湖北省荆州市沙市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

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沙市一中2024年秋季学期高二期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（）
A B. C. D.
3. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（）
A. B. C. D.
4. 已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（）
A. B.
C. D.
5. 空间四边形OABC中，，，，点M，N分别为OA，BC中点，则等于（）
A. B.
C. D.
6. 已知点 ，点在直线 上，则 的最小值是（　　）
A. B. C. D.
7. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆 C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（）
A. B. C. D.
8. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 事件A，B的概率分别为：，，则（）
A. 若A，B为互斥事件，
B.
C. 若A，B相互独立，
D. 若，则A，B相互独立
10. 已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（）
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11已知空间四面体OABC，则（）
A. 当，则点P在平面ABC内
B. 若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为
C. 若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则__________.
13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
14. 过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，.（1）求证：是平面法向量；
（2）求平行四边形的面积.
16. 已知点、、，点是线段的中点，，垂足为.
（1）求直线的方程；
（2）求点坐标；
（3）求面积.
17. 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛. 决赛阶段进行线上答题. 题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立. 选择题答对得5分，否则得0分；填空题答对得4分，否则得0分，将得分逐题累加.
（1）若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，. 求他得分不低于10分的概率；
（2）规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止. 已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为. 小红依次做一道选择题两道填空题，求小红通过考试的概率.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，边长是，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小.
19. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
（3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值.
沙市一中2024年秋季学期高二期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】B
4.
【答案】B
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.
【答案】AD
10.
【答案】CD
11.
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】.
13.
【答案】##0.3
14.【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【详解】试题分析：
(1)由题意结合空间向量数量积的运算法则计算可得，.则，，结合线面垂直的判断定理可得平面，即是平面的法向量.
(2)利用平面向量的坐标计算可得，，，则，，.
试题解析：
（1）∵，
.
∴，，又，∴平面，
∴是平面的法向量.
（2）∵，，
∴，
∴，
故，.
16.
【解析】
【分析】（1）求出线段的中点的坐标，利用两点式可得出直线的方程；
（2）求出直线的方程，将直线、的方程联立，即可解得点的坐标；
（3）求出、，由可得结果.
【小问1详解】
解：因为、，所以的中点为，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
解：由（1）知，因为，所以，
所以直线方程为，即.
联立，解得，所以点的坐标为.
【小问3详解】
解：因为，，
所以.
17.
【解析】
【分析】由相互独立事件的概率乘法公式求解即可
【小问1详解】
记“他得分不低于10分”为事件，
则
，
即得分不低于10分的概率；
【小问2详解】
记“小红通过考试”为事件，
则，
即小红通过考试的概率为.
18.
【解析】
【分析】（1）连接，利用中位线可证线线平行，进而可证线面平行；
（2）根据线面垂直及正方形可证平面，即，再由，可得证；
（3）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可得面面角.
【小问1详解】
连接，设，连接，
则为中点，
又是的中点，
，
又平面，平面，
平面；
【小问2详解】
底面，底面，
，
又是正方形，
，
又，平面，且，
平面，
平面，
，
，
，
，平面，，
平面，
平面，
，
，且，，平面，
平面；
【小问3详解】
由（2）得平面，则平面，
所以可以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
即，，，
设平面法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以，
即平面与平面夹角余弦值为，
所以平面与平面夹角为.
19.
【解析】
【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可；
（2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解；
（3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明.
【小问1详解】
因为，所以，直线的方程为，
圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
所以；
【小问2详解】
取的中点为，如图，

假设存在弦被点三等分，设，，则，
，解得，
当斜率不存在时，，故斜率存在，
设斜率为，则：，
，解得，
即存在弦被点三等分，直线的斜率为；
【小问3详解】
由题意知，,
当直线斜率不存在时，，，
不妨取，
则，此时；
直线斜率存在时，设方程为，
代入圆的方程可得，
设，则，
又，
所以，
综上，为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
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