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一元二次方程、二次函数 专项练习
一．选择题（共10小题）
1．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣2向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x+3）2 B．y＝（x+3）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2（x﹣3）2
2．已知点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（5，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3
3．若x＝m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则2m2+4m﹣3＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（ ）
A．（2，6） B．（4，6） C．（3，﹣5） D．（3，5）
5．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
6．二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
A．抛物线开口向上
B．y的最大值为4
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当0＜x＜2时，2＜y
7．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+1，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点（﹣2，﹣7）
B．当x＝1时，函数有最大值，最大值是2
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．对称轴是直线x＝﹣1
8．对于y＝2（x﹣3）2﹣4的图象，下列叙述错误的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝﹣3
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．当x＝3时，y有最小值﹣4
9．一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝6；③12a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣2≤x＜2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共15小题）
11．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是 ．
12．在平面直角坐标系中，点A（m+4，﹣1）与点B（1，n﹣3）关于原点对称，则 ．
13．如果二次函数y＝x2﹣mx+m+1的图象经过原点，那么m的值是 ．
14．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为 ．
15．抛物线y＝x2﹣2x+1向下平移1个单位得到新抛物线，则新抛物线解析式为 ．
16．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是 ．
17．直线y＝x+1绕着点（﹣1，0）顺时针旋转45°后得到直线l，则直线l为 ．
18．已知关于x的方程x2+kx﹣10＝0的一个根是2，则k＝ ．
19．二次函数y＝ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx＝m有实数根，则m的最小值为 ．
20．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集是 ．
21．若关于x的方程x2﹣ax﹣1＝0有一个根2，则a的值是 ．
22．如图，抛物线y＝﹣x2+c经过正方形的顶点A，B，C，则c＝ ．
23．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 ．
24．如果一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，﹣2），则它的解析式是 ．
25．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则式子x12﹣2x1+x2的值为 ．
三．解答题（共15小题）
26．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围
（2）若方程有一个根是2，求另一个根和m的值．
27．已知二次函数y＝x2+4x+3．
（1）将y＝x2+4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）直接写出y＝x2+4x+3的顶点坐标．
28．设x1，x2是一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值：
（1）x12+x22；
（2）（x1﹣3）（x2﹣3）．
29．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值．
30．已知关于x的方程：x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
（1）求实数k的取值范围、
（2）已知方程的一个根为5，求方程的另一个根．
31．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线最高点到x轴的距离为4．求该抛物线的解析式．
32．如图1，是某种音乐喷泉，其形状如抛物线，图2是它的示意图，喷头A到地面BC的距离AO为5m，抛物线AEB与AFC关于AO对称，点D在抛物线AFC的最高处，离地面BC的距离为6m．到AO的距离为1m，已知喷泉的落地点中，B，C间距离最远．
（1）请建立恰当的平面直角坐标系，求抛物线AEB的解析式；
（2）要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径d必须满足什么条件？
33．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
34．小磊进行铅球训练，他尝试用数学模型来研究铅球的运动情况．小磊某次试投时，铅球的运动路径可以看作抛物线，铅球从距地面2m处的A点处出手，在距出手点A水平距离4m处达到最高点B，最高点B距地面的距离为3m．小磊以地面为x轴，出手点A所在的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
（1）写出A，B两点的坐标：A ，B ；
（2）求铅球运动路径所在抛物线的函数解析式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩记为优秀，请通过计算，判断小磊此次成绩是否能达到优秀．
35．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
36．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣10x+ ＝（x﹣ ）2；
（2）将x2﹣8x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣8x+2的最小值；
（3）若M＝4a2+9a+3，N＝3a2+11a﹣1，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由．
37．如图，抛物线yx﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
38．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．
39．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
40．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求3m+n的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程、二次函数 专项练习
一．选择题（共10小题）
