第2课时 利用二次函数解决与最值有关的实际问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用二次函数解决面积问题
1．[2024杭州模拟]已知一个直角三角形的两直角边长之和为，则这个直角三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
知识点2 利用二次函数解决利润最大问题
2．某服装店将进价为每件100元的服装按每件元出售，每天可销售件，若想要获得最大利润，则应定为（ ）
A．150 B．160 C．170 D．180
3．[2024内江]端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5 000元购进的猪肉粽盒数与3 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒.
（1） 求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价；
（2） 设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值.
B组·能力提升 强化突破
4．[2024湖北]学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长，篱笆长.设垂直于墙的边长为，平行于墙的边为，围成的矩形面积为.
（1） 求与，与的关系式.
（2） 围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值.
（3） 围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值.
C组·核心素养拓展 素养渗透
5．[2024新疆]【模型观念，创新意识】某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在至之间时，销售额（万元）与销售量的函数解析式为；成本（万元）与销售量的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点.
（1） 求出成本关于销售量的函数解析式；
（2） 当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
（3） 当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润销售额-成本）
第2课时 利用二次函数解决与最值有关的实际问题
课堂导学
例题引路
【思路分析】设销售单价为元，则销量为件，再根据“总利润每件的利润×数量”，即可得到二次函数的表达式.
例 【规范解答】设销售单价定为 元，每天所获销售利润为 元，由题意，得
.
，
当 时，.
答：将销售单价定为14元时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是360元.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用二次函数解决面积问题
1．B
知识点2 利用二次函数解决利润最大问题
2．A
3．（1） 解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，
则，
解得，
经检验是方程的解，
此时，
答：猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元.
（2） 由题意，得当时，每天可售出180盒，
当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，
，
，，
当时，取最大值，最大值为1 000元，
答：关于的函数表达式为，且最大利润为1 000元.
B组·能力提升 强化突破
4．（1） 解：由题意，得，
.
由，且，
.
由题意，得，
.
（2） ，
（舍去）或.
答：当时，围成的矩形花圃的面积为.
（3） 由（1），得，
又，且，
当时，取最大值为800.
答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为，此时的值为20.
C组·核心素养拓展 素养渗透
5．（1） 解：由题意，得顶点坐标为，
可设抛物线的解析式为.
又抛物线过点，
.
.
（2） 由题意，得当时，成本最低为万元，
又销售量在至之间时，销售额（万元）与销售量的函数解析式为，
当时，销售额为.
此时利润为（万元）.
答：当成本最低时，销售产品所获利润为0.75万元.
（3） 由题意，得利润
.
，
当时，利润取最大值，最大值为7.
答：当销售量是时，可获得最大利润，最大利润是7万元.1.5 二次函数的应用
第1课时 建立二次函数模型
A组·基础达标 逐点击破
知识点 利用二次函数解决抛物线问题
1．[2024保定模拟]河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的函数关系式为，当水面离桥拱顶的高度是时，水面宽度为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024晋中模拟]小明在周末外出的路上经过了如图所示的隧道，他想知道隧道顶端到地面的距离，于是他查阅了相关资料，知道了隧道的截面是由抛物线和矩形构成的.如图，以矩形的顶点为坐标原点，地面所在直线为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为，若，，则隧道顶端点到地面的距离为____.
第2题图
3．[2023兰州]一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示.运动员离起跳点的水平距离为时，达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为时，离水面的距离为.
第3题图
（1） 求关于的函数表达式；
（2） 求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长.
B组·能力提升 强化突破
4．[2023温州]一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门的高为，现以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1） 求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）.
（2） 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
C组·核心素养拓展 素养渗透
5．[2024陕西]【模型观念，创新意识】一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点到的距离.（桥塔的粗细忽略不计）
（1） 求缆索所在抛物线的函数表达式；
（2） 点在缆索上，，且，，求的长.
1.5 二次函数的应用
第1课时 建立二次函数模型
课堂导学
例题引路
【思路分析】以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系求解.
例 【规范解答】建立平面直角坐标系如答图所示.
例题答图
设抛物线的函数表达式为，
将 和 代入，得
解得
抛物线的函数表达式为.
， 当 时，，即水柱的最大高度为.
A组·基础达标 逐点击破
知识点 利用二次函数解决抛物线问题
1．C
2．6
3．（1） 解：由题意，得抛物线过和，对称轴为直线.
设关于的函数表达式为，
解得
关于的函数表达式为.
（2） 在中，
令,得，
解得或（舍去），
运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为.
B组·能力提升 强化突破
4．（1） 解：，
抛物线的顶点坐标为.
设抛物线的函数表达式为，
把点代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为.
当时，，
球不能射进球门.
（2） 设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为，
把点代入，得
，
解得（不合题意，舍去）或，
当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处.
C组·核心素养拓展 素养渗透
5．（1） 解：，
.
又，缆索的最低点到的距离，
抛物线的顶点的坐标为.
故可设抛物线的函数表达式为.
又将点代入，得.
.
缆索所在抛物线的函数表达式为.
（2） 缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，
又缆索所在抛物线的函数表达式为，
缆索所在抛物线的函数表达式为.
又令，
.
或.
又，
.
的长为.
