中小学教育资源及组卷应用平台
2024年八上全等三角形培优（部分题目包含等腰章节内容）
一．全等三角形的判定（共2小题）
1．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
2．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．全等三角形的判定与性质（共23小题）
3．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（ ）
A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定
4．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为（ ）
A． B．9 C．18 D．36
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上，BE∥AC，DE交AB于点M．若点M是AB边的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形BCDE的面积等于（ ）
A．12 B．14 C．24 D．48
6．如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，AE＝AC，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为16，AF＝4，则FG的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．
7．如图，在△ABC中，分别延长AC，AB边上的中线BD，CE到F，G．使DF＝BD，EG＝CE，则下列说法：①GA＝AF；②GA∥BC；③GB＝BF；④四边形GBCF的面积是△ABC面积的3倍．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，在△ABC中，分别延长AC，AB边上的中线BD，CE到F，G，使DF＝BD，EG＝CE，则下列说法：①GA＝AF；②GA∥BC；③GB＝AC；④四边形GBCF的面积是△ABC面积的3倍．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E．下列结论：①∠ABM＝∠ACD；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④S△EDN＝S△ADM．其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是 ．
11．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，BC＝12，则AE＝ ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△BDE的面积为2，△ABC的面积为21，则△CFD的面积为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，A（0，5），B（﹣1，0），点C在第一象限，∠BAC＝90°，AB＝AC，求点C的坐标．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的角平分线的交点E恰好落在AD边上，AB+CD＝BC，求证：AB∥CD．
15．如图，AB∥CD，点E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线．
（1）求证：DE是∠CDA的平分线；
（2）若AB＝5，AD+2CD＝10，求CD的长．
16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
求证：（1）∠DAC＝∠FAB；
（2）DF＝CE+EF．
17．如图1，在△ABC中，∠B＝∠ACB，延长BA至D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长AC至F，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，且DE＝FG．
（1）求证：△BDE≌△CFG；
（2）如图2，连接DF，交EG于点H，用等式表示线段GH与BC的数量关系，并证明．
18．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明你的结论
（2）如图②，过点C作AB边上的高CG，试猜想DE，DF，CG的长之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
19．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一点，连接BD，G，F两点都在线段BD上，连接AG，AF，过C作CE∥BD交AF延长线于点E，若AG＝AF，∠ABD＝∠CAE．求证：AG＝CE；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC下方一点，连接AD，BD，过C作CE∥BD交AD于点E，若∠ABD＝∠CAE，CE＝3，AE＝1，求DE的长．
20．如图，AD∥BC，AD＝BC，EG为△BEC中线，EF为△BEG中线．
（1）证明：△ADC≌△CBA；
（2）已知：MN＝NE．
①∠MEN与∠BGE关系是 ？并给出证明；
②证明：EC＝2EF．
21．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．
①求∠ABG的度数；
②当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
22．如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE．
（2）在图1的基础上，过点A作AM⊥BD，交DB延长线于点M，作AN⊥EC，交EC延长线于点N，EC延长线交DM于点F．
①MF与NF有什么数量关系，请说明理由．
②若四边形AMFC的面积为35，AM＝6，点F为BM的中点，则FM的长为多少？请直接写出答案．
