2.5.2 圆的切线
第1课时 圆的切线的判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点 切线的判定
1．如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是 （ ）
第1题图
A．以为半径的圆 B．以为半径的圆
C．以为半径的圆 D．以为半径的圆
2．如图，已知的半径为3，于点，则当____时，直线是的切线.
第2题图
3．如图，，是上两点，是过点的一条直线，若 ，则当________时，直线是的切线.
第3题图
4．如图，是的弦，经过圆心交于点，连接.已知 ，求证：是的切线.
5．如图，在中，，是的中点，，垂足为，以点为圆心，为半径作.求证：与相切.
B组·能力提升 强化突破
6．如图，是的直径，交于点，于点，要使是的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为的直径，是上一点，在的延长线上，且.求证：是的切线.
8．[2024眉山]如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连接.
（1） 求证：是的切线；
（2） 当，时，求的长.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．[2024广安]如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，.
（1） 求证：是的切线；
（2） 点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长.
2.5.2 圆的切线
第1课时 圆的切线的判定
课堂导学
知识梳理
外端； 垂直
例题引路
【思路分析】由于是上一点，连接，证明即可.
例 【规范解答】如答图，连接.
例题答图
，
.
平分，
.
.
.
，
.
点 在 上，
是 的切线.
A组·基础达标 逐点击破
知识点 切线的判定
1．C
2．3
3．
4．证明：如答图，连接.
第4题答图
，
，
，
，
即.
又是的半径，
是的切线.
5．证明：如答图，连接，过点作，垂足为.
第5题答图
，是的中点，
.
又，，垂足分别为，，
，为的半径,
与相切.
B组·能力提升 强化突破
6．A
7．证明：如答图，连接.
第7题答图
是的直径， .
.
又，
.
又，
.
.
又是的半径，
是的切线.
8．（1） 证明：如答图，连接，
第8题答图
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线.
（2） 解：，，
，
，
，
，
，
如答图，连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．（1） 证明：如答图，连接.
第9题答图
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
是的切线，
（2） 解：设，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
又，
，
，设，
，，
，
，则，
解得，
经检验是所列方程的解，
.第2课时 圆的切线的性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点 切线的性质
1．[2024山西]如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接.若 ，则的度数为（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．如图是不倒翁的轴截面示意图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心.若 ，则的度数为（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．如图，是的直径，是弦，垂直于过点的切线，垂足为.若 ，则的度数为________.
第3题图
4．[2023邵阳]如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若 ，则的度数为________.
第4题图
5．将以为中心点的量角器与直角三角板按如图所示的方式摆放，直角顶点在量角器的零刻度线所在的直线上，且量角器与三角板只有一个公共点.若点的读数为 ，则的度数为________.
第5题图
6．如图，在中，是上一点，以为直径的半圆恰好切于点，连接，若 ，则的度数为________．
7．如图，已知的直径的长为，是上一点， ，过点作的切线交的延长线于点，求的长.
易错点 未注意分类讨论而出错
8．[2023滨州]如图，，分别与相切于，两点，且 ，若点是上异于点，的一点，则的度数为________________________.
B组·能力提升 强化突破
9．[2024福建]如图，已知点，在上， ，直线与相切，切点为，且为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
10．[2023连云港]如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点.（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2） 在（1）的条件下，求证：.
11．如图，为的直径，为的延长线上一点，过点作的切线，切点为点，连接，，过点作交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．[2024凉山州]【运算能力】如图，的圆心为，半径为2，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为________.
13．【推理能力】如图①，在中，，为的中点.以点为圆心，为半径的圆交于点，过点作，垂足为，我们可以证得是的切线.
（1） 若点沿向点移动，以点为圆心，为半径的圆仍交于点，，垂足为，不变（如图②），那么与有什么位置关系？请写出你的结论并证明；
（2） 在（1）的条件下，若与相切于点，交于点（如图③），的半径为3，，求的长.
第2课时 圆的切线的性质
课堂导学
知识梳理
垂直
例题引路
【点悟】 已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”.
【思路分析】利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出，进而得出答案;
例 （1） 【规范解答】证明：如答图，连接.
例题答图
是 的切线，
，
.
又， ，
.
，，
，
.
【思路分析】设，则，，利用勾股定理得出的长.
（2） 解：设，则，.
在 中，，
.
由（1）知，，
在 中，，
即，
解得（舍去），.
故.
A组·基础达标 逐点击破
知识点 切线的性质
1．D 2．C
3．
4．
5．
6．
7．解：如答图，连接.
第7题答图
是的切线，为切点，
.
又 ，,
，，
.
易错点 未注意分类讨论而出错
8． 或
B组·能力提升 强化突破
9．A
10．（1） 解：如图，直线即所求.
第10题答图
（2） 证明：，.
又，，
.
点在以为直径的圆上，
， .
又为的切线， .
， ，
，.
在和中，
，.
11．（1） 证明：如答图，连接.
第11题答图
是的切线，
，
，
即 .
为的直径，
，
即 ，
.
，，
，
，
.
（2） 解：设的半径为，
则，，
在中，，
，
解得，
，，.
，
，
，即，
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．
13．（1） 解：与相切.
证明：如答图①，连接.
第13题答图①
，.
，，
，.
，.
又为的半径，与相切.
（2） 如答图②，连接，.
第13题答图②
是的切线，.
又，，
四边形为矩形，.
设，则，
.
，.
即，解得.故的长为4.
