重庆市南开中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

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重庆南开中学高2026级高二（上）期中考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知数列满足：，，则（）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
3. 若椭圆的离心率为，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆短轴长为（）
A. 2 B. C. 4 D.
4. 已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 9
5. 已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（）
A. B. C. D.
6. 已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
7. 已知双曲线的左顶点和右焦点分别为A，F，O为坐标原点，经过点A的直线l与双曲线的两条渐近线交于点M，N，设M，N的中点为P，满足，则直线l的斜率为（）
A. B. C. D.
8. 已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列满足：，则以下说法正确的是（）
A. 数列为单调递减数列 B.
C. D.
10. 如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（）
A. B.
C. 的内切圆半径是 D.
11. 如图所示，椭圆，双曲线，双曲线.三条曲线有相同焦点，且，P，Q分别为椭圆E与双曲线，的交点.，三条曲线的离心率分别为e，，，则（）
A. B. 曲线E和在点Q处的切线互相垂直
C. D. 若，则
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线过点，并且与双曲线有且只有一个公共点，写出满足条件的的一个方程________________.
13. 已知椭圆，是椭圆C的右顶点，过椭圆的左焦点垂直于长轴的直线交椭圆于M，N两点，则的面积为________________.
14. 已知抛物线，准线为l，过直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 等差数列前n项和为，若，，公差.
（1）求的通项公式；
（2）若，求n的值.
16. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点，与C交于D，E两点，若，求直线l的方程.
17. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点.
（1）若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC；
（2）若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值.
18. 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E.
（1）求E的方程；
（2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q.
（i）证明：点K与点M纵坐标的乘积为定值；
（ii）设，，求的最大值.
19. 已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于A，B两点.当直线的斜率为时，线段AB的中点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线上有两点P，Q满足：，，其中，.已知，点P在双曲线上.
（i）证明：点Q也双曲线上；
（ii）若，是否存在以PQ为直径的圆，与y轴相切.若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由.
重庆南开中学高2026级高二（上）期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】B
5.
【答案】B
6.
【答案】D
7.
【答案】A
8.
【答案】C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】AD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BCD
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】（答案不唯一）
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）由等差数列及其求和公式的基本量的计算即可得解；
（2）直接由等差数列求和公式列方程即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的首项为，则，
解得，
所以；
【小问2详解】
若，即，
解得或（舍去）.
16.
【解析】
【分析】（1）根据题设可得、，结合椭圆参数关系求椭圆方程；
（2）由题设，可设，，联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程求参数m，即可得直线方程.
【小问1详解】
由，得，易知，
又且，可得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
当直线斜率为0时，与椭圆没有交点，不合题意，
可设，，联立抛物线，
则，整理得，
所以，即，
则，，
所以
，
整理得，可得（负值舍），即，
所以，直线的方程为.
17.
【解析】
【分析】（1）根据题设可得，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定、性质定理得，等腰三角形性质得，最后根据线面垂直的判定证结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可.
【小问1详解】
由题设，
所以，
由PA⊥平面ABCD，面，则，
又均在面内，所以面，
由面，则，
因为，且E为PC中点，则，
由均在面内，所以AE⊥平面PBC；
【小问2详解】
由（1），且四边形ABCD为平行四边形，则，
又PA⊥平面ABCD，故可构建如图所示的空间直角坐标系，
所以，
由，则，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，
若平面ABE和平面PBE夹角为，则.
18.
【解析】
【分析】（1）根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程；
（2）（i）由题意有，设直线，联立抛物线并结合相切关系求得，进而有，即可求K坐标，即可证；
（ii）由题意得，联立与抛物线，应用韦达定理最值即可.
【小问1详解】
设，显然，由题设，
所以，即为动点P的轨迹方程；
【小问2详解】
由题意，可设直线，则，
（i）设直线，联立，得，
因为与抛物线相切，所以，则，
所以，令，得，
而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值；
（ii）由题意，
又，当且仅当时等号成立，
联立，得，显然，
所以，，则，，
所以，
综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立.
19.
【解析】
【分析】（1）先根据题设求得，再应用点差法得到，结合双曲线参数关系求出参数，即可得方程；
（2）（i）由题意，，先将代入双曲线得到，再把代入双曲线左侧表达式化简判断否等于1，即可证；
（ii）设、，结合在上，得到、中横纵坐标关系，并化简得直线的方程为，联立双曲线应用韦达定理，结合等于2倍的圆心横坐标绝对值列方程求得、，进而写出圆的方程，即可判断存在性.
【小问1详解】
令直线，若，有，
设，则，作差并整理得，
代入斜率和中点得，又，可得，故双曲线方程为.
【小问2详解】
（i）由题意，，
由在双曲线上，则，
整理得，
所以，
将代入双曲线左侧得
，
所以点Q也在双曲线上；
（ii）设，而在上，
则中，满足：
，
所以在直线上，同理也在直线上，即直线的方程为，
联立双曲线，，整理得，
所以，
，
所以，，则圆心横坐标为，
由题意，即，
所以，
当时，，，显然不存在；
所以，仅有，则，可得（负值舍），
所以圆心横坐标为，即圆的半径，
直线，可得圆心纵坐标为，
综上，圆的方程为，此时直线与直线重合，
所以，不存在这样的直线满足要求.
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