2.3 垂径定理 课时作业（含答案）2024-2025学年数学湘教版九年级下册

*2.3 垂径定理
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 垂径定理
1．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为.若，，则的余弦值为（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．[2024新疆]如图，是的直径，是的弦，，垂足为.若，，则的长为（ ）
第2题图
A．1 B．2 C．3 D．4
3．[2024北京]如图，的直径平分弦（不是直径）.若 ，则________.
第3题图
知识点2 垂径定理的实际应用
4．[2024凉山州]数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．[2024娄底月考]如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__.
第5题图
易错点 忽略弦的位置有多种可能性而漏解
6．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（ ）
A． B．
C．或 D．或
B组·能力提升 强化突破
7．[2023东营]“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则直径为__寸.
第7题图
8．如图，点，是上两点，，点是上的一个动点（点与点，不重合），连接，，过点分别作于点，于点，则的长为____.
第8题图
9．如图，的半径垂直于弦，垂足为，连接并延长交于点，连接.若，，求的长.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．【模型观念，创新意识】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度，拱高.
（1） 求圆弧所在的半径.
（2） 当洪水泛滥到跨度小于或等于时，需要采取紧急措施，当拱顶离水面只有，即时，是否需要采取紧急措施
*2.3 垂径定理
课堂导学
知识梳理
平分； 两条弧
例题引路
【思路分析】 连接，在中利用勾股定理求解.
例 【规范解答】如图，设圆心为点，连接.
设，
则.
，
.
在 中，，
即，
解得.
答：拱门所在圆的半径为.
【点悟】 垂径定理常与勾股定理结合运用，弦长，半径，圆心到弦的距离 三者之间的数量关系为.在，，三个量中，知道其中任意两个就可以求出第三个.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 垂径定理
1．B 2．B
3．
知识点2 垂径定理的实际应用
4．C
5．25
易错点 忽略弦的位置有多种可能性而漏解
6．C
B组·能力提升 强化突破
7．26
8．5
9．解：，，
.
设,
，.
在中，由勾股定理，得
,
即,解得.
.
如答图，连接.
第9题答图
是的直径， .
在中，由勾股定理，得
.
在中，由勾股定理，得
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1） 解：如答图①，连接.
第10题答图①
由题意，得，.
在中，由勾股定理，得
，解得.
圆弧所在的半径为.
（2） 如答图②，连接.
第10题答图②
在中，，，
由勾股定理，得.
，.
， 不需要采取紧急措施.