湖北省天门市部分高中联考协作体2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

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2024年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试
高二数学试卷
考试时间：2024年11月16日8：00-10：00试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.
3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知向量，则＝（　　）
A6 B. 7
C. 9 D. 13
2. 椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）
A. B. C. 2 D. 4
3. 直线与直线平行，那么的值是（　　）
A B. C. 或 D. 或
4. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线BC的距离为（）
A. B. C. 3 D. 5
5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）
A. B.
C. D.
6. 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（）
A. B.
C. D.
7. 已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（）
A. 2 B. C. 1 D.
8. 如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（）
A. B.
C D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.）
9. 下列说法正确是（）
A. 过，两点的直线方程为
B. 点关于直线的对称点为
C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
10. 已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（）
A. C的焦点坐标为，
B. C的长轴长为
C. 直线l的方程为
D.
11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）
A.
B. 平面
C. 向量与的夹角是60°
D. 直线与AC所成角的余弦值为
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为____________.
13. 已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是___________.（填序号）
①；②；③；④.
14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高AD所在直线的方程．
16. 已知空间三点，设．
（1）若，，求；
（2）求与的夹角的余弦值；
（3）若与互相垂直，求k．
17. 已知圆和点.
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线截得弦长为8的圆M的方程；
18. 如图，在三棱锥中，，为的中点，.
（1）证明：平面平面;
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值.
19. 已知椭圆过点，且右焦点为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点P. 若，，求的值.
2024年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试
高二数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】C
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】A
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】B
8.
【答案】D
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.）
9.
【答案】BC
10.
【答案】AB
11.
【答案】AC
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.
【答案】45°或135°
13.
【答案】①④##④①
14.
【答案】
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.
【解析】
【分析】（1）由题意可设直线BC的直线方程为y=kx+b，将B，C的坐标代入即可求解；
（2）由题意可知，设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入，即可求解
【小问1详解】
设直线BC的直线方程为y=kx+b，
将点B（-2，3），C（-3，0）代入，可得，
解得，
∴直线BC方程为y=3x+9，即3x-y+9=0．
小问2详解】
∵AD为直线BC的高，
∴AD⊥BC，
∴，
设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入，
解得，
∴直线AD的方程为，即x+3y-5=0．
16.
【解析】
【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；
（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．
【小问1详解】
因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
【小问2详解】
因为
所以与的夹角的余弦值为；
【小问3详解】
因为与互相垂直，
所以
或.
17.
【解析】
【分析】(1)分斜率不存在和斜率存在两种情况求解；
（2）根据垂径定理和弦长公式求解即可.
【小问1详解】
（1）当切线的斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，
∴圆心到切线的距离为，解得，∴直线方程为
综上切线的方程为或.
【小问2详解】
点到直线的距离为，
∵圆被直线截得的弦长为8，∴，
∴圆的方程为.
18.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面BCD，又平面ABD，从而由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，又由（1）知平面BCD，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.
【小问1详解】
证明：因为，为的中点，
所以，又且，
所以平面BCD，又平面ABD，
所以平面平面；
【小问2详解】
解：由题意，，所以，
由（1）知平面BCD，
所以，所以OA=2，
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，1，，A（0，0，2），，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，又，
所以由，得，令，则，，
所以，
所以，
所以平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值为.
19.
【解析】
【分析】（1）由题干所给条件及椭圆简单的几何性质可求；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，消可得关于的二次方程，再由韦达定理可得两交点纵坐标关系，再根据题意和两交点纵坐标关系求出.
【小问1详解】
由题意可得，，故椭圆的方程为
【小问2详解】
1、若直线垂直轴，根据椭圆简单的几何性质可知A，B两点的坐标，如，则，，，，，
又∵，求得
，
∴
2、若直线不垂直轴，则设直线的方程为，联立椭圆方程，消可得
，设，则
由可得，∴，
由同理可得
∴
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