第3课时 二次函数的图象与性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 抛物线与之间的关系
1．将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
2．要得到抛物线，可将抛物线（ ）
A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位
C．向右平移4个单位 D．向左平移4个单位
知识点2 二次函数的图象与性质
3．[2024新化模拟]二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024汕头模拟]对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小
D．顶点坐标为
5．已知二次函数.
（1） 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2） 图象的开口方向是____，对称轴是________，顶点坐标是____________.
（3） 当________时，随的增大而增大；当________时，随的增大而减小.
（4） 当____时，取最__值，其最值是____.
易错点 运用增减性确定字母取值范围时出错
6．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为________.
B组·能力提升 强化突破
7．[2024惠州模拟]已知二次函数，当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则常数的值为（ ）
A．1或3 B．或1 C．3或5 D．或5
8．对于二次函数的图象，三名同学分别说出了它的一些特点.
甲：开口向上.
乙：对称轴是直线.
丙：与轴的交点到原点的距离为2.
满足上述全部特点的二次函数的表达式为______________________.
9．已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内.
（1） 求的值；
（2） 过点作轴交抛物线于点，若的值为3，试求的面积.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．【几何直观，推理能力】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点.
（1） 求点，的坐标及的面积；
（2） 写出抛物线的对称轴；
（3） 在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
第3课时 二次函数的图象与性质
课堂导学
知识梳理
； ； 上； 增大； 减小； 小； 下； 减小； 增大； 大
例题引路
【思路分析】先画出函数的图象，然后结合图象解答与性质有关的问题.
例 （1） 【规范解答】画出函数图象如答图所示.
例题答图
例 （1） 开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是.
（2） 当 时，随 的增大而减小；当 时，随 的增大而增大.
（3） 它可以看作由抛物线 向左平移1个单位得到.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 抛物线与之间的关系
1．D 2．D
知识点2 二次函数的图象与性质
3．B 4．D
5．（1） 解：函数图象如答图.
第5题答图
（2） 向上； ；
（3） ；
（4） 1； 小； 0
易错点 运用增减性确定字母取值范围时出错
6．
B组·能力提升 强化突破
7．D
8．
[解析] 对称轴为直线，，
.
图象与轴的交点到原点的距离为2，
图象与轴交于点或，把代入，得，；
把代入，得，.
图象开口向上，，，
所求的二次函数的表达式为.
9．（1） 解： 点 是抛物线上的点，,
解得或.
点在第一象限内，.
（2） 的值为3，
二次函数的表达式为，
点的坐标为.
轴交抛物线于点，
,解得或.
点的坐标为.
.
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1） 解：令，则，
解得,
点,
令，则， 点.
.
（2） 抛物线的对称轴为直线.
（3） 以，，，为顶点的四边形为平行四边形，，
当点在点的上方时，点的坐标为，
当点在点的下方时，点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形.第4课时 二次函数的图象与性质
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知识点1 二次函数图象的平移
1．[2023广西]将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024滨州]将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为____________.
知识点2 二次函数的图象与性质
3．二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024邢台模拟]若二次函数有最小值，则“”中可填的数是（ ）
A．2 B． C．0 D．
5．已知二次函数.
（1） 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2） 图象的开口方向是____，对称轴是________________，顶点坐标是____________，当时，随的增大而____，当时，随的增大而____.
（3） 当________时，函数有____值，其最值为____.
知识点3 利用顶点式求二次函数的表达式
6．在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为，且过点.求该二次函数的表达式.
易错点 将图象平移与坐标轴平移混淆
7．已知抛物线的函数表达式为.若将轴向上平移2个单位，将轴向左平移3个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
B组·能力提升 强化突破
8．[2024凉山州]抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．[2024长春模拟]如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与轴的另一个交点为，过抛物线的顶点分别作轴于点，轴于点，则图中阴影部分的面积和为__.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．【几何直观，空间观念】如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点,点是轴上的一个动点.
（1） 求此抛物线的函数表达式；
（2） 当的值最小时，求点的坐标.
第4课时 二次函数的图象与性质
课堂导学
知识梳理
向上； 向下； ； ； 减小； 增大； 增大； 减小
例题引路
【思路分析】先画出函数的图象，然后结合图象解答与性质有关的问题.
例 （1） 【规范解答】画出函数图象如答图所示.
例题答图
例 （1） 开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是.
（2） 当 时，随 的增大而增大；当 时，随 的增大而减小.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数图象的平移
1．A
2．
知识点2 二次函数的图象与性质
3．C 4．A
5．（1） 解：函数图象如答图.