23．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
（2）求证：CF＝FG+CE．
24．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．
25．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．中小学教育资源及组卷应用平台
2024年八上全等三角形 培优（部分题目包含等腰章节内容）
一．全等三角形的判定（共2小题）
1．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【思路点拔】根据全等三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，
故选：C．
2．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据三角形内角和以及角平分线的定义得∠PAB+∠PBA＝45°，继而得出∠APB的度数，即可判断①；推出∠APB＝∠FPB，根据ASA证明即可，即可判断②；证明△PAH≌△PFD（ASA），得AH＝FD，∠AHP＝∠FDP，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA，
∴，，
∴，
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，故结论①正确；
∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPA＝∠FPD＝90°，
∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确；
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，
∴∠PAH＝∠PFD，
在△PAH和△P F D中，
，
∴△PAH≌△PFD（ASA），
∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP，
∵∠FDP是△ABD的外角，
∴∠FDP＞∠ABC，
∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误；
又∵AH＝FD，AB＝FB，
∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD，
即AH+BD＝AB，故结论④正确，
∴正确的个数是3个．
故选：C．
二．全等三角形的判定与性质（共23小题）
3．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（ ）
A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定
【思路点拔】延长AP交BC于点D，根据角平分线的定义可得∠ABP＝∠DBP，再根据垂直定义可得∠APB＝∠DPB＝90°，然后根据ASA可得△BAP≌△BDP，从而利用全等三角形的性质可得AP＝DP，进而可得△APC的面积＝△DPC的面积，最后进行计算即可解答．
【解答】解：延长AP交BC于点D，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠DPB＝90°，
∵BP＝BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP＝DP，
∴△APC的面积＝△DPC的面积，
∵△BPC的面积＝12cm2，
∴△BPD的面积+△CPD的面积＝12，
∴△ABP的面积+△APC的面积＝12，
∴△ABC的面积＝24cm2，
故选：A．
4．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为（ ）
A． B．9 C．18 D．36
【思路点拔】过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，
∵AB＝AC，
∴BH＝HC，
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACH+∠ECF＝90°，
∵∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠ECF＝∠CAH，
在△ACH与△CEF中，
，
∴△ACH≌△CEF（AAS），
∴EF＝CHBC＝3，
∴△BCE的面积，
故选：B．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上，BE∥AC，DE交AB于点M．若点M是AB边的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形BCDE的面积等于（ ）
A．12 B．14 C．24 D．48
【思路点拔】由∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求得S△ABCAC BC＝24，由BE∥AC，得∠E＝∠ADM，而∠BME＝∠AMD，BM＝AM，即可根据“AAS”证明△BME≌△AMD，则S△BME＝S△AMD，即可推导出S四边形BCDE＝S△ABC＝24，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴S△ABCAC BC8×6＝24，
∵BE∥AC，
∴∠E＝∠ADM，
∵点M是AB边的中点，
∴BM＝AM，
在△BME和△AMD中，
，
∴△BME≌△AMD（AAS），
∴S△BME＝S△AMD，
S四边形BCDE＝S四边形BCDM+S△BME＝S四边形BCDM+S△AMD＝S△ABC＝24，
故选：C．
6．如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，AE＝AC，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为16，AF＝4，则FG的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．