1．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣2向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x+3）2 B．y＝（x+3）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2（x﹣3）2
【思路点拔】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣2向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是y＝2（x﹣3）2．
故选：D．
2．已知点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（5，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3
【思路点拔】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是y轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到．
【解答】解：∵y＝﹣x2+5，
∴函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵点（5，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣5，y3），且﹣5＜﹣4＜﹣1，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
3．若x＝m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则2m2+4m﹣3＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【思路点拔】先根据一元二次方程根的定义得到m2+2m＝1，再把2m2+4m﹣3变形为2（m2+2m）﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∴2m2+4m﹣3＝2（m2+2m）﹣3＝2×1﹣3＝﹣1．
故选：B．
4．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（ ）
A．（2，6） B．（4，6） C．（3，﹣5） D．（3，5）
【思路点拔】把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论．
【解答】解：∵二次函数可化为y＝（x﹣3）2+5，
∴二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（3，5），
故选：D．
5．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
【思路点拔】利用配方法即可解决问题．
【解答】解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
故选：D．
6．二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
A．抛物线开口向上
B．y的最大值为4
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当0＜x＜2时，2＜y
【思路点拔】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断．
【解答】解：将点（0，2），（1，4），（3，2）代入二次函数的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+2＝﹣（x）2，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不合题意，
由顶点式可知y的最大值为，
∴B选项不合题意，
由解析式可知抛物线的对称轴为x，
∴当x，y随着x的增大而增大，
∴当x＞1时，y随x的增大先增大，到达最大值后，y随x的增大而减小，
∴C选项不合题意，
当x＝0时，y＝2，当x＝2时，y＝4，
又∵对称轴为x，
当x时，y，
∴当0＜x＜2时，2＜y，
故选项D正确；
故选：D．
7．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+1，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点（﹣2，﹣7）
B．当x＝1时，函数有最大值，最大值是2
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．对称轴是直线x＝﹣1
【思路点拔】把x＝﹣2代入解析式即可判断A，根据函数性质可判定B，C，D．
【解答】解：当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+1＝1，
∴函数的图象经过（﹣2，1），
故A错误，不符合题意；
∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2的对称轴为x＝﹣1，开口向下，
∴当x＝﹣1时，y有最大值2，
故B错误，不符合题意；
∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2的对称轴为x＝﹣1，开口向下，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
故C错误，不符合题意；
∵对称轴为x＝﹣1，
故D正确，符合题意．
故选：D．
8．对于y＝2（x﹣3）2﹣4的图象，下列叙述错误的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝﹣3
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．当x＝3时，y有最小值﹣4
【思路点拔】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点为（3，﹣4），
∴当x＝3时，y有最小值﹣4，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，
故选项A、C、D正确，选项B错误；
故选：B．
9．一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
【思路点拔】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出m2+8＞0，进而可得出一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣1）＝m2+8＞0，
∴一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝6；③12a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣2≤x＜2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】利用抛物线与y轴的交点得c＞0，开口方向得a＜0，对称轴为直线x＝2，得b＝﹣4a＞0，对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；利用对称轴得到b＝﹣4a，由于x＝﹣2时，y＝0，则4a﹣2b+c＝0，把b＝﹣4a代入可对③进行判断；利用抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质可对⑤进行判断．
【解答】解：∵利用抛物线与y轴的交点得c＞0，
开口方向得a＜0，
对称轴为直线x＝2，得b＝﹣4a＞0，
即4ac＜b，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝6，所以②正确；
∵2，
∴b＝﹣4a，
∵x＝﹣2时，y＝0，
∴4a﹣2b+c＝0，
∴4a+8a+c＝0，即12a+c＝0，所以③错误；
当﹣2＜x＜6时，y＞0，所以④错误；
当x＜0时，y随x的增大而增大，所以⑤正确，
综上所述：①②⑤正确，
故选：C．
二．填空题（共15小题）
11．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是 2023 ．
