陕西省十七校联考2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题（含答案）

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2025届高三第一学期期中考试检测卷
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：高考范围．
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部为（）
A. B. C. D.
2. 已知集合，集合，集合，则（）
A. B. C. D.
3. 已知，则（）
A. B. C. D.
4. 已知，，，则，，的大小关系为（）
A. B. C. D.
5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知某圆锥侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（）
A. B. C. D.
7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（）
A. B. C. D.
8. 已知函数的最小值为，则的最小值为（）
A. B. C. 0 D. 1
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，下列命题正确的是（）
A. 二项式系数之和为64 B. 所有项系数之和为
C. 常数项为60 D. 第3项的二项式系数最大
10. 已知a，b均为正实数，且，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 函数在上单调递增
B. 是函数极值点
C. 过原点仅有一条直线与曲线相切
D. 若，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏.
13. 已知，，若，则的最小值为_________.
14. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______．
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤．
15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
（1）求集合；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16. 在中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足.
（1）求的大小
（2）若，，求的面积
17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.
（1）求证：四边形为正方形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为，科目二：平均通过的概率为，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．
（1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证人数为X，求X的分布列和数学期望及方差；
（2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证 （我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）
参考数据：，
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求取值范围；
（ⅱ）若极小值小于，求的极大值的取值范围.
2025届高三第一学期期中考试检测卷
数学
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】A
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】A
5.
【答案】B
6.
【答案】C
7.
【答案】C
8.
【答案】B
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】AC
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ACD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】30
13.【答案】3
14.【答案】
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于一元二次方程无解，然后利用判别式即可；
（2）由是的必要不充分条件可得 ，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可.
【小问1详解】
因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，
即，解得，故集合；
【小问2详解】
由是的必要不充分条件，可知 ，
当时，既，解得，此时满足 ，
当时，如图所示，
故且等号不同时成立，
解得，
综上所述，取值范围是.
16.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，求解角度即可.
（2）利用余弦定理求出边长，结合三角形面积公式求解面积即可.
【小问1详解】
因为，且在中，，
所以，由正弦定理得，
所以，，
故，，所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，解得(负根舍去)，
所以.
17.
【解析】
【分析】（1）先证，再由条件推导平面，得到即可证得；
（2）依题建系，写出相关点坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【小问1详解】
如图，连接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；
【小问2详解】
如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，所以，
故可取，
设直线与平面所成角的大小为，
所以
即直线与平面所成角的正弦值为.
18.
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，分步计算即可；
（2）增加k（k为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有，利用用对数运算求解不等式.
【小问1详解】
1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为，根据题意可知，
X的取值分别为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
，；
【小问2详解】
增加k（k为正整数）天学习后，
每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为，
若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有，
有，有，有，
又由
．
可得，
故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证．
19.
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）（ⅰ）分析可知原题意等价于有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设有两个不同的正实数根，根据单调性可知的极值点，结合零点代换可得，构建，结合单调性分析可得，则，即可得取值范围.
【小问1详解】
当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.
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