专题训练（八） 圆中常见辅助线的作法
一、遇到有关弦的问题时，常连接过弦的端点的半径，或作垂直于弦的半径构造直角三角形
1．如图，在中，， ，则所对的圆心角的度数为________.
2．如图，是的直径，交于点，弦与相交于点.求证：.
二、遇到直径时，常作直径所对的圆周角，构造直角三角形
3．如图，在中， ，以上一点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.
（1） 求证：；
（2） 如果是的切线，为的中点，当时，求的长.
三、遇到90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径
4．如图，经过原点，并与两坐标轴分别相交于，两点，已知 ，点的坐标为.
（1） 求点的坐标；
（2） 若的面积为 ，则____.
四、遇到切线时，添加过切点的半径（连接圆心和切点），利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形
5．如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，，垂足为，连接.
（1） 求证：平分；
（2） 求证：；
（3） 若，，则____.
五、遇到证切线时，若有交点，则连半径，证垂直
6．如图，为半圆的直径，是半圆的一条弦，为的中点，作，交的延长线于点，连接.
（1） 求证：为半圆的切线；
（2） 若，则阴影部分的面积为____________.
六、遇到证切线时，若无交点，则作垂直，证半径
7．如图，在中， ，的平分线交于点，为上的一点，，以点为圆心，的长为半径作，，.
（1） 求证：是的切线；
（2） 求线段的长.
专题训练（八） 圆中常见辅助线的作法
一、遇到有关弦的问题时，常连接过弦的端点的半径，或作垂直于弦的半径构造直角三角形
1．
2．证明：如答图，过点作于点.
第2题答图
.
,，
.
又，
，
，，
，
.
二、遇到直径时，常作直径所对的圆周角，构造直角三角形
3．（1） 证明：如答图，连接，则.
第3题答图
又，
，
，.
（2） 解：如答图，连接，则 .
第3题答图
为的中点，
， .
， .
，.
三、遇到90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径
4．（1） 解：如答图，连接，则 .
第4题答图
， .
，
点的坐标为.
（2） 4
四、遇到切线时，添加过切点的半径（连接圆心和切点），利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形
5．（1） 证明：如答图，连接.
第5题答图
为的切线，.
，
，.
又，，
，平分.
（2） 证明：如答图，连接.
为的直径，
.
，，
，
，即.
（3） 4
五、遇到证切线时，若有交点，则连半径，证垂直
6．（1） 证明：如答图，连接.
第6题答图
为的中点，.
，，
，.
，.
是半圆的半径，
为半圆的切线.
（2）
六、遇到证切线时，若无交点，则作垂直，证半径
7．（1） 证明：如答图，过点作于点.
第7题答图
，.
又平分，，
，为的半径，
是的切线.
（2） 解：在和中，
，，
，
.
由（1）知，
，
即.
.专题训练（五） 与圆的基本性质有关的计算与证明
一、利用半径相等进行计算与证明
1．如图，是的直径，,是的半径，连接交的延长线于点.已知， ，求的度数.
二、综合运用弧、弦、圆心角的关系进行计算与证明
2．
（1） 如图①，在中， ，且，是的三等分点，分别交，于点，.求证：.
（2） 在题（1）中，如果 ，其他条件不变，如图②所示，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
三、利用圆周角定理及其推论进行计算与证明
3．如图，是的直径，是的中点，于点，交于点.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的半径和的长.
四、利用圆内接四边形的性质进行计算与证明
4．如图，为的直径，点在上，延长至点，使，延长与的交点为，连接，.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
5．[2023内蒙古]如图，是的直径，是弦，是上一点，是的延长线上一点，连接，，.
（1） 求证： ；（请用两种方法求证）
（2） 若，的半径为3，，求的长.
五、利用垂径定理进行计算与证明
6．如图， ，与相交于点，，.求的长.
7．如图，是的直径，四边形内接于，交于点，.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
专题训练（五） 与圆的基本性质有关的计算与证明
一、利用半径相等进行计算与证明
1．解：， ，
，
.
，
，
.
二、综合运用弧、弦、圆心角的关系进行计算与证明
2．（1） 证明：连接，（图略）.
，是的三等分点，
，.
，
.
， .
.
， ，
,
，.
同理可得.
.
（2） 解：成立.证明如下：连接，（图略）.
，是的三等分点，
，.
，
.
， .
.
， ，
,
，.
同理可得.
.
三、利用圆周角定理及其推论进行计算与证明
3．（1） 证明：是的直径，
.
又，
，
.
是的中点，
，
，
.
（2） 解：是的中点，
，
.
在中，，
由勾股定理，得.
的半径为10.
，
.
四、利用圆内接四边形的性质进行计算与证明
4．（1） 证明：是的直径，
，
.
，
，
.
（2） 解： ， ，
.
又，
，
，
，
解得（负值已舍去），
经检验，是方程的解.
.
是的直径，
，
.
5．（1） 证明：方法一：如答图①，连接.
第5题答图①
是的直径，
.
，，
.
方法二：如答图②，连接.
第5题答图②
是的直径，
.
，
.
四边形为的内接四边形，
.
，
，
.
（2） 解：由答图②，可得.
，
.
，
，
，
.
的半径为3，
.
，
，
解得或（舍去），
.
