专题训练（二） 二次函数的图象与字母系数的关系
一、根据已知函数图象判断其他函数图象的正确性
1．已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、判断二次函数图象与其他函数图象的共存问题
4．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、已知函数图象判断与二次函数系数有关的结论
7．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中正确的是 （ ）
；②方程的两个根是，；；④当时，随的增大而减小.
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
8．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点.小红同学得出了以下结论：；；③当时，；.其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；；；.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点.有下列结论：
；；；④若，是抛物线上的两点，则；.其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．[2023乐山]如图，抛物线的图象经过两点，，且，有下列结论：；；；④若点，在抛物线上，则.其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
专题训练（二） 二次函数的图象与字母系数的关系
一、根据已知函数图象判断其他函数图象的正确性
1．D 2．C 3．D
二、判断二次函数图象与其他函数图象的共存问题
4．D 5．D 6．D
三、已知函数图象判断与二次函数系数有关的结论
7．B
8．B
9．C
10．B
11．B
12．B
[解析] 抛物线开口向上，， 抛物线的对称轴在轴的右侧，，故①正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， 抛物线经过点，,， 当时，，，，，，故②正确；，，，，故③正确； 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近，，故④错误.故选B.专题训练（一） 求二次函数的表达式
一、根据函数的性质求函数表达式
1．已知一抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是.根据以上特点，试写出该抛物线的函数表达式.
二、根据一般式求函数表达式
2．已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式.
3．已知二次函数中的部分自变量与所对应的函数值如下表：
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
求该二次函数的表达式．
三、根据顶点式求函数表达式
4．已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求此抛物线的函数表达式.
5．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的表达式.
6．已知二次函数的图象经过点，当时，有最小值，求这个二次函数的表达式.
四、根据交点式求函数表达式
7．已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式.
8．已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.
9．如图，抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上，两点，该抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，且 .求：
（1） 直线的函数表达式；
（2） 抛物线的函数表达式.
专题训练（一） 求二次函数的表达式
一、根据函数的性质求函数表达式
1．解：设所求的抛物线的函数表达式为
抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，
，
该抛物线的函数表达式为，即.
二、根据一般式求函数表达式
2．解：设这个二次函数的表达式为，
把，，分别代入，
得解得
这个二次函数的表达式为
3．解：由表格可知，当时，；当时，；当时，.
解得
该二次函数的表达式为
三、根据顶点式求函数表达式
4．解：设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为，即.
5．解：设二次函数的表达式为，
把代入，得，
解得.
二次函数的表达式为，即.
6．解：设二次函数的表达式为.将代入，得，
解得.
这个二次函数的表达式为，即.
四、根据交点式求函数表达式
7．解：设二次函数的表达式为，
把点代入，得，
解得，
这个二次函数的表达式为，即.
8．解：设二次函数的表达式为，
把代入，得，
解得，
这个二次函数的表达式为，即.
9．（1） 解： 点的坐标为，点的坐标为,
，.
，
，
，
，即，
，
点的坐标为.
设直线的函数表达式为，
把点，分别代入表达式，得
解得
直线的函数表达式为.
（2） 该抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为.
设抛物线的函数表达式为，
把点代入，得，
解得.
抛物线的函数表达式为，即.专题训练（三） 二次函数与线段、周长、面积问题
一、二次函数与线段的最值
1．[2024湖南]已知二次函数的图象经过点，点，是此二次函数的图象上的两个动点.
（1） 求此二次函数的表达式；
（2） 如图①，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接，，.若，求证：的值为定值；
（3） 如图②，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值.
二、二次函数与线段的数量关系
2．若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与轴的另一交点为.
（1） 求二次函数的表达式；
（2） 若点在直线上，且在第四象限，过点作轴于点，若点在线段上，且，求点的坐标.
三、二次函数与周长的最值
3．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标.
4．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的图象经过，两点，并与轴的正半轴交于点.
（1） 求，满足的关系式及的值；
（2） 如图①，当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
（3） 如图②，当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值.
四、二次函数与面积的最值
5．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点.
（1） 求点，的坐标；
（2） 求的面积；
（3） 为第二象限内抛物线上的一个动点，求面积的最大值.
专题训练（三） 二次函数与线段、周长、面积问题
一、二次函数与线段的最值
1．（1） 解：将点的坐标代入二次函数的表达式，得，则，
即二次函数的表达式为；
（2） 证明：令，则，则点，
由点，的坐标，得直线的表达式为，
设点，，的坐标分别为、、，
则
，
同理可得：
，
则为定值.
（3） 解：点，的坐标分别为、，
由点，的坐标，得直线的表达式为，
则，
当时，有最大值，且最大值为.
二、二次函数与线段的数量关系
2．（1） 解： 二次函数的图象经过点，，
对称轴为直线，经过，
解得
抛物线的表达式为.
（2） 设直线的函数表达式为.
，，
解得
直线的函数表达式为.
点，关于直线对称，.
设,
轴，点在第四象限，
，,.
，，
解得，.