【思路点拔】作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF＝AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG，同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA＝16，进而得到FG的长．
【解答】解：如图，
过点A作AH⊥BC于H，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，
又∵AF⊥DE，
∴，
∴AF＝AH，
∵AF⊥DE，AH⊥BC，
∴∠AFG＝∠AHG＝90°，
在Rt△AFG和Rt△AHG中，
，
∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），
同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），
∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝16，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴SRt△AFG＝8，
∵AF＝4，
∴，
解得：FG＝4；
故选：A．
7．如图，在△ABC中，分别延长AC，AB边上的中线BD，CE到F，G．使DF＝BD，EG＝CE，则下列说法：①GA＝AF；②GA∥BC；③GB＝BF；④四边形GBCF的面积是△ABC面积的3倍．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【思路点拔】由AE＝BE，∠AEG＝∠BEC，GE＝CE，根据“SAS”证明△AEG≌△BEC，得GA＝BC，∠AGE＝∠BCE，所以GA∥BC，可判断②正确；同理△ADF≌△CDB，△BEG≌△AEC，所以AF＝BC，∠AFD＝∠CBD，GB＝AC，则AG＝AF，AF∥BC，可判断①正确；由AG∥BC，AF∥BC，证明G、A、F三点在同一条直线上，则GF∥BC，设两条平行线GF与BC之间的距离为h，则，可证明S四边形GBCF＝3S△ABC，可判断④正确，无法判断GB＝BF，于是得到问题的答案．
【解答】解：在△ABC中，BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDB中，
，
同理△ADF≌△CDB（SAS），
∴AF＝BC，∠AFD＝∠CBD，
∴AG＝AF，AF∥BC，
故①正确；
在△ABC中，CE是△ABC的中线，
∴AE＝BE，
在△AEG和△BEC中，
，
∴△AEG≌△BEC（SAS），
∴GA＝BC，∠AGE＝∠BCE，
∴GA∥BC，
故②正确；
∵AG∥BC，AF∥BC，
∴G、A、F三点在同一条直线上，
∴GF∥BC，
设两条平行线GF与BC之间的距离为h，
∵GA＝AF＝BC，
∴，
∴，
∴S四边形GBCF＝3S△ABC，
故④正确；
无法判断GB＝BF，
故③错误；
综上分析可知：正确的有①②④，
故B正确．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，分别延长AC，AB边上的中线BD，CE到F，G，使DF＝BD，EG＝CE，则下列说法：①GA＝AF；②GA∥BC；③GB＝AC；④四边形GBCF的面积是△ABC面积的3倍．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】由AE＝BE，∠AEG＝∠BEC，GE＝CE，根据“SAS”证明△AEG≌△BEC，得GA＝BC，∠AGE＝∠BCE，所以GA∥BC，可判断②正确；同理△ADF≌△CDB，△BEG≌△AEC，所以AF＝BC，∠AFD＝∠CBD，GB＝AC，则AG＝AF，AF∥BC，可判断①正确，③正确；由AG∥BC，AF∥BC，证明G、A、F三点在同一条直线上，则GF∥BC，设两条平行线GF与BC之间的距离为h，则GA hAF hBC h，可证明S四边形GBCF＝3S△ABC，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵CE是△ABC的中线，
∴AE＝BE，
在△AEG和△BEC中，
，
∴△AEG≌△BEC（SAS），
∴GA＝BC，∠AGE＝∠BCE，
∴GA∥BC，
故②正确；
同理△ADF≌△CDB（SAS），
∴AF＝BC，∠AFD＝∠CBD，
∴AG＝AF，AF∥BC，
故①正确；
∵AG∥BC，AF∥BC，
∴G、A、F三点在同一条直线上，
∴GF∥BC，
设两条平行线GF与BC之间的距离为h，
∵GA＝AF＝BC，
∴GA hAF hBC h，
∴S△ABG＝S△ACF＝S△ABCS四边形GBCF，
∴S四边形GBCF＝3S△ABC，
故④正确；
在△BEG和△AEC中，
，
∴△BEG≌△AEC（SAS），
∴GB＝AC，
故③正确，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E．下列结论：①∠ABM＝∠ACD；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④S△EDN＝S△ADM．其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】由CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，得∠BDC＝∠ADC＝∠CMB＝∠AMB＝90°，则∠ABM＝∠ACD＝90°﹣∠A，可判断①正确；
由∠DCB＝∠DBC＝45°，得CD＝BD，而∠CDM＝∠BDN＝90°﹣∠CDN，可证明△CDM≌△BDN，得DM＝DN，可判断②正确；
由∠AMB＝90°，∠DMN＝∠DNM＝45°，得∠AMD＝45°，可判断③正确；
由∠END＝∠AMD＝45°，∠EDN＝∠ADM＝90°﹣∠CDM，DN＝DM，可证明△EDN≌△ADM，则S△EDN＝S△ADM，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠CMB＝∠AMB＝90°，