五、利用垂径定理进行计算与证明
6．解：如答图，过点作于点.
第6题答图
，，，
.
，
.
在中，
.
，，
.
7．（1） 证明：，
，
，
.
又是的直径，
.
，
.
（2） 解：，
.
设.
在中，，
，解得，
.
，，
是的中位线，
.专题训练（六） 与圆的切线有关的计算与证明
一、运用切线的性质求角度或证角度关系
1．已知内接于，， ，是上一点.
（1） 如图①，若为的直径，连接，求和的度数；
（2） 如图②，若，连接，过点作的切线，与的延长线交于点，求的度数.
2．如图，为的直径，直线切于点，于点，于点.
（1） 求证：；
（2） 求证：；
（3） 若，，求线段的长.
二、运用切线的性质求长度
3．如图，在中， ，平分交于点，交于点，作的外接圆.
（1） 判断直线与的外接圆的位置关系，并说明理由；
（2） 若，，求的长.
4．如图，在中， ，为边上一点，以点为圆心，的长为半径的与边相切于点，交边于点.
（1） 求证：；
（2） 连接，若，，求的长.
5．[2024北京]如图，是的直径，点，在上，平分.
（1） 求证：；
（2） 延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.
6．[2024陕西]如图，直线与相切于点，是的直径，点，在上，且位于点两侧，连接，，分别与交于点，，连接，，.
（1） 求证：；
（2） 若的半径，，，求的长.
专题训练（六） 与圆的切线有关的计算与证明
一、运用切线的性质求角度或证角度关系
1．（1） 解：，
.
为的直径， .
，
，
.
（2） 如答图，连接.
第1题答图
，
.
四边形为的内接四边形，
，
，
，
.
为的切线，
， ，
.
2．（1） 证明：如答图，连接.
第2题答图
直线切于点， .
为的直径，
，
，.
，，
，即.
（2） 证明：，
.
又，，
，.
（3） 解：，
.
，，
，
.
， ，
，
，，
，
.
二、运用切线的性质求长度
3．（1） 解：直线与的外接圆相切.
理由如下：，
为的外接圆的直径.
如答图，取的中点，连接，
第3题答图
，.
平分，
，.
, , ,即.
又为的半径，
直线与的外接圆相切.
（2） ， .
， ，
，.
又，.
，
即，，，
，
，
.
，
，，
.
4．（1） 证明： ，.
又经过的半径外端点，
切于点.
又与边相切于点，
.
（2） 解：如答图，连接.
第4题答图
为的直径，
， .
又，，
.
,
，
.
，
，即.
，，
.
，，
，
.
设，则，
，即,
，
解得（舍去），.
.
5．（1） 证明：如答图，连接交于点，
第5题答图
是的直径，
，
平分，
，
，
，
.
（2） 解：，
，
，
设，，
，，
，
，
是的切线，
，
，
又，
，
，
，
或（不合题意舍去），
，
半径的长为.
6．（1） 证明： 直线与相切于点，是的直径，
，
，
是的直径，
，
， ，
.
（2） 在中，
，，
，
在中，
，，
，
，，
，
，即，
解得，
，，
，
，
，
，即，
解得，
即的长为.专题训练（七） 不规则图形面积的计算方法与技巧
一、用和差法求图形的面积
1．[2024山西]如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）.通过测量得到扇形的圆心角为 ，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______________.
2．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作的切线，交于点.
（1） 求证：；
（2） 若的半径为4， ，求图中阴影部分的面积.
二、用割补法求图形的面积
3．如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，，分别为，的中点.以点为圆心，2为半径作圆弧，再分别以点，为圆心，1为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中， ，，以为直径的交于点，求图中阴影部分的面积.
三、用等积法求图形的面积
5．如图，在半径为6的中，点，，都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为的直径，，是半圆的三等分点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为.
（1） 求证：是的切线；
（2） 若的半径为2，求图中阴影部分的面积.
四、用整体法求图形的面积
7．如图，分别以边形的顶点为圆心，以1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在小正方形构成的网格中，有半径为1的，则图中两个阴影小扇形的面积之和为________.
五、用图形变换法求图形的面积
9．如图，在中， ， ，，把绕点按顺时针方向旋转 后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积为（ ）
B． C． D．
专题训练（七） 不规则图形面积的计算方法与技巧
一、用和差法求图形的面积
1．
2．（1） 证明：如答图，连接.
，.
，，
，.
是的切线，，
.
第2题答图
（2） 解：如答图，连接.
， ，
， .
， .
的半径为4，
，
，
.
二、用割补法求图形的面积
3．C
4．解：如答图，连接，.
，，
是等腰直角三角形，.
为的直径， ，
是等腰斜边上的高.
是的中点，
,
,
也是半圆的中点，
扇形的面积与扇形的面积相等，
阴影部分的面积等于的面积.
是等腰直角三角形，
.
.
第4题答图
三、用等积法求图形的面积
5．A
6．（1） 证明：如答图，连接.
，为半圆的三等分点，
，，
.
，.
是的半径，
是的切线.
第6题答图
（2） 解：如答图，连接.
，
.
易证，，
.
四、用整体法求图形的面积
7．D
8．
五、用图形变换法求图形的面积
9．C
