四川省成都市玉林中学2024-2025学年高三上学期11月诊断性评价数学试题（含答案）

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成都市玉林中学高2022级11月诊断性评价试题
数学
考试时间：120分钟；总分：150分；
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（）
A. B. C. D.
3. 已知，则“”是“”成立的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 将函数）的图像向右平移（0＜＜）个单位后的图像关于y轴对称，则＝( )
A. B. C. D.
5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）
A. B.
C D.
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 在中，角所对边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 设向量，，则（）
A. B. 与的夹角为
C. 与共线 D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数上单调递增
C. 函数的图象关于直线对称
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
11. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点
B. 函数的图像与函数的图像没有公切线
C. 函数，则有极大值，且极大值点
D. 当时，恒成立
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 值是___________.
13. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.在点测得塔顶的仰角，且，则塔高为______
14. 已知函数有两个零点，则的取值范围为_________．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 设函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，若，，求的外接圆的面积．
16. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.
（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男
女
合计
（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
附表：
0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001
2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828
附：，其中.
17. 如图的多面体是由一个直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
18. 已知点F为抛物线E：（）的焦点，点P（ 3，2），，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）求证：直线BC过定点；
（3）若直线BC所过定点为点Q，△QAB，△PBC面积分别为S1，S2，求的取值范围
19. 若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数”
（1）证明：为“切合函数”；
（2）若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
成都市玉林中学高2022级11月诊断性评价试题
数学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】D
6.
【答案】C
7.
【答案】B
8.
【答案】C
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9.
【答案】AD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.
【答案】##
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换可得，利用正弦型函数的图象与性质，即可求解单调递减区间；
（2）由题可得，然后利用正弦定理求解外接圆的直径，即可求解外接圆的面积．
【小问1详解】
由题可知，
令，解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
【小问2详解】
由题可得，又，
∴，即，又，
所以的外接圆直径，
所以，的外接圆面积．
16.
【解析】
【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可；
（2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可
【小问1详解】
零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下：
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男 40 20 60
女 50 10 60
合计 90 30 120
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05
【小问2详解】
由题意得，经常进行体育活动者的频率为，
所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得，
所以，
，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
的数学期望为，的方差为.
17.
【解析】
【分析】（1）结合题意由余弦定理可得，由勾股定理可得，由直四棱柱的性质及线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的正弦值公式可得，利用平方关系可得，继而即可求解.
【小问1详解】
证明：在中，因为，，
所以由余弦定理得，，
所以，
所以，即，
在直四棱柱中，平面，平面，
所以，因为平面，平面，，
所以平面.
【小问2详解】
因为，，两两相互垂直，
所以以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，得，，
所以，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，解得，
因为，，
设直线与平面所成角为，且，
所以，
从而，所以．
所以直线与平面所成角的正切值为．
18.
【解析】
【分析】（1）利用表示出，化简即可求出答案.
（2）设出直线，联立直线与抛物线，利用韦达定理则可表示出两点的关系.再由点写出直线，联立直线与抛物线，利用韦达定理则可表示出两点的关系.写出直线的方程，根据两个关系式消掉点，则可得出结论.
（3）将、用点表示出来，再利用韦达定理用直线的斜率表示出，最后化简即可得出答案.
【小问1详解】
焦点，∵，∴
抛物线E的标准方程为
【小问2详解】
显然．直线斜率存在，设的方程为
由，化简得：，
设，则，
∴①
直线的方程为，
由化简得：，
设则②
由①②得，∴③
（ⅰ）若直线没有斜率，则，又，∴，∴，
∴的方程为．
（ⅱ）若直线有斜率，为，
直线的方程为，即，
将③代入得，∴，
故直线有斜率时过点．
由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过点．
小问3详解】
由（2）得，
，∴，且，
设，
∵，且，∴∴，
故的取值范围是．
19.
【解析】
【分析】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证；
（2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可.
【小问1详解】
假设存在两个不同的数，满足题意，
易知，由题意可得
，
即，
，，，
，
又，
所以.
因为，即，
化简可得，又，
所以，
代入，
可得或，
所以为“切合函数”.
【小问2详解】
由题意知，
因为为“切合函数”，
故存在不同的数(不妨设)使得
，
即，
整理得，
（ⅰ）先证，
即，
，
令，则由，知，
要证，只需证，
即，
设，
易知，
故在单调递减，所以，
故有，
由上面的式知,
所以.
（ⅱ）由上面的得，
，
又，
所以且，
故要证，
只需证，
即，
设，
则即证
，
设，
则，
即也就是在单调递增，
，
所以在单调递增，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以原不等式成立.
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