重庆市松树桥中学2024-2025学年高二上学期第二次质量检测（期中）数学试题（含答案）

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松树桥中学高2026届高二上第二次质量检测（期中）
数学试题
（考试时间：120分钟满分150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 直线倾斜角是（）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 已知点，则平面的法向量可以是（）
A. B. C. D.
3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（）
A. B. C. 12 D.
4. 若直线：与直线：相互平行，则、之间的距离为（）
A. 3 B. C. D. 或
5. 已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（）
A. B.
C. D.
6. 在三棱锥中，，与平面所成角的大小为，则（）
A. 1 B. C. D. 2
7. 已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成曲线为C，下列结论正确的是（）
A. 曲线C方程为
B. 曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10
C. 曲线C上存点M，使得
D. 曲线C上的点到直线的最大距离为9
8. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知直线：，为坐标原点，则（）
A. 直线的倾斜角为
B. 若到直线距离为，则c＝2
C. 过且与直线平行的直线方程为
D. 过且与直线垂直的直线方程为
10. 已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）
A. 椭圆离心率为 B.
C. 若，则的面积为9 D. 最小值为
11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（）
A. 点G到平面的距离为定值
B. 若，则的最小值为2
C. 若，且，则点G到直线的距离为
D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线l的方向向量为，且直线l经过点，则直线l的方程为__________.
13. 已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为________．
14. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 椭圆E的焦点分别为、且满足，经过，两点.
（1）求椭圆E的标准方程和椭圆E的离心率e、长轴长、短轴长，并在坐标系中画上椭圆E的草图
（2）设点M为椭圆E上一点且满足，求的周长和面积.
16. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，.
（1）证明：直线平面；
（2）求点到平面的距离.
17. 已知圆，圆及点.
（1）判断圆和圆的位置关系，并说明理由；
（2）若斜率为的直线经过点且与圆相切，求直线的方程.
18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点；
（3）若点，当在上运动时，求的最大值和最小值.
松树桥中学高2026届高二上第二次质量检测（期中）
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】C
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.
【答案】CD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）首先设椭圆的一般方程，将两点坐标代入方程，即可求解，再根据椭圆的方程画出椭圆的草图，以及求得椭圆的性质；
（2）根据椭圆的定义，以及余弦定理，即可求解周长和面积.
【小问1详解】
设椭圆方程为，，在椭圆上，
则，解得：，
所以椭圆的标准方程为，
所以，，，所以，，，
所以椭圆的离心率，长轴，短轴长；
椭圆E的草图如图所示：
【小问2详解】
由（1）得的周长为，
设，，，
中，，
即，即，解得，
所以的面积.
16.
【解析】
【分析】（1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法证明与面的一个法向量垂直，即可证结论；
（2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离.
【小问1详解】
由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
由，得，解得，同理，
，显然面的一个法向量为，
显然且面，故面
【小问2详解】
设面的一个法向量为，且，
由，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
又，
点到平面的距离为.
17.
【解析】
【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，比较圆心距与半径和、差的关系，可得两圆的位置关系.
（2）设直线方程的点斜式，利用圆心到直线的距离等于远的半径求，可得圆的切线方程.
【小问1详解】
圆方程可整理为：，则圆心，半径，
由圆方程可知：圆心，半径，
因为，，，
所以，
所以圆和圆相交.
小问2详解】
当过的直线斜率不存在，
即直线为时，其与圆不相切，
所以可设所求切线方程：，即，
所以圆心到切线的距离，即，解得：或，
所以切线方程为：或，即或.
18.
【解析】
【分析】（1）通过证明，来证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案.
【小问1详解】
因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，所以平面，平面，
所以，又已知，且都在面内，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，以轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以平面的一个法向量为，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．
19.
【解析】
【分析】（1）设点，根据，列出方程，即可求得圆的方程求圆的方程；
（2）求出直线过定点，根据定点在圆内可得答案；
（3）设，由两点间距离公式计算，再由辅助角公式计算可得答案.
【小问1详解】
设，由，且，
可得，
整理得，所以圆的方程为；
【小问2详解】
由直线方程为得，
解得，所以直线过定点，
由，得点在圆内，
所以无论为何值，直线与圆恒有两个交点；
【小问3详解】
设，
，
其中，
因为，
所以当时，有最小值为，
当时，有最大值为.
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