第5题答图
（2） 向下； 直线； ； 增大； 减小
（3） ； 最大； 3
知识点3 利用顶点式求二次函数的表达式
6．解： 二次函数图象的顶点为，
设二次函数的表达式为.
把点 代入二次函数表达式，得
，解得.
该二次函数的表达式为，
即.
易错点 将图象平移与坐标轴平移混淆
7．C
B组·能力提升 强化突破
8．D
9．18
[解析]把代入，得，解得， 抛物线的表达式为， 点的坐标为.根据抛物线的对称性及轴，轴，得题图中阴影部分的面积和为.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1） 解：设抛物线的函数表达式为，把点代入得,
解得，
抛物线的函数表达式为，即.
（2） 如答图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接.
第10题答图
，
，
此时的值最小，
设直线的解析式为，
把，分别代入得
解得
直线的表达式为，
当时，，
解得， 点的坐标为 .第5课时 二次函数的图象与性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象与性质
1．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
2．抛物线的顶点为（ ）
A． B． C． D．
3．[2024淄博模拟]下列关于抛物线的说法，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．时，随的增大而减小
4．已知二次函数的图象经过点.
（1） 求的值；
（2） 求出该二次函数的图象的顶点坐标和对称轴；
（3） 在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象.
知识点2 求二次函数的最值
5．［教材P19习题1.2第7题变式］用配方法求下列二次函数的最大值或最小值：
（1） ；
（2） .
易错点 化二次函数为 形式时，漏掉二次项系数
6．把二次函数化成的形式为________________________.
B组·能力提升 强化突破
7．[2024绍兴模拟]将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．二次函数的图象如图所示，若点，是图象上的两点，则与的大小关系是（ ）
第8题图
A． B． C． D．不能确定
9．[2024乐山]已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
第10题图
A． B． C． D．
10．如图，抛物线的对称轴是直线，小亮通过观察得出了下面四个结论：；；；.其中正确的有____.（填序号）
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．[2024安徽]【运算能力】已知抛物线为常数的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.
（1） 求的值；
（2） 点在抛物线上，点在抛物线上.
① 若，且，，求的值；
② 若，求的最大值.
第5课时 二次函数的图象与性质
课堂导学
知识梳理
； ；
例题引路
【思路分析】通过配方，确定抛物线的顶点坐标和对称轴.结合图象解答与性质相关的问题.
例 （1） 【规范解答】.抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线.画出函数图象如答图所示.
例题答图
（2） 当 时，有最大值.
（3） 当 时，随 的增大而增大；当 时，随 的增大而减小.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象与性质
1．B
2．A
3．D
[解析]，， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是，当时，随的增大而减小，故A，B，C错误，D正确.
4．（1） 解：将代入函数表达式，得
，解得.
（2） ，
顶点坐标是，对称轴是直线.
（3） 函数图象如答图.
第4题答图
知识点2 求二次函数的最值
5．（1） 解：.
当时，函数有最小值.
（2） .
当时，函数有最大值2.
易错点 化二次函数为 形式时，漏掉二次项系数
6．
B组·能力提升 强化突破
7．C 8．A 9．C
10．①②④
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．（1） 解： 抛物线的顶点横坐标为，的顶点横坐标为1，
，.
（2） ① 点在抛物线上，
，
在抛物线上，
，
，
.
（2） ① ，
，
，
，，，
，；
② 将代入，
，
，
，
当，即时，取最大值.第2课时 二次函数的图象与性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象
1．已知二次函数，当时，其图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．[2024沧州模拟]如图所示的四个二次函数图象分别对应，，，，则，，，的大小关系为______________.（用“ ”连接）
知识点2 二次函数的性质
3．关于二次函数的图象与性质，下列说法不正确的是（ ）
A．图象只在第三、四象限
B．对称轴是直线
C．顶点坐标是
D．当时，随的增大而增大
4．已知原点是抛物线的最高点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线，解答下列问题：
（1） 开口方向：____；
（2） 对称轴：________；
（3） 顶点坐标：____________；
（4） 当时，随的增大而____；
（5） 当________时，函数有最__值是____.
B组·能力提升 强化突破
6．[2024中山模拟]如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
7．[2024石家庄模拟]二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点.
（1） 求抛物线对应的函数表达式.
（2） 抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．【几何直观，推理能力】如图，在轴上有两点，，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于点，.直线交直线于点，直线交直线于点，点，的纵坐标分别记作，.
（1） 特例探究：
当，时，________，________；
当，时，________，________.
（2） 归纳证明：
对任意实数，，猜想与的大小关系，并证明你的猜想.