∴∠ABM＝∠ACD＝90°﹣∠A，
故①正确；
∵DN⊥MD，交BM于点N，
∴∠MDN＝90°，
∴∠CDM＝∠BDN＝90°﹣∠CDN，
∵∠BDC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠DCB＝∠DBC＝45°，
∴CD＝BD，
在△CDM和△BDN中，
，
∴△CDM≌△BDN（ASA），
∴DM＝DN，
故②正确；
∵DM＝DN，∠MDN＝90°，
∴∠DMN＝∠DNM＝45°，
∴∠AMD＝∠AMB﹣∠DMN＝90°﹣45°＝45°，
故③正确；
∵∠END＝45°，∠AMD＝45°，
∴∠END＝∠AMD，
∵∠EDN+∠CDM＝90°，ADM+∠CDM＝90°，
∴∠EDN＝∠ADM，
在△EDN和△ADM中，
，
∴△EDN≌△ADM（ASA），
∴S△EDN＝S△ADM，
故④正确，
故选：D．
10．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是 1＜AD＜5 ．
【思路点拔】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
11．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，BC＝12，则AE＝ 3.5 ．
【思路点拔】延长AE交BC于点F，根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC∠ABF，再根据垂直定义可得∠AEB＝∠BEF＝90°，从而利用ASA证明△ABE≌△FBE，再利用全等三角形的性质可得AE＝EF，AB＝BF＝5，从而可得CF＝7，然后根据垂直定义可得∠EBF+∠AFB＝90°，从而可得∠ABC+∠AFB＝90°，再根据已知可得∠ABC+2∠C＝90°，从而可得∠AFB＝2∠C，最后利用三角形的外角性质可得∠AFB＝∠C+∠CAF，从而可得∠C＝∠CAF，进而可得AF＝CF＝7，进行计算即可解答．
【解答】解：延长AE交BC于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABF，
∵BE⊥AF，
∴∠AEB＝∠BEF＝90°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，AB＝BF＝5，
∵BC＝12，
∴CF＝BC﹣BF＝12﹣5＝7，
∵∠BEF＝90°，
∴∠EBF+∠AFB＝90°，
∴∠ABC+∠AFB＝90°，
∵∠ABC+4∠C＝180°，
∴∠ABC+2∠C＝90°，
∴∠AFB＝2∠C，
∵∠AFB是△AFC的一个外角，
∴∠AFB＝∠C+∠CAF，
∴∠C＝∠CAF，
∴AF＝CF＝7，
∴AE＝EFAF＝3.5，
故答案为：3.5．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△BDE的面积为2，△ABC的面积为21，则△CFD的面积为 9 ．
【思路点拔】根据三角形外角的性质结合题意可证△ABE≌△CAF（ASA），得出S△ABE＝S△CAF．根据CD＝2BD可求出，，最后根据S△CAF＝S△ABE＝S△ABD﹣S△BDE，S△CFD＝S△ACD﹣S△CAF求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠ABE+∠BAE，∠BAC＝∠FAC+∠BAE，∠2＝∠ACF+∠FAC，
∴∠BAE＝∠ACF．∠ABE＝∠FAC，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴S△ABE＝S△CAF．
∵CD＝2BD，
∴S△ACD＝2S△ABD，
∴，，
∴S△CAF＝S△ABE＝S△ABD﹣S△BDE＝7﹣2＝5，
∴S△CFD＝S△ACD﹣S△CAF＝14﹣5＝9．
故答案为：9．
13．如图，在平面直角坐标系中，A（0，5），B（﹣1，0），点C在第一象限，∠BAC＝90°，AB＝AC，求点C的坐标．
【思路点拔】作CM⊥OA，垂足为M，证明△ABO≌△CAM（AAS），即可解答．
【解答】解：如图，作CM⊥OA，垂足为M，
∵∠AOB＝∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAM，
在△ABO和△CAM中，
，
∴△ABO≌△CAM（AAS），
∴MC＝AO＝5，AM＝BO＝1，MO＝AO﹣AM＝4，
∴点C坐标（5，4）．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的角平分线的交点E恰好落在AD边上，AB+CD＝BC，求证：AB∥CD．
【思路点拔】在AB上截取FB＝AB，连接EF，根据AB+CD＝BC得CD＝CF，证明△ABE和△FBA全等得∠A＝∠BFE，再证明△CDE和△CFE全等得∠D＝∠CFE，然后根据∠BFE+∠CFE＝180°得∠A+∠D＝180°，由此即可得出结论．
【解答】证明：在AB上截取FB＝AB，连接EF，如图所示：
∴BC＝BF+CF＝AB+CF，
∵AB+CD＝BC，
∴AB+CD＝AB+CF，
∴CD＝CF，
∵BE平分∠ABC，AC平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
在△ABE和△FBA中，
，
∴△ABE≌△FBA（SAS），
∴∠A＝∠BFE，
在△CDE和△CFE中，
，
∴△CDE≌△CFE（SAS），
∴∠D＝∠CFE，
∵∠BFE+∠CFE＝180°，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD．
15．如图，AB∥CD，点E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线．
（1）求证：DE是∠CDA的平分线；
（2）若AB＝5，AD+2CD＝10，求CD的长．
【思路点拔】（1）延长AE，DC交于F，根据平行线的性质证明DA＝DF，然后证明△ABE≌△FCE（AAS），得AE＝FE，再证明△DAE≌△DFE（SSS），得∠ADE＝∠FDE，即可解决问题；