【思路点拔】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，将其代入原式中即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，
∴m2+4m＝3，
∴m2+5m+n+2024
＝m2+4m+m+n+2024
＝3﹣4+2024
＝2023，
故答案为：2023．
12．在平面直角坐标系中，点A（m+4，﹣1）与点B（1，n﹣3）关于原点对称，则 ．
【思路点拔】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点A（m+4，﹣1）与点B（1，n﹣3）关于原点对称，
∴m+4＝﹣1，n﹣3＝1，
解得m＝﹣5，n＝4，
∴．
故答案为：．
13．如果二次函数y＝x2﹣mx+m+1的图象经过原点，那么m的值是 ﹣1 ．
【思路点拔】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+m+1的图象经过原点，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为 ﹣3 ．
【思路点拔】利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，再整体代入计算即可求出值．
【解答】解：因为一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，
所以x1+x2＝2，x1x2＝﹣1．
所以x1x2﹣x1﹣x2
＝﹣1﹣2
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．抛物线y＝x2﹣2x+1向下平移1个单位得到新抛物线，则新抛物线解析式为 y＝（x﹣1）2﹣1 ．
【思路点拔】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，它的顶点坐标是（1，0）．
将其向下平移1个单位得到新抛物线，则新抛物线解析式的顶点坐标是（1，﹣1），
所以新抛物线的解析式是：y＝（x﹣1）2﹣1．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣1．
16．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是 ﹣1≤x≤3 ．
【思路点拔】首先求得（﹣1，0）关于x＝1的对称点，求y≥0时x的取值范围，就是函数图象在x轴上或在x轴上边时对应的x的范围．
【解答】解：（﹣1，0）关于x＝1的对称点是（3，0）．
则x的取值范围是：﹣1≤x≤3．
故答案为：﹣1≤x≤3．
17．直线y＝x+1绕着点（﹣1，0）顺时针旋转45°后得到直线l，则直线l为 y＝0 ．
【思路点拔】由直线解析式即可求得直线y＝x+1与x轴的夹角为45°，故直线y＝x+1绕着点（﹣1，0）顺时针旋转45°后得到直线y＝0．
【解答】解：∵直线y＝x+1中k＝1，
∴直线y＝x+1与x轴的夹角为45°，
∴直线y＝x+1绕着点（﹣1，0）顺时针旋转45°后得到直线l，则直线l为y＝0，
故答案为：y＝0．
18．已知关于x的方程x2+kx﹣10＝0的一个根是2，则k＝ 3 ．
【思路点拔】根据题意先把x＝2代入方程x2+kx﹣10＝0即可求得k的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+kx﹣10＝0的一个根是2，
∴4+2k﹣10＝0，
∴k＝3．
故答案为：3．
19．二次函数y＝ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx＝m有实数根，则m的最小值为 ﹣3 ．
【思路点拔】由抛物线顶点坐标公式可求得a、b的关系，则可表示出一元二次方程的判别式，由根的情况则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围，可求得m的最小值．
【解答】解：
由图象可知二次函数y＝ax2+bx的最小值为﹣3，
∴3，解得b2＝12a，
∵一元二次方程ax2+bx＝m有实数根，
∴△≥0，即b2+4am≥0，
∴12a+4am≥0，
∵a＞0，
∴m≥﹣3，即m的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
20．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集是 ﹣1＜x＜4 ．
【思路点拔】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：当﹣1＜x＜4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，
∴不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜4．
故答案为：﹣1＜x＜4．
21．若关于x的方程x2﹣ax﹣1＝0有一个根2，则a的值是 ．
【思路点拔】将x＝2代入原方程即可求出a的值．
【解答】解：将x＝2代入x2﹣ax﹣1＝0，得
22﹣2a﹣1＝0．
解得a．
故答案为：．
22．如图，抛物线y＝﹣x2+c经过正方形的顶点A，B，C，则c＝ 2 ．
【思路点拔】用c表示出C点坐标，代入y＝﹣x2+c求解即可．
【解答】解：有图可知，AO＝c，
则C（，），
代入y＝﹣x2+c得c，
解得c1＝0（舍去），c2＝2．
故答案为2．
23．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 x1＝4，x2＝﹣2 ．
【思路点拔】根据图象可知，二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0，求根即可．
【解答】解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2+2x+m，代入，得
﹣42+2×4+m＝0
解得m＝8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m＝0，得
﹣x2+2x+8＝0，②
解②得
x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为x1＝4，x2＝﹣2．
24．如果一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，﹣2），则它的解析式是 y＝﹣2（x﹣4）2﹣2 ．
【思路点拔】先根据抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣2，然后再根据已知可得a＝﹣2，即可解答．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标是（4，﹣2），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣2，
∵抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+2相同，
∴a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣4）2﹣2，
故答案为：y＝﹣2（x﹣4）2﹣2．
25．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则式子x12﹣2x1+x2的值为 8 ．
【思路点拔】根据x1、x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，求出x1+x2＝3，x12﹣3x1﹣5＝0，得出x12﹣3x1＝5，再把代数式变形为x12﹣3x1+x1+x2，直接代入进行计算即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，
∴x1+x2＝3，x12﹣3x1﹣5＝0，
∴x12﹣3x1＝5，
∴x12﹣2x1+x2＝x12﹣3x1+x1+x2＝5+3＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共15小题）
26．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围
（2）若方程有一个根是2，求另一个根和m的值．
【思路点拔】（1）根据根的判别式求出b2﹣4ac＞0，再求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3m﹣4）＞0，
解得：m，
∴m的取值范围是m；
（2）设另一个根的值为a，根据根与系数的关系得：a+2＝﹣2，2a＝3m﹣4，
