2.5.4 三角形的内切圆 课时作业（含答案）2024-2025学年数学湘教版九年级下册

2.5.4 三角形的内切圆
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 三角形的内切圆、内心及作图
1．如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则加油站应建在（ ）
A．的三条内角平分线的交点处
B．的三条高线的交点处
C．三边的中垂线的交点处
D．的三条中线的交点处
2．用无刻度的直尺和圆规确定的内心,下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 三角形的内切圆、内心的有关计算与证明
3．如图，已知是的内切圆，点是内心.若 ，则（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．如图，已知， .
第4题图
（1） 在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写出作法）.
（2） 连接，，求的度数.
5．如图，点为的内心，点为的外心.若 ，求的度数.
易错点 内心与外心概念混淆不清而出错
6．如图，是圆的内接三角形，点是的内心，，则的度数为__________.
B组·能力提升 强化突破
7．如图，是边长为2的等边的内切圆，则的半径为________.
第7题图
8．如图，是的内心，连接，，，，，的面积分别为，，，则____（填“ ”“”或“ ”）.
第8题图
9．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为____.
10．如图,是的外接圆,为内切圆的圆心,的延长线交于点,交于点，连接,过点作直线,使.
（1） 求证:直线是的切线;
（2） 若,且,求的长.
11．[2024自贡]在中， ，是的内切圆，切点分别为，，.
（1） 图①中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为____；
（2） 如图②，延长到点，使，过点作于点.求证：是的切线.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．阅读材料：如图①，的周长为，内切圆的半径为，连接，，，被划分为三个小三角形，用表示的面积.
，
且，，，
，
（可作为求三角形内切圆半径的公式）.
① ②
（1） 理解与应用：利用公式计算边长分别为5,12,13的三角形的内切圆半径；
（2） 类比与推理：若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），如图②，且四边形的面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式.
2.5.4 三角形的内切圆
课堂导学
知识梳理
内切圆； 内心； 外切三角形； 角平分线； 三边
例题引路
【思路分析】根据是的内切圆和的度数，可得，从而求得；由于，是的切线，是与切点有关的圆周角，故连接，，根据四边形内角和求出，即可求出.
例 【规范解答】 是 的内切圆，
，，
.
，
，
.
如答图，连接，.
例题答图
是 的内切圆，
.
，
.
.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 三角形的内切圆、内心及作图
1．A 2．C
知识点2 三角形的内切圆、内心的有关计算与证明
3．B
4．（1） 解：的内切圆及，，如答图所示.
第4题答图
（2） 如答图，连接，，
第4题答图
由题意，知，，
.
， ， .
5．解： 点为的外心， ，
.
又 点为的内心，
.
.
易错点 内心与外心概念混淆不清而出错
6．
B组·能力提升 强化突破
7．
8．
9．289
10．（1） 证明：如答图，连接.
第10题答图
是的内心,
,,
.
又,,
,,
.
又为的半径,
直线是的切线.
（2） 解：,
.
又,
,
,即.
,,
,
,.
11．（1） ； ； 1
（2） 证明：过作于点，连接，，，如答图.
第11题答图
，，，
，
，
，
，即，
易知，
，
，
四边形是矩形，
，
，即是的半径，
，
是的切线.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．（1） 解：由勾股定理的逆定理，易确定边长分别为5,12,13的三角形是直角三角形，其面积为，
.
（2） 如答图，连接，，，.
第12题答图
设内切圆的半径为，仿照阅读材料提供的思路，可得
，
.