（2）由（1）△ABE≌△FCE，得AB＝FC＝5，然后利用线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，延长AE，DC交于F，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F，
∴∠DAE＝∠F，
∴DA＝DF，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
在△DAE和△DFE中，
，
∴△DAE≌△DFE（SSS），
∴∠ADE＝∠FDE，
∴DE是∠CDA的平分线；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△FCE，
∴AB＝FC＝5，
∵AD＝DF＝CD+CF＝CD+5，AD+2CD＝10，
∴CD+5+2CD＝10，
∴3CD＝5，
∴CD．
16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
求证：（1）∠DAC＝∠FAB；
（2）DF＝CE+EF．
【思路点拔】（1）由AF⊥DE，得∠DFA＝90°＝∠ABC，再证明Rt△ADF≌Rt△CAB（HL），根据全等三角形的性质得∠DAF＝∠CAB，最后由角度和差即可求证；
（2）连接AE，由“HL”可证Rt△AEF≌Rt△AEB可得EF＝BE，最后通过线段和差即可求证．
【解答】证明：（1）四边形ABCD中，∠ABC＝90°，且AC＝AD，点E在边BC上，AF⊥DE，垂足为F，AB＝AF，
∴∠DFA＝90°＝∠ABC，
在Rt△ADF和Rt△CAB中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△CAB（HL），
∴∠DAF＝∠CAB，
∴∠DAF+∠CAF＝∠CAB+∠CAF，
∴∠DAC＝∠FAB；
（2）如图，连接AE，
由（1）得：∠DFA＝90°＝∠ABC，
∴∠DFE＝∠ABC＝90°，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴EF＝BE，
∵Rt△ADF≌Rt△CAB，
∴DF＝BC，
∴DF＝BC＝CE+BE＝CE+EF．
17．如图1，在△ABC中，∠B＝∠ACB，延长BA至D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长AC至F，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，且DE＝FG．
（1）求证：△BDE≌△CFG；
（2）如图2，连接DF，交EG于点H，用等式表示线段GH与BC的数量关系，并证明．
【思路点拔】（1）根据AAS证明△BDE与△CFG全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出BE＝CG，进而利用AAS证明△DEH与△FGH全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEB＝∠FGC＝90°，
∵∠B＝∠ACB，∠FCG＝∠ACB，
∴∠B＝∠FCG，
在△BDE与△CFG中，
，
∴△BDE≌△CFG（AAS）；
（2）解：GHBC，理由如下：
∵△BDE≌△CFG，
∴BE＝CG，
∴BE﹣CE＝CG﹣CE，
即BC＝EG，
∵DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEH＝∠FGH＝90°，
在△DEH与△FGH中，
，
∴△DEH≌△FGH（AAS），
∴GH＝EHEG，
∴GHBC．
18．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明你的结论
（2）如图②，过点C作AB边上的高CG，试猜想DE，DF，CG的长之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【思路点拔】（1）根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）连接AD，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】（1）解：当点D在BC的中点上时，DE＝DF，
证明：∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）结论：CG＝DE+DF．
理由：连接AD，
∵S三角形ABC＝S三角形ADB+S三角形ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
19．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一点，连接BD，G，F两点都在线段BD上，连接AG，AF，过C作CE∥BD交AF延长线于点E，若AG＝AF，∠ABD＝∠CAE．求证：AG＝CE；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC下方一点，连接AD，BD，过C作CE∥BD交AD于点E，若∠ABD＝∠CAE，CE＝3，AE＝1，求DE的长．
【思路点拔】（1）由AG＝AF，得∠AGF＝∠AFG，则∠AGB＝∠AFD，由CE∥BD，得∠E＝∠AFD，所以∠AGB＝∠E，而∠ABG＝∠CAE，AB＝CA，即可根据“AAS”证明△ABG≌△CAE，则AG＝CE；
（2）在BD上截取BH＝AE，连接AH，可证明△ABH≌△CAE，得AH＝CE＝3，∠AHB＝∠CEA，则∠AHD＝180°﹣∠AHB＝180°﹣∠CEA＝∠CED，根据平行线的性质得∠CED＝∠D，则∠AHD＝∠D，所以AD＝AH＝3，则DE＝AD﹣AE＝2．
【解答】（1）证明：∵AG＝AF，
∴∠AGF＝∠AFG，
∵∠AGB+∠AGF＝180°，∠AFD+∠AFG＝180°，
∴∠AGB＝∠AFD，
∵CE∥BD，
∴∠E＝∠AFD，
∴∠AGB＝∠E，
在△ABG和△CAE中，
，
△ABG≌△CAE（AAS），
∴AG＝CE.
