期中质量评估（含答案）2024-2025学年数学湘教版九年级下册

期中质量评估
［时间:120分钟 分值:120分］
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列函数中,属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标为
C．与轴交点为 D．对称轴为直线
3．在平面直角坐标系中,将抛物线先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,则平移后抛物线的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中,的直径为10.若圆心为坐标原点,则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在外
C．点在内 D．无法确定
5．已知正六边形内接于,若的直径为2,则该正六边形的周长是（ ）
A．12 B． C．6 D．
6．如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,连接,,则的面积为（ ）
第6题图
A．1 B．2 C．4 D．8
7．如图,是的直径,与相切于点,交于点.若 ,则的度数为（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8．如图,已知线段是的直径,弦于点.若,,则的长为（ ）
第8题图
A． B． C． D．5
9．已知，是抛物线是常数，上的两点，现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则.其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图,在以为直径的中,为上的一点,,弦于点,弦交于点,交于点.若是的中点,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．一个二次函数的图象与抛物线的形状相同、开口方向相同，且顶点坐标为，则这个函数的表达式是______________________.
12．如图,已知三边的长分别为5,12,13,那么的内切圆的半径为____.
第12题图
13．如图,一块矩形土地由篱笆围着,并且由一条与边平行的篱笆分开.已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计）,当____时,矩形土地的面积最大.
第13题图
14．如图,四边形内接于.若 ,则的度数为__________.
第14题图
15．如图,在中, ,,,为的中点,以点为圆心,长为半径作半圆,交于点,则图中阴影部分的面积是____________.
第15题图
16．如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,正方形的顶点在轴的负半轴上,点在轴的正半轴上,经过点,的抛物线的顶点为.若为等腰直角三角形,则的值为________.
第16题图
17．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为______.（结果保留）
第17题图
18．如图，在中，，，则的外接圆的半径是________.
第18题图
三、解答题（本题共8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）已知二次函数的表达式为.
（1） 此二次函数的顶点坐标为______________,与轴的交点坐标为____________和____________,与轴的交点坐标为____________;
（2） 如图,在平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象.
20．（6分）如图,点,的坐标分别为,,将绕点按逆时针方向旋转 得到.
（1） 在平面直角坐标系中画出;
（2） 点的坐标为____________;
（3） 求在旋转过程中,点所经过的路径的长度.
21．（8分）如图,已知在中,,与相交于点，连接,,.求证:
（1） ;
（2） 四边形为菱形.
22．（8分）已知二次函数.
（1） 当，时，
① 求该函数图象的顶点坐标；
② 当时，求的取值范围.
（2） 当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式.
23．（9分）某商场购进甲、乙两种商品共100箱,全部售完后,甲种商品共盈利900元,乙种商品共盈利400元,甲种商品比乙种商品每箱多盈利5元.
（1） 求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2） 甲、乙两种商品全部售完后,该商场又购进一批甲商品,在原来每箱盈利不变的前提下,平均每天可卖出100箱.若调整价格,甲种商品每箱降价1元,则平均每天可多卖出20箱.那么当甲种商品每箱降价多少元时,该商场销售利润最大？最大利润是多少？
24．（9分）如图，已知抛物线关于轴对称，与轴交于，两点，点的坐标为，且抛物线经过点.
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 已知点在轴上，在抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
25．（10分）如图，是的直径，于点，连接交于点，弦，弦于点.
（1） 求证：是的中点；
（2） 求证：是的切线；
（3） 若，的半径为5，求的长.
26．（10分）综合与实践
【问题提出】
（1） 如图①，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进.请结合你所学知识，求证：.
【数学理解】
德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图②，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为“米勒定理”.
【问题解决】
如图③，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标.
期中质量评估
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．D 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B 9．B 10．C
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．
12．2
13．150
14．
15．
16．
17．
18．
三、解答题（本题共8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1） ； ； ；
（2） 解:画出二次函数的图象如答图.
第19题答图
20．（1） 解:画出如答图.
第20题答图
（2）
（3） 的长为 .
21．（1） 证明:如答图,连接.
第21题答图
,,
.
（2） 如答图,设与相交于点.
,.
,,
.
又,
,
,
四边形为平行四边形.
又, 四边形为菱形.
22．（1） ① 解:，，
，
该函数图象的顶点坐标为.
② ，
当时，随的增大而增大;当时，随的增大而减小,
当时，有最大值7.
，
当时，有最小值，
当时，.
（2） 时，的最大值为2；时，的最大值为3，
抛物线的对称轴直线在轴的右侧，
.
抛物线开口向下，当时，的最大值为2，
.
又，
.
，.
二次函数的表达式为.
23．（1） 解:设甲种商品每箱盈利元,则乙种商品每箱盈利元.
由题意,得,
解得或（舍去）.
经检验,是原分式方程的解,且符合实际,
（元）.
答:甲种商品每箱盈利15元,乙种商品每箱盈利10元.
（2） 设甲种商品每箱降价元,利润为元，则每天可多卖出箱.
由题意,得.
,
当时,有最大值,最大值是2 000.
答:当甲种商品每箱降价5元时,该商场销售利润最大,最大利润是2 000元.
24．（1） 解: 抛物线关于轴对称，.
将点，点代入，
得解得
抛物线的表达式为.
（2） 存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形.
当时，.解得，.
设，.
当为平行四边形的对角线时，，即.
解得，此时；
当为平行四边形的对角线时，，即.
解得，此时；
当为平行四边形的对角线时，，即.
解得，此时.
综上所述，点的坐标为或或.
25．（1） 证明：如答图，连接.
第25题答图
，
，.
，，
，，
即是的中点.
（2） 证明：在和中，
，
.
， ，
，.
是的半径，是的切线.
（3） 解:，，，
.
，,.
设，则.
又的半径为5，.
，，
解得，（不合题意，舍去），
.
26．（1） 证明:,是所对的圆周角，
，
，
.
（2） 解：如答图，连接，过点作交轴于点，连接，
第26题答图
， ，
与轴相切于点，轴，
，
四边形是矩形，
，.
，，，
，，
，
点的坐标为.