；
因为对任意的，都有在中取到，
则，即；
故，故成立；
综上，.
（ⅱ）因为时，
故
.
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