重庆市南开中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

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重庆南开中学高2027届高一（上）期中考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
2. 命题“，”的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 函数的定义域为（）
A. B.
C. D.
4. 函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
5. 设，，若，则最小值为（）
A. 8 B. 4 C. D.
6. 函数的值域为（）
A. B. C. D.
7. 已知函数满足，则（）
A B. C. D.
8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列命题正确的有（）
A. 与是同一个函数
B. 是偶函数
C. 是单调递减函数
D. 的单调递增区间为
10. 已知实数，，且满足，则（）
A. 的最小值为9 B. 的最小值为7
C. 的最大值为18 D. 的最小值为1
11. 已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（）
A. 是奇函数 B. 在上单调递增
C. D. 不等式的解集为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
12. 已知数集，，若，则________.
13. 已知“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则______.
14. 已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15已知集合，集合，其中.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 近日，重庆市第七届运动会田径比赛在合川体育中心落下帷幕，重庆南开中学田径队奋勇争先、顽强拼搏，经过个单元的激烈比拼，创造了金银铜的佳绩，累计打破项赛会纪录.好成绩离不开平时的刻苦训练.根据相关研究，某一体能训练项目有助于运动员的肌力改善，其肌力增长速度值（值越大，表示肌力增长速度越快、效果越好）与训练时间（分钟）的函数关系如下：
（1）训练开始多长时间，训练的效果可以达到最好？最多维持多少分钟？
（2）若在集训中，要求运动员的肌力增长速度值不低于，并且至少保持分钟才能达标，请判断进行该项体能训练能否达标？并说明理由.
17. 已知函数为一次函数，且对均满足.
（1）求函数解析式；
（2）已知，，且，求的最小值.
18. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性；
（3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值.
19. 给定函数，若实数使得，则称为函数不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点.
（1）求函数的不动点：
（2）设，，且恰好有两个稳定点和.
（i）求实数的取值范围，
（ii），，求实数的取值范围.
重庆南开中学高2027届高一（上）期中考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】B
3.
【答案】C
4.
【答案】B
5.
【答案】A
6.
【答案】C
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.
【答案】ABD
10.
【答案】AD
11.
【答案】BCD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）解不等式得集合，根据集合的并集运算即可；
（2）根据交集的定义即可列不等式求解.
【小问1详解】
对于集合，由可得，所以；
当时，，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，
所以或，解得或，
故实数的取值范围为
16.
【解析】
【分析】（1）分段求出函数的最值，再比较大小即可；
（2）分段列出不等式，解出即可.
【小问1详解】
由题意可知，当时，单调递增，
所以当时，的最大值为；
当时，；
当时，.
所以训练开始后分钟效果最好，且能维持分钟.
【小问2详解】
进行该项体能训练能达标.理由如下：
当时，，解得；
当时，，满足要求；
当时，，解得；
故分钟分钟，所以进行该项体能训练能达标.
17.
【解析】
【分析】（1）设，根据题意列式求即可；
（2）根据题意可得，法一：利用基本不等式可得，化简整理即可得结果；法二：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
设，则，
可得，解得，，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，即；
法一：所以，化简得，当且仅当时取等，
所以，
故的最小值为9；
法二：
，
当且仅当且，即，时取等号，
故的最小值为9.
18.
【解析】
【分析】（1）根据求出的值，再代入检验即可；
（2）由（1）可得，再根据单调性的定义证明即可；
（3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，再分、两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可.
【小问1详解】
因是上的奇函数，故，
当时，，，满足题意.
综上知，.
【小问2详解】
由（1）知，则在上单调递减，
下面用定义证明：
任取且，
则
，
因为，故，，所以，即，
所以在上单调递减.
【小问3详解】
由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增，
显然，
当时，在和上单调递减，在上单调递增，
故，，
于是有，解得，舍去；
当时，在单调递增，，
，于是有，整理得，
即，解得或或（舍去）.
综上，实数的值为或.
19.
【解析】
【分析】（1）令，求出或，得到答案；
（2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围；
（ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案；
法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得，
解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为.
【小问1详解】
令，得，整理得，解得或，
经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3.
【小问2详解】
（i）令，得，
即，得，
所以有，此方程恰好有两个不同的实数解.
①当，即时，方程化为，
仅有一个实数解，不满足题意；
②当时，要么方程无实数解，
要么方程仅有一个实数解为1或者.
故或或，
解得或.
综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为.
（ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1，
当时，，故，，
于是，.
此时函数的对称轴，令.
①当时，，在单调递减，在单调递增，
，，故，
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.于是由题意得，无解.
②当时，在单调递增，
当时，，，
即值域为，不满足题意，舍去.
当时，，故，，
于是，，此时函数的对称轴，
令.
③当时，，在单调递增，
当时，，，即的值域为，
于是有，解得；
④当时，，在单调递减，在单调递增，
，，故，
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.于是由题意得，解得.
综上，实数的取值范围为.
法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，
因为，，故取，得，
解得，所以，，
因为，解得，
由（i）知，，故，
故有，.
当时，，令，当时，
因，，故.
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.
于是由题意得，解得.
所以实数的取值范围为.
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