解得a＝﹣4，
∴3m﹣4＝﹣8，
∴m，
即方程的另一个根为﹣4，m的值为．
27．已知二次函数y＝x2+4x+3．
（1）将y＝x2+4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）直接写出y＝x2+4x+3的顶点坐标．
【思路点拔】（1）运用配方法把一般式化为顶点式即可；
（2）利用顶点式直接可以写成顶点坐标．
【解答】解：（1）y＝x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣4+3
＝（x+2）2﹣1；
（2）∵y＝（x+2）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
28．设x1，x2是一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值：
（1）x12+x22；
（2）（x1﹣3）（x2﹣3）．
【思路点拔】（1）利用根与系数的关系，可得出x1+x2，x1x2，将其代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2中，即可求出结论；
（2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2，x1x2，将其代入（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两个根，
∴x1+x2，x1x2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2；
（2）∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两个根，
∴x1+x2，x1x2，
∴（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+939＝2．
29．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值．
【思路点拔】（1）根据“一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根”，得到Δ＞0，根据判别式公式，得到关于k的不等式，解之即可，
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2和x1x2关于k的等式，代入（1+x1）（1+x2）＝3，得到关于k的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4k2＞0，
解得：k，
即k的取值范围为：k；
（2）方程的两个实数根分别为x1，x2，
（1+x1）（1+x2）
＝1+（x1+x2）+x1x2
＝3，
x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2，
则1﹣（2k+1）+k2＝3，
整理得：k2﹣2k﹣3＝0，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去），
即k的值为3．
30．已知关于x的方程：x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
（1）求实数k的取值范围、
（2）已知方程的一个根为5，求方程的另一个根．
【思路点拔】（1）根据根的判别式求出b2﹣4ac＞0，再求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得：k＞﹣4，
∴k的取值范围是k＞﹣4；
（2）设另一个根的值为a，根据根与系数的关系得：
a+54，
解得a＝﹣1，
即方程的另一个根为﹣1．
31．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线最高点到x轴的距离为4．求该抛物线的解析式．
【思路点拔】（1）根据抛物线的对称性和与x轴交点坐标即可求解；
（2）首先把抛物线解析式化为顶点式，然后结合已知条件即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），
∴这条抛物线的对称轴为直线x1；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），
∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∵该抛物线最高点到x轴的距离为4，
∴抛物线开口向下，
∴最高点的纵坐标为4或﹣4，
当最高点的纵坐标为4时，﹣4a＝4，
∴a＝﹣1；
当最高点的纵坐标为﹣4时，﹣4a＝﹣4，
∴a＝1＞0，不合题意，舍去；
∴y＝﹣x2+2x+3．
32．如图1，是某种音乐喷泉，其形状如抛物线，图2是它的示意图，喷头A到地面BC的距离AO为5m，抛物线AEB与AFC关于AO对称，点D在抛物线AFC的最高处，离地面BC的距离为6m．到AO的距离为1m，已知喷泉的落地点中，B，C间距离最远．
（1）请建立恰当的平面直角坐标系，求抛物线AEB的解析式；
（2）要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径d必须满足什么条件？
【思路点拔】（1）建立坐标系，用待定系数法求函数解析式；
（2）令（1）中解析式y＝0，解关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：（1）以O为原点，以BC所在直线为x轴，以AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意知，A（0，5），D（1，6），
∵抛物线AEB与AFC关于AO对称，
∴抛物线AEB的顶点坐标为（﹣1，6），
设抛物线AEB的解析式为y＝a（x+1）2+6，
把A（0，5）代入解析式得：5＝a（0+1）2+6，
解得a＝﹣1，
∴抛物线AEB的解析式为y＝﹣（x+1）2+6；
（2）令y＝0，则﹣（x+1）2+6＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝﹣1，
∴BC＝2OB＝2+2．
答：要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径d必须大于2+2．
33．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
【思路点拔】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）2+5，用待定系数法求得解析式；
（2）将x＝12代入（1）中所求代数式，再跟3.5进行比较．
【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（8，5），
设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，
将点（0，1）代入可得a，
∴抛物线为：y（x﹣8）2+5．
（2）不能，理由如下：
当x＝12时，y（12﹣8）2+5＝4＞3.5，
∴水流不能碰到这棵果树．
34．小磊进行铅球训练，他尝试用数学模型来研究铅球的运动情况．小磊某次试投时，铅球的运动路径可以看作抛物线，铅球从距地面2m处的A点处出手，在距出手点A水平距离4m处达到最高点B，最高点B距地面的距离为3m．小磊以地面为x轴，出手点A所在的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
（1）写出A，B两点的坐标：A （0，2） ，B （4，3） ；
（2）求铅球运动路径所在抛物线的函数解析式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩记为优秀，请通过计算，判断小磊此次成绩是否能达到优秀．
【思路点拔】（1）根据题意和图象可得结论；
（2）设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，由抛物线过点A得到16a+3＝2．求得a，于是得到结论；
（3）根据题意解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）由图中数据可得，点A坐标为（0，2），B点坐标为（4，3），
故答案为：（0，2），（4，3）；
（2）依题意，设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，
由抛物线过点A，有16a+3＝2．
解得a，
∴该抛物线的表达式为y（x﹣4）2+3；
