辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

1
滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高一期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 命题，的否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. “”是“”成立的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A. B.
C. D.
5. 若正实数a，b满足则有（）
A. 最小值，且最小值为 B. 最小值，且最小值为
C. 最大值，且最大值 D. 最大值，且最大值为
6. 根据表格中数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（）
x -1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A. B. C. D.
7. 已知定义在上函数的图象是连续不断地，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（）
A. B. 若，则的取值范围是
C. 若，则 D. 函数有最小值
8. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论中正确的有（）
A. 若且，则
B. 若，则
C若，则
D.
10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的结论中正确的是（）
A. B. 是奇函数
C. 在上是单调递增函数 D. 的值域是
11. 下列命题中正确是（）
A. 已知函数，若函数在区间上是增函数，则取值范围是
B. 函数在上的值域为
C. 若关于的方程的两根分别为，，且，则有
D. 函数，则不等式的解集为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________.
13. 若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是________．
14. 定义若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集集合，，．
（1）求；
（2）若，求a的取值范围．
16. 计算下列各式的值.
（1）
（2）已知，求的值.
17. 若函数的定义域是，且对任意的，都有成立，且当时，.
（1）求，判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）解不等式.
18. 已知是定义在上的奇函数.
（1）求实数，的值.
（2）试判断并证明函数的单调性；
（3）已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设.
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围.
滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高一期中考试
数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.
【答案】C
2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】B
6.
【答案】C
7.
【答案】B
8.
【答案】B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ACD
11.
【答案】BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）化简集合，由集合的并、补运算求解即可；
（2）通过讨论和即可求解.
【小问1详解】
集合，，
；
【小问2详解】
，，
①当时，，，
②当时，则，解得，
综上所述，a的取值范围为；
16.
【解析】
【分析】（1）利用指数幂数的运算法则即可得解；
（2）由已知分别求得和的值，代入即可得解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，
所以，
，
所以.
17.
【解析】
【分析】（1）令，得，即可由求解，
（2）根据单调性的定义即可求解，
（3）根据奇偶性以及单调即可求解.
【小问1详解】
函数对任意的，都有，
令，得，，
奇函数，证明如下：
用代替，得，则，
所以是奇函数.
【小问2详解】
在上单调递增，
证明：任取，则，
由于，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
【小问3详解】
由可得，
由于在上单调递增，
所以，解得或，
所以不等式的解集是.
18.
【解析】
【分析】（1）由是奇函数，可得对任意的成立，可得实数，的值，代入验证后即可求解；
（2）根据题意设任意的，，由单调函数定义即可判断；
（3）利用换元法令，若不等式恒成立，再根据基本不等式性质即可求解.
【小问1详解】
因为是奇函数，则，
整理得：，
要使上式对任意的成立，
则，解得或，
当时，的定义域为，不合题意，
当时，的定义域为，符合题意，
所以
【小问2详解】
任意的，
有，
所以，故函数是上的增函数；
小问3详解】
，
因为恒成立，
等价于恒成立，令，，
则，
则，可得在时恒成立，
由基本不等式，当且仅当时，等号成立，故.
19.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可；
（2）根据，，分类讨论求解即可；
（3）由题意，利用换元法求解函数的最小值，结合（2）中的最小值列不等式求解即可.
【小问1详解】
因为，则的图象关于直线对称且在x轴上截得的线段长为4，的图象与x轴的交点分别为，，所以设.
该函数的图象经过点，解得，所以.
【小问2详解】
因为，其对称轴方程为，
当，即时，.
当，即时，
当，即时，
综上所述，当时，，
当时，，
当时，.
【小问3详解】
若对于任意，总存在，使得成立，
等价于
函数，
因为，所以，所以当时，取得最小值
当时，，所以，不成立
当时，，所以，
解得或，所以
当时，，所以，解得，所以
综上所述，a的取值范围是.
PAGE
第10页