（2）解：如图2，在BD上截取BH＝AE，连接AH，
在△ABH和△CAE中，
，
∴△ABH≌△CAE（SAS），
∴AH＝CE＝3，∠AHB＝∠CEA，
∴∠AHD＝180°﹣∠AHB＝180°﹣∠CEA＝∠CED，
∵CE∥BD，
∴∠CED＝∠D，
∴∠AHD＝∠D，
∴AD＝AH＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣1＝2，
∴DE的长是2．
20．如图，AD∥BC，AD＝BC，EG为△BEC中线，EF为△BEG中线．
（1）证明：△ADC≌△CBA；
（2）已知：MN＝NE．
①∠MEN与∠BGE关系是 ∠MEN＝∠BGE ？并给出证明；
②证明：EC＝2EF．
【思路点拔】（1）根据SAS证明△ADC≌△ABC即可；
（2）①根据等边对等角得出∠MEN＝∠NME，根据平行线的性质得出∠BGE＝∠NME，即可得证；
②延长EF到点H，使FH＝EF，连接GH，根据SAS证明△BFE≌△GFH，得出BE＝GH，根据等角对等边、三角形中线的性质可得出BE＝BG＝CG＝GH，根据三角形外角的性质可得出∠EGC＝∠EGH，证明△EGC≌△EGH，即可得出EC＝EH＝2EF．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ADC和△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA（SAS）；
（2）①解：∠MEN＝∠BGE；理由如下：
∵MN＝NE，
∴∠MEN＝∠NME，
∵AD∥BC，
∴∠BGE＝∠NME，
∴∠MEN＝∠BGE，
故答案为：∠MEN＝∠BGE；
②证明：延长EF到点H，使FH＝EF，连接GH，
∵EF为△BEG中线，
∴BF＝GF，
在△BFE和△GFH中，
，
∴△BFE≌△GFH（SAS），
∴BE＝GH，
由①知∠MEN＝∠BGE，
又∵∠MEN＝∠BEG，
∴∠BEG＝∠BGE，
∴BE＝BG，∠EBF＝∠HGF，
又∵EG为△BEC中线，
∴BG＝CG，
∴GH＝CG，
∵∠EGC＝∠EBG+∠BEG，∠EGH＝∠BGH+∠BGE，∠EBG＝∠HGB，∠BEG＝∠BGE，
∴∠EGC＝∠EGH，
在△EGC和△EGH中，
，
∴△EGC≌△EGH（SAS），
∴EC＝EH＝2EF．
21．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．
①求∠ABG的度数；
②当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
【思路点拔】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可得证；
（2）①根据BF平分∠ABC交AC于点F，得出∠CBF＝∠ABF＝45°，根据对顶角相等得出∠DBG＝∠CBF＝45°，
进而即可求解；
②作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可得证．
【解答】（1）证明：在Rt△ACB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），
∴AB＝BD；
（2）①∵BF平分∠ABC交AC于点F，∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABF＝45°，∠ABD＝90°，
∵∠DBG＝∠CBF＝45°，
∴∠ABG＝∠ABD+∠DBG＝90°+45°＝135°，
②证明：如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，
∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，
∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，
∵∠ABF＝∠DBG＝45°，
∴∠MBD＝∠GBD，
在△BMK和△BGK中，
，
∴△BMK≌△BGK（ASA），
∴BM＝BG，MK＝KG，
在△ABM和△DBG中，
，
∴△ABM≌△DBG（SAS），
∴AM＝DG，
∵AK＝AM+MK，
∴AK＝DG+KG．
22．如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE．
（2）在图1的基础上，过点A作AM⊥BD，交DB延长线于点M，作AN⊥EC，交EC延长线于点N，EC延长线交DM于点F．
①MF与NF有什么数量关系，请说明理由．
②若四边形AMFC的面积为35，AM＝6，点F为BM的中点，则FM的长为多少？请直接写出答案．
【思路点拔】（1）利用SAS证得△ABD≌△ACE，进而可求证结论；
（2）①连结AF，根据全等三角形的性质及三角形等面积法可得AM＝AN，再利用HL证得Rt△AMF≌Rt△ANF，进而可求解；
②根据全等三角形的性质可得DM＝EN，AN＝AM＝6，设MF＝BF＝NF＝x，则BM＝CN＝2x，利用S四边形AMFC＝S△AMF+S△ACF即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
（2）解：①MF＝NF，理由如下：
连结AF，如图：
∵AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM是△ABD边BD上的高，AN是△ACE边CE上的高，
∵△ABD≌△ACE，
∴S△ABD＝S△ACE，
∵，，
又∵BD＝CE，
∴AM＝AN，
在Rt△AMF和Rt△ANF中，
，
∴Rt△AMF≌Rt△ANF（HL），
∴MF＝NF．
②由①得Rt△AMF≌Rt△ANF，
∴AN＝AM＝6，∠AMB＝∠ANC＝90°，
在△AMB和△ANC中，