（3）解：令y＝0，得（x﹣4）2+3＝0，
解得x1＝4+4，x2＝4﹣4（C在x轴正半轴，故舍去），
∴点C的坐标为（4+4，0）．
∴OC＝4+4，
由，可得OC＞4+410．
∴小磊此次试投的成绩达到优秀．
35．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 b2﹣4ac＝0 ；判断241 不是 “喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【思路点拔】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
36．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣10x+ 25 ＝（x﹣ 5 ）2；
（2）将x2﹣8x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣8x+2的最小值；
（3）若M＝4a2+9a+3，N＝3a2+11a﹣1，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据完全平方公式求解；
（2）利用配方法求最小值即可；
（3）利用作差法比较大小．
【解答】解：（1）x2﹣10x+25＝（x﹣5）2，
故答案为：25；5；
（2）x2﹣8x+2＝x2﹣8x+16﹣14＝（x﹣4）2﹣14，
当x＝4时，x2﹣8x+2取最小值﹣14；
（3）M＞N，理由如下：
∵M﹣N＝（4a2+9a+3）﹣（3a2+11a﹣1）
＝4a2+9a+3﹣3a2﹣11a+1
＝a2﹣2a+4
＝（a﹣1）2+3＞0，
∴M＞N．
37．如图，抛物线yx﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
【思路点拔】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式；
（2）设P（m，m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM＝3PN．分别列出m的方程进行解答便可；
（3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题．
【解答】解：（1）令y＝0，得yx2﹣x﹣3＝0，
解得，x＝﹣2，或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，
解得，，
∴直线l的解析式为yx﹣1；
（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为P（m，m2﹣m﹣3），N（m，m﹣1），
∴PMm2+m+3，MNm+1，NPm2m+2，
分两种情况：
①当PM＝3MN时，得m2+m+3＝3（m+1），
解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），
∴P（0，﹣3）；
②当PM＝3NP时，得m2+m+3＝3（m2m+2），
解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），
∴P（3，）；
∴综上所述：P的坐标为（3，）或（0，﹣3）；
（3）∵直线l：yx﹣1与y轴交于点E，
∴点E的坐标为（0，﹣1），
分两种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，
过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠Q1HE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q1EH＝∠AEO，
∴△Q1EH∽△AEO，
∴，即，
∴Q1H＝2HE，
∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，
∴Q1H＝DH，
∴DH＝2EH，
∴HE＝ED，
连接CD，
∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），
∴CD⊥y轴，
∴ED2，
∴HE＝ED＝2，Q1H＝2EG＝4，
∴Q1E10，
∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，
∴Q1（0，9）；
②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，
记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q2EG＝∠AEO，
∴△Q2GE∽△AOE，
∴，即，
∴Q2G＝2EG，
∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，
∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，
∴DG＝Q2G＝2EG，
∴ED＝EG+DG＝3EG，
由①可知，ED＝2，
∴3EG＝2，
∴EG，
∴Q2G，
∴EQ2，
∴OQ2＝OE+EQ2，
∴Q2（0，），
综上，点Q的坐标为（0，9）或（0，）．
38．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．
【思路点拔】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，可以写出点C的坐标，然后再根据点B的坐标，即可得到OC和OB的长，再根据三角形面积公式，即可求得△BOC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面积是．
39．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： 函数图象关于y轴对称 ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： x＝﹣2或x＝0或x＝2 ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
【思路点拔】（1）根据图象即可求得；
（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）观察探究：
①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．
故答案为函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．
（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，
当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2．
40．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求3m+n的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．
【思路点拔】（1）求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可；
（3）分两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1），
3m+n＝12﹣3＝9；
（2）①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，
故此时Q点坐标为（2，﹣7）；
②当CP＝PQ时，
可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；
③当CQ＝PQ时，
可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：yx，
当x＝2时，y，即点Q的坐标为（2，）；
故：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，）或（2，﹣7）；
（3）图象翻折后的点P对应点P′的坐标为（2，﹣1），
①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3；
②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，
此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b．
即：b＝﹣3或．
