第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形的性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 圆周角定理的推论2
1．如图，是的直径，点是上一点，连接，，则的度数为（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．[2024湖北]为半圆的直径，点为半圆上一点，且以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线.则（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．如图，某同学设计了一个测圆的直径的测量器，将标有刻度的尺子，在点处钉在一起，并使它们保持垂直，在测圆的直径时，把点靠在圆周上，读得刻度，，则圆的半径为____.
第3题图
知识点2 圆内接四边形的对角互补
4．如图，四边形是的内接四边形.若，则的度数为（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．[2024广元]如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点， ，则（ ）
第5题图
A． B． C． D．
6．[2024滨州]如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则________.
第6题图
7．如图，四边形内接于，为的直径，.若 ，求的度数.
B组·能力提升 强化突破
8．如图，的直径，为直径下方半圆上一点，的平分线交于点，连接，.
（1） 判断的形状，并说明理由；
（2） 若弦，求，，的长.
9．如图，为的直径，，交于点，交于点.
（1） 试探究与之间的数量关系；
（2） 若，，求的半径.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．[2023衡阳]【推理能力，几何直观】如图，是的直径，是弦，是的中点，于点，交于点，交于点，交于点.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的半径.
第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形的性质
课堂导学
知识梳理
直； 直径； 互补
例题引路
【思路分析】显然，而是直径， ,.
例1
【思路分析】要证，只需证，由圆内接四边形的性质，易得，因此只需即可，显然由可得.
例2 【规范解答】证明：，
.
四边形 是圆内接四边形，
.
又 ，
，
，
.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 圆周角定理的推论2
1．B 2．C
3．5
知识点2 圆内接四边形的对角互补
4．C 5．A
6．
7．解：， ，
. .
， .
四边形是的内接四边形，
. .
B组·能力提升 强化突破
8．（1） 解：是等腰直角三角形.
理由如下：
为的直径，
.
是的平分线，
.
..
是等腰直角三角形.
（2） 在中，由勾股定理，得
.
由（1）知.
在中，由勾股定理，得
，即.
解得（负值已舍去）.
.
9．（1） 解：如答图，连接.
第9题答图
为的直径，
，.
又，
，
.
（2） ，，，
.
，.
设，则，
在中，，
解得，，的半径为5.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1） 证明：是的中点，
，.
, .
.
是的直径,
.
.
,
.
.
（2） 解：，,
，
，
设，则.
，.
，
,
解得或（舍去），
，
，
的半径为5.2.2.2 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论1
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 圆周角的概念
1．下列图形中， 是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 圆周角定理
2．[2024湖南]如图，，为的两条弦，连接，，若 ，则的度数为（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2024南充]如图，是的直径，位于两侧的点，均在上， ，则________.
第3题图
知识点3 圆周角定理的推论1
4．[2024云南]如图，是的直径，点，在上.若， ，则（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．如图，，，，是上的四个点，是的平分线，且 .判断的形状，并证明你的结论.
第5题图
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而出错
6．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为________________________.
B组·能力提升 强化突破
7．[2024陕西]如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是________.
8．[2023郴州]如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是 ，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器____台.
9．如图，点，，，在上，.求证：
（1） ；
（2） .
10．[2022怀化]如图，已知 ，平分交于点，连接，，，.求证：四边形是菱形.
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．【推理能力】如图，已知，是上两点，为的直径，且，与交于点.
（1） 求证：；
（2） 连接，求证：平分；
（3） 若，求证：.
2.2.2 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论1
课堂导学
知识梳理
圆上； 相交； 一半； 圆周角； 弧
例题引路
【思路分析】，
，
， ，
.
故选A.
例1 A
【思路分析】要证，即证，只需证.
例2 【规范解答】
证明：是 的中点，
，
.
又，
，
，.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 圆周角的概念
1．C
知识点2 圆周角定理
2．C
3．
知识点3 圆周角定理的推论1
4．B
5．解：是等边三角形.
证明：是的平分线，
，，.
又 ，是等边三角形.
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而出错
6． 或
B组·能力提升 强化突破
7．
8．4
9．（1） 证明：，
，.
（2） ，，
.
10．证明：如答图，连接.
第10题答图
， .
平分交于点，
，，
.
又，
和都是等边三角形，
，
四边形是菱形.
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．（1） 证明：如答图，连接.
，.
在和中，
.
.
第11题答图
（2） 由（1），得，
又，
，平分.
（3） ，.
又，.
又，
，
，.