（3） 拓展应用：
若将抛物线改为抛物线，其他条件不变，请直接写出与的大小关系.
第2课时 二次函数的图象与性质
课堂导学
知识梳理
向下； 轴； ； 增大； 减小； 0； 0
例题引路
【思路分析】先画出函数的图象，然后结合图象解答与性质有关的问题.
例 （1） 【规范解答】画出函数图象如答图所示.
例题答图
例 （1） 对称轴是 轴，顶点坐标是.
（2） 当 时，随着 值的增大，值随之增大；当 时，随着 值的增大，值随之减小.
（3） 当 时，有最大值，最大值是0.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象
1．D
2．
知识点2 二次函数的性质
3．A 4．A
5．（1） 向下
（2） 轴
（3）
（4） 减小
（5） ； 大； 0
B组·能力提升 强化突破
6．D 7．D
8．（1） 解：将的坐标代入，得，解得， 抛物线对应的函数表达式为.
（2） 存在.
设直线的函数表达式为，
直线过点，，
解得
直线的函数表达式为.
直线与抛物线交于，两点，
由解得
，.
由题图可知，
.
假设抛物线上存在一点，使.
可设，则，
解得，，
存在符合题意的点，其坐标为或.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．（1） ； ； ；
（2） 解：.证明如下：
点的坐标是，点的坐标是，
点的坐标是，点的坐标是.
设直线的表达式是，代入点的坐标，得，解得.
直线的表达式是.
同理可得直线的表达式是.
点的坐标是，点的坐标是.
.
（3） 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是.
设直线的表达式是，代入点的坐标，得，解得.
直线的表达式是.
同理可得直线的表达式是.
点的坐标是，点的坐标是，
.1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数的图象与性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象
1．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
知识点2 二次函数的性质
3．[2024保定模拟]下列关于函数的叙述中，错误的是（ ）
A．有最大值
B．图象的对称轴是轴
C．当时，随的增大而增大
D．图象的顶点是原点
4．[2024常州模拟]已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的图象如图所示，则
（1） ____0；
（2） 开口向__；
（3） 对称轴是________；
（4） 顶点坐标是____________；
（5） 当____时，的最小值为____；
（6） 当时，随的增大而____.
易错点 对函数的性质把握不准导致出错
6．已知二次函数的图象在对称轴的右侧部分，函数值随自变量的增大而增大，则________.
B组·能力提升 强化突破
7．[2024秦皇岛模拟]如图，正方形四个顶点的坐标依次为，，，.若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象经过点.
（1） 求二次函数的表达式；
（2） 画出函数的图象；
（3） 观察图象可以得出：在对称轴左侧，图象逐渐____；在对称轴右侧，图象逐渐____.
9．[2024唐山期末]【过程性学习】已知二次函数，当时，求函数的最小值和最大值.小王的解答过程如下：
解：当 时，，
当 时，，
所以函数 的最小值为1，最大值为4.
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．【空间观念，应用意识】已知点在二次函数的图象上.
（1） 求点的坐标；
（2） 在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数的图象与性质
课堂导学
知识梳理
向上； 轴； ； 减小； 增大； 0； 0
例题引路
【思路分析】先根据二次函数的定义确定的值，进而确定该函数的相关性质.
例 （1） 【规范解答】由题意，得
解得 或.
（2） 若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，
，即，
.
这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为.
这时当 时，随 的增大而增大.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象
1．C 2．A
知识点2 二次函数的性质
3．A
4．B
[解析]由题意可知，，所以.
5．（1）
（2） 上
（3） 轴
（4）
（5） 0； 0
（6） 增大
易错点 对函数的性质把握不准导致出错
6．
B组·能力提升 强化突破
7．A
8．（1） 解： 二次函数的图象经过点，
，解得.
二次函数的表达式为.
（2） 列表：
… 0 1 2 …
… 8 2 0 2 8 …
描点、连线如答图所示.
第8题答图
（3） 下降； 上升
9．解：小王的解答过程是错误的，正确的解答过程如下：
二次函数的图象开口向上，对称轴是轴，
当时，函数取得最小值，最小值是0，
，
当时，函数取得最大值，最大值是4.
综上，当时，函数的最小值是0，最大值是4.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1） 解： 点在二次函数的图象上，
点的坐标为.
（2） 存在.如答图，过点作轴于点.
第10题答图
在中，.
当为顶角的顶点时，
或，
，；
当为顶角的顶点时，，
点的坐标为；
当为顶角的顶点时，，
在中，设，
则,
解得，
点的坐标为.
综上所述，使是等腰三角形的点的坐标为或或或.
