第1章 二次函数 质量评估（含答案）2024-2025学年数学湘教版九年级下册

第1章 二次函数 质量评估
［时间:120分钟 分值:120分］
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于抛物线的图象与性质，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，有最小值，最小值为3
3．抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线.若，则的取值范围是（ ）
第4题图
A． B．
C． D．或
5．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
第5题图
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知,,是抛物线上的三点,则（ ）
A． B． C． D．
7．如图,在中, ,,.点从点沿向点以的速度运动,同时点从点沿向点以的速度运动（当点运动到点时,两点停止运动）.在运动过程中,四边形面积的最小值为（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为时,达到最大高度,然后准确地落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为.在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是（ ）
第8题图
A．此抛物线的函数表达式是
B．篮圈中心的坐标是
C．此抛物线的顶点坐标是
D．篮球出手时离地面的高度是
9．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：；；；；.其中结论正确的有（ ）
第9题图
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
10．在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示.若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则 的值为（ ）
第10题图
A．1 B． C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．二次函数的最大值是____.
12．若抛物线与轴只有一个交点，则____.
13．将二次函数化为的形式为____________________.
14．顶点坐标为且过点的抛物线的函数表达式为________________________.
15．如图，将小球以一定的速度沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度与飞行时间之间具有函数关系：，则当小球的飞行高度达到最高时，飞行时间____.
第15题图
16．在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转 ，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是____________.
17．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽.若水面下降，则水面宽度为________.
第17题图
18．如图,已知是二次函数的图象上的一动点,轴于点,连接.小华用几何画板软件对线段,的数量关系进行了探讨,发现是一个定值,则这个定值为____.
第18题图
三、解答题（本题共8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）已知二次函数.
（1） 将二次函数的表达式化为的形式；
（2） 写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.
20．（6分）如图,已知二次函数的图象过,，三点.
（1） 求二次函数的表达式;
（2） 设二次函数的图象与轴的另一个交点为,求点的坐标.
21．（8分）如图①，“卢沟晓月”是北京著名的八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为，若按如图②所示的方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，求主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离.
22．（8分）如图，已知电阻，并联在电路中，且 ，请用所学过的数学知识讨论一下当电阻，的阻值分别为多少时，该电路的总电阻最大，最大总电阻是多少？
23．（9分）已知抛物线.
（1） 求证:不论取何值,抛物线与轴都有两个不同的交点;
（2） 设这个二次函数的图象与轴相交于,两点,且,的平方和为3,求的值.
24．（9分）超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元（市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元）,每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加元,每天售出件.
（1） 请写出关于的函数表达式（要求写出自变量的取值范围）;
（2） 设超市每天销售这种玩具可获利元,当的值为多少时，获利最大,最大值是多少？
25．（10分）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线.
（1） 若对于，，有，求的值；
（2） 若对于，，都有，求的取值范围.
26．（10分）如图，抛物线过点，，.
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 设是直线上方抛物线上一点，求出面积的最大值及此时点的坐标.
（3） 若是抛物线的对称轴上一动点，为坐标平面内一点，是否存在以为边、点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
第1章质量评估
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B 2．B 3．A 4．D 5．D 6．B 7．C 8．A 9．B 10．D
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．5
12．9
13．
14．
15．2
16．
17．
18．2
三、解答题（本题共8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1） 解:.
（2） ，，
二次函数图象的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是.
20．（1） 解:将，，代入二次函数，得解得
二次函数的表达式为.
（2） 当时,,
解得,,
点的坐标为.
21．解:由二次函数的图象可知，在抛物线上，
把代入，得
,解得.
.
主桥拱最高点的坐标为.
点和点关于轴对称，
.
答：主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离是.
22．解:由题意，得,
又 ，
.
， 当时，有最大值，最大值为.
，
答：当电阻，的阻值分别为 ， 时，该电路的总电阻最大，最大总电阻为 .
23．（1） 证明:,
不论取何值,抛物线与轴都有两个不同的交点.
（2） 解:,,
,解得.
24．（1） 解:由题意，得.
（2） 由题意,得.
, 当时,随的增大而增大,
, 当时,取得最大值,.
25．（1） 解: 对于，，有，
，
，.
对称轴直线为，.
（2） ，，，.
，，
离对称轴更近，
又，则与的中点在对称轴的右侧，
，即.
26．（1） 解:由题意，得，
抛物线过点，，解得，
故抛物线的表达式为.
（2） 设直线的表达式为,将，代入，
得解得
直线的表达式为，
如答图，过点作轴的平行线交于点，
设，则，
,
，
面积的最大值为，此时点的坐标为.
第26题答图
（3） 存在.
抛物线的表达式为，
对轴轴为直线.
设，，
若为菱形的边，此时菱形为，则，
即，解得，.
，.
若为菱形的对角线，此时菱形为，则，
即，解得，.
，.
综上所述，点的坐标为或或或
.