，
∴△AMB≌△ANC（SAS），
∴BM＝CN，
∵BD＝CE，
∴BD+BM＝CE+CN，即：DM＝EN，
∵BD＝CE，
∴DM﹣BD＝EN﹣CE，
∴BM＝CN，
∵点F为BM的中点，
∴，
设MF＝BF＝NF＝x，则BM＝CN＝2x，
∵S四边形AMFC＝S△AMF+S△ACF，
即：，
∴，
∴．
23．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
（2）求证：CF＝FG+CE．
【思路点拔】（1）方法一：先求∠ABC和∠ACB的和为100°，再根据角平分线求∠DBC+∠DCB＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC上取点M，使CM＝CE，证明△CDE≌△CDM（SAS），可得DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，证明∠BDM＝180°ABC﹣∠DMB＝180°ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，进而可以解决问题．
（2）结合（1）然后证明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF＝MF，进而可以解决问题．
【解答】（1）解：方法一：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝50°，
∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°；
方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△CDE和△CDM中，
，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，
∵GD＝DE，
∴GD＝MD，
∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，
∴∠AEB＝∠DMF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBEABC，
∴∠BDM＝180°ABC﹣∠DMB＝180°ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，
∴∠EDM＝100°，
∴∠EDC＝50°；
（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，
∴∠BDM＝2∠BDF，
∴∠FDM＝∠BDF，
在△DGF和△DMF中，
，
∴△DGF≌△DMF（SAS），
∴GF＝MF，
∴CF＝CM+FM＝CE+GF．
∴CF＝FG+CE．
24．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质得到a﹣2＝0，2b﹣4＝0，求得a＝2，b＝2，得到OA＝2，OB＝2，于是得到结果；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF根据已知条件得到∠BDF＝180°，由∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，同时代的∠BOD+∠AOC＝45°，求出∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，推出△ODF≌△ODC，根据全等三角形的性质得到DC＝DF＝DB+BF＝DB+DC；
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，由∠BAO＝∠PDF＝45°，得到∠PAB＝∠PD，E＝135°，根据余角的性质得到∠BPA＝∠PED，推出△PBA≌EPD，根据全等三角形的性质得到AP＝ED，于是得到FD+ED＝PF+AP．即：FE＝FA，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，
∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴△AOB的面积2；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝180°，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
在△ODF与△ODC中，，
∴：△ODF≌△ODC（SAS），
∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC．
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PDE＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，
，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，
即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝2，
∴BQ＝4．
25．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 AE＝BF ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
【思路点拔】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF+CD；
（2）如图3，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF．