三、二次函数与周长的最值
3．（1） 解：将点，代入，得
解得
抛物线的解析式为.
（2） 如答图，连接交对称轴于点.
，
抛物线的对称轴为直线.
令，.
，关于对称轴对称，
.
.
当，，三点共线时，的周长最小.
，，
设直线的解析式为.
解得
直线的解析式为.
当时，.
.
第3题答图
4．（1） 解：对于直线，
当时，，
.
当时，，
.
将点，分别代入抛物线中，得
，.
（2） 由（1）知，，.
当时，，
，
抛物线的函数表达式为，
抛物线的对称轴是直线.
由对称性，得，
要使的周长最小，只需的值最小即可.
如答图①，连接交直线于点.
第4题答图①
点与点关于直线对称，
由对称性可知，
此时的周长最小，
的周长等于.
在中，，
在中，，
周长的最小值为.
（3） 当时，，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
.
如答图②，过点作轴于点，交于点，则是等腰直角三角形.
第4题答图②
设，则，
是直线下方抛物线上的一点，
，
.
当时，有最大值是，
此时，.
综上所述，当点的坐标为时，的值最大，最大值是.
四、二次函数与面积的最值
5．（1） 解：令，则.
解得，.
，.
（2） 令，可得.
.
，.
.
（3） 如答图，作交于点.
设直线的解析式为.
将点，代入，得解得
直线的解析式为.
设，则.
.
.
当时，面积的最大值是4.
第5题答图专题训练（四） 二次函数与特殊三角形、四边形问题
一、二次函数与等腰三角形的存在性问题
1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点.
（1） 求，两点的坐标；
（2） 求该二次函数的解析式；
（3） 若抛物线的对称轴与轴交于点，则在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
二、二次函数与直角三角形的存在性问题
2．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点.
（1） 求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2） 连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
三、二次函数与相似三角形的存在性问题
3．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点和.
（1） 求抛物线的对称轴；
（2） 当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线.
① 求抛物线的函数表达式；
② 如图，设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接.点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，设点的横坐标为.是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
四、二次函数与平行四边形的存在性问题
4．如图，抛物线经过点，，，点为该抛物线的顶点.
（1） 求该抛物线的解析式和点的坐标；
（2） 点是该抛物线的对称轴上一动点，在该抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
五、二次函数与特殊平行四边形的存在性问题
5．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为.
（1） 求该二次函数的表达式，并写出该函数图象的对称轴和顶点坐标.
（2） 连接，若点为直线下方抛物线上一动点，过点作的平行线，交线段于点.在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
专题训练（四） 二次函数与特殊三角形、四边形问题
一、二次函数与等腰三角形的存在性问题
1．（1） 解：对直线，当时，；当时，.
，.
（2） 设该二次函数的解析式为.
把点代入上式，得.解得.
该二次函数的解析式为.
（3） 存在.
二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴为直线.
.
又，.
①如答图①，当时，
第1题答图①
得，；
②如答图②，当时，过点作于点.
第1题答图②
，，.
，.
；
③如答图③，当时，设.
第1题答图③
，即.
解得..
综上所述，点的坐标为，
，，.
二、二次函数与直角三角形的存在性问题
2．（1） 解：设抛物线的解析式为.
将点代入上式，得.解得.
抛物线的解析式为.
，
抛物线的顶点坐标为.
（2） 存在一点，使是直角三角形.
，
抛物线的对称轴为直线.
设，则，，.
①当为斜边时，得，即.
解得，.
点的坐标为或；
②当为斜边时，得，即.
解得 点的坐标为；
③当为斜边时，得，即.
解得 点的坐标为.
综上所述，点的坐标为或或或.
三、二次函数与相似三角形的存在性问题
3．（1） 解： 点和的纵坐标相同，
上述两点关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线.
（2） ① 当时，.
（2） ① 把点和代入，
得 解得
故抛物线的表达式为.
由平移的性质得，抛物线的表达式为.
② 存在.求解过程如下：
令，解得或.
令，则.
故，，.
，.
当以点，，为顶点的三角形与相似时，则或.
点的横坐标为，且点在第一象限内，
点的坐标为，且,
,,
或，
解得（舍去）或1或（舍去）或，
存在满足条件的点，的值为1或.
四、二次函数与平行四边形的存在性问题
4．（1） 解：设抛物线的解析式为.
把代入，得.解得.
抛物线的解析式为.
点的坐标为.
（2） 点，，
该抛物线的对称轴为直线.
设点，点.
①当为对角线时，得，即.
解得.此时；
②当为对角线时，得，即.
解得.此时；
③当为对角线时，得，即.
解得.此时.
综上所述，点的坐标为或或.
五、二次函数与特殊平行四边形的存在性问题
5．（1） 解：将点，的坐标分别代入，
得解得
故二次函数的表达式为.
，
该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为.
（2） 存在.
设，其中.
，，
，，
.
， 当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形.
①当时，平行四边形为菱形，
，
解得（舍去）或，
，.
②当时，平行四边形为菱形，
，解得或（舍去），
，，.
综上，点的坐标为或.
