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重庆外国语学校
2024—2025学年度(上)高2025届11月半月考
数学试题
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选题项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则()
A. B. C. D.
2. “”,是“”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若,,且,则与的夹角为()
A. B. C. D.
4. 已知,则下列不等关系中不恒成立的是()
A. B.
C. D.
5. 已知,,,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
6. 已知为第一象限角,且,则()
A. 9 B. 3 C. D.
7. 已知函数,,函数,若为偶函数,则的值为()
A. B. C. D.
8. 武汉外校国庆节放7天假(10月1日至10月7日),马老师、张老师、姚老师被安排到校值班,每人至少值班两天,每天安排一人值班,同一人不连续值两天班,则不同的值班方法共有()种
A. 114 B. 120 C. 126 D. 132
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列关于概率统计的知识,其中说法正确的是()
A. 数据,0,2,4,5,6,8,9的第25百分位数是1
B. 已知随机变量,若,,则
C. 若一组样本数据(,2,…,n)的对应样本点都在直线上,则这组样本数据的相关系数为
D. 若事件M,N的概率满足,且,则M与N相互独立
10. 已知函数上有且仅有4个零点,则()
A.
B. 令,存在,使得偶函数
C. 函数在上可能有3个或4个极值点
D. 函数在上单调递增
11. 设函数,则( )
A. 当时,直线是曲线的切线
B. 若有三个不同的零点,则
C. 存在,使得为曲线对称轴
D. 当时,在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 的展开式中的常数项为___________.(用数字作答)
13. 已知函数,m为正的常数,则的零点之和为________.
14. 掷一个质地均匀的骰子,向上的点数不小于3得2分,向上的点数小于3得1分,反复掷这个骰子,(1)恰好得3分的概率为____________;(2)恰好得n分的概率为____________.(用与n有关的式子作答)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的面积为,且满足,设和的夹角为,
(1)求的取值范围;
(2)求函数的值域.
16. 已知数列的前项和满足.
(1)求通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
17. 已知椭圆的离心率为,其左,右焦点分别为,,点P是坐标平面内一点,且,,其中O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点,且斜率为的动直线l交椭圆于A,B两点,求弦AB的垂直平分线在轴上截距的最大值.
18. 驾驶员考试(机动车驾驶员考试)是由公安局车管所举办的资格考试,只有通过驾驶员考试才能取得驾照,才能合法的驾驶机动车辆.考试内容和合格标准全国统一,根据不同准驾车型规定相应的考试项目.机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目(以下简称“科目一”)、场地驾驶技能考试科目(以下简称“科目二”)、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目(以下简称“科目三”).申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后,就可以领取驾驶证.某驾校经统计,驾驶员科目一考试平均通过的概率为,科目二:平均通过的概率为,科目三平均通过的概率为.该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试.
(1)记这4名学员参加驾驶员考试,通过考试并领取驾驶证的人数为X,求X的分布列和数学期望及方差;
(2)根据调查发现,学员在学完固定的学时后,每增加一天学习,没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4,请问这4名学员至少要增加多少天的学习,才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证 (我们把概率超过0.99的事件称为必然事件,认为在一次试验中必然事件一定会发生)
参考数据:,
19. 已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)已知有两个极值点.
(ⅰ)求的取值范围;
(ⅱ)若的极小值小于,求的极大值的取值范围.
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2024—2025学年度(上)高2025届11月半月考
数学试题
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选题项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.
【答案】ABD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ABD
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.
【答案】50
13.【答案】
14.【答案】 ①. ②.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】(1)根据题意由三角形面积公式可得,继而可得或,结合的范围即可求解;
(2)利用和差公式、降幂公式、倍角公式及辅助角公式化简可得,由(1)所求的的范围可得的范围,继而即可求得值域.
【小问1详解】
由题,
可得,
又,
所以,
得到或,
因为,
所以.
【小问2详解】
,
因为,
故,
故可得.
16.
【解析】
【分析】(1)应用求出通项公式;
(2)方法一应用错位相减法计算求和;方法二应用待定系数法结合累加即可求解.
【小问1详解】
当时,.
当时,由,得,
则.
因为,所以.
【小问2详解】
方法一:由(1)可得.
则,①
则,②
①-②,得
,
从而.
方法二:由(1)可得,令,则
令,且,
则,
整理得,
则解得
故.
.
17.
【解析】
【分析】(1)设,根据题意列出对应等式,解方程后即可求得a和b的值,得到椭圆方程;
(2)设出直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求出中点坐标公式,当直线的斜率存在时,利用直线的点斜式方程,求得AB的垂直平分线方程,令y=0,求得x,再利用基本不等式即可得解.
【详解】(1)由题知,,
设,又,
,
,
,从而,,
故椭圆C的方程为;
(2)设直线l的方程为,,,
联立方程:,消去y得:,
显然,
又,,
,
则AB的中点坐标为,
当AB的斜率k为零时,AB的垂直平分线为y轴,横截距为0;
当时,AB垂直平分线的方程为:,
令,
当时,,
当时,,那么,
当且仅当,即时等号成立,
所以当时,弦AB的垂直平分线在x轴上的截距有最大值,为.
18.
【解析】
【分析】(1)根据题意可知,分步计算即可;
(2)增加k(k为正整数)天学习后,每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为,若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证,有,利用用对数运算求解不等式.
【小问1详解】
1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为,根据题意可知,
X的取值分别为0,1,2,3,4,
,
,
,
,
,
故X的分布列为:
X 0 1 2 3 4
P
,;
【小问2详解】
增加k(k为正整数)天学习后,
每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为,
若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证,有,
有,有,有,
又由
.
可得,
故这4名学员至少要增加6天的学习,才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证.
19.
【解析】
【分析】(1)求导,结合导数的几何意义求切线方程;
(2)(ⅰ)分析可知原题意等价于有两个不同的正实数根,结合基本不等式分析求解;(ⅱ)设有两个不同的正实数根,根据单调性可知的极值点,结合零点代换可得,构建,结合单调性分析可得,则,即可得取值范围.
【小问1详解】
当时,则,,
可得,,
即切点坐标为,切线斜率,
所以曲线在处的切线方程为,即.
【小问2详解】
(ⅰ)由题意可知:的定义域为,,
令,可得,
原题意等价于有两个不同的正实数根,
因为,当且仅当,即时,等号成立,
可知,所以的取值范围;
(ii)由(i)可知:有两个不同的正实数根,,
不妨设,可知,
当时,;当或时,;
可知在,上单调递增,在上单调递减,
所以为的极小值点,为的极大值点,
对于的极值点,则,
可得,
设,则,
当时,;当时,;
可知在内单调递增,在上单调递减,
则,可知,则,
又因为在区间上单调递增,则,
所以的极大值的取值范围是.
【点睛】方法点睛:利用导数研究函数极值、最值的方法
(1)若求极值,则先求方程的根,再检查在方程根的左右函数值的符号;
(2)若探究极值点个数,则探求方程在所给范围内实根的个数;
(3)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解;
(4)求函数f(x)在闭区间的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值,与的各极值进行比较,从而得到函数的最值.
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