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2024-2025学年九年级上期期末模拟试题
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24浙江舟山·九年级校联考期中）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
【答案】C
【分析】此题主要考查了概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义．根据概率表示可能性大小，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是，实验次数过少，不能得到钉尖朝上的概率是，不合理；
B、某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票不一定有5张中奖，不合理；
C、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是，合理；
D、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是，中靶与不中靶不是等可能事件，不合理；故选C．
2．（24-25湖北武汉·九年级统考期中）如图，、是上的两点，是直径，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用垂径定理得出，通过同弧或等弧所对圆周角相等可得，再根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵，是直径，∴，∴，
∵，∴，故选：．
【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和同弧或等弧所对圆周角相等的应用．
3．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：
闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合四个的情况有：，，，，故这些开关随机闭合至少两个共11种，
其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．故选：D．
4．（23-24·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（ ）
A．5 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据题目中给出的信息列式解答即可．
【详解】解：根据题意得：
，
∴或（舍去），故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查新定义计算，特殊角的三角函数值，余弦定理，解题的关键是理解题意，熟练进行计算．
5．（24-25河南·九年级统考阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数．
【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为，∴侧面展开图弧长，
∵侧面积为，，∴，解得：，
∵，∴，解得：，
∴这个扇形的圆心角的度数是，故选：D．
6．（23-24·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据两个正切值求出、，即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵，，， ∴，，
∵，∴，，
∴，故答案为B．
【点睛】本题考查根据正切求线段，解题的关键是熟练掌握一个角的正切值等于对边比邻边．
7．（23-24山东德州·九年级统考期中）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴是
C．抛物线与轴没有交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系．将点代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】解：将点代入得：，解得，
∴，
∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是，选项A错误，选项B正确；
∵方程的根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与轴有两个交点，选项C错误；
由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当时，取得最小值，
∴当时，与没有交点，
∴当时，关于的一元二次方程没有实根，选项D错误；故选：B．
8．（24-25福建泉州九年级期中联考数学试题）如图，在中，，，作如下作图；①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P；
③作射线交于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ）
①;②;③;④
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后证明，可得，进而得到，利用等量代换得到，可得点D是的黄金分割点，最后根据黄金分割的定义可得，即可解答．
【详解】解：,，，，故①正确，
由题意得：平分，，，，
，，，，故②正确，
，，，，
， ，故③正确，
，，点D是的黄金分割点，
，，综上所述，正确的有①②③④，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，尺规作图，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（23-24浙江台州·九年级校考期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可．
【详解】解：连接，．
，点的坐标为，
令，则，解得，，，
，，，∴，
∴轴．，∴点在上，
∵，∴，∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，
点运动的路径长是．故选：D
10．（24-25·河北廊坊·九年级校考期中）如图所示，边长为4的正方形内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积不随点E位置的变化而变化；③周长的最小值为．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】解：如图，连接,由正方形知，可证，得，得，①正确；求证，证得，得，于是，是等腰直角三角形；②正确；求证，得，可得③正确；由知，，可证周长，④错误．
【详解】解：如图，连接,∵四边形是正方形，∴．
∵，∴．∴．
∴．∴．∴．
∵，∴．∴①正确；∴．
∵，∴．
∴．∴．∴．
∴．∴是等腰直角三角形；②正确；
如图，，∴．
∴．∴四边形的面积；故③正确；
由知，，
∴周长，④错误；故选：A
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理；添加辅助线构造全等三角形，从而得到相等线段、相等角是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25九年级上·广西南宁·期中）为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下：
在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000
落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 83
落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.083
试估计“点落入小正方形区域内”的概率 （精确到0.01）．
【答案】0.08
【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入小正方形区域内”的频率逐渐稳定到0.08附近，
∴估计“点落入小正方形区域内”的概率为0.08，故答案为：0.08．
12．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，过点分别作轴于，轴于，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点分别作轴于，轴于， ∴，
∵的位似图形是， ∴点在一条直线上，
∴， ∴， ∴，又∵， ∴，
又∵点的横坐标是，点的坐标是， ∴， ∴，
∴点的横坐标为，故答案为：．
13．（23-24广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，圆内接四边形中，，连接，．则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
由题意知，，则，，进而可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∵，∴，故答案为：．
14．（23-24浙江台州·九年级统考期末）图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，处．从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点出发到桥尾点的微信步数（步长视为定值）统计如下表：
计数位置 点 点 点 点 点 点
步数/步 0 140 180 360 400 540
根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米．
【答案】 /
【分析】根据路程等于步数乘步长可求得步长；建立坐标系，分别求得段和段抛物线的解析式，求得点M的横坐标，进一步计算即可求解．
【详解】解：步长（米）；
设点A为原点，所在直线为x轴，则，，，
设段抛物线的解析式为，将代入得，∴，
∴段抛物线的解析式为，
∵三条抛物线的形状相同，C、D的中点为∴设段抛物线的解析式为，
将代入得，∴，∴抛物线的解析式为，
解方程，，即点M的横坐标为162，
由对称性知点N的横坐标为，∴（步），
（米），故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，分别求得段和段抛物线的解析式是解题的关键．
15．（23-24江苏盐城·九年级统考期末）如图，一幢居民楼临近斜坡，斜坡的坡度为，小生在距斜坡坡脚A处测得楼顶M的仰角为，当从A处沿坡面行走16米到达P处时，测得楼顶M的仰角刚好为，点N、A、B在同一直线上，则该居民楼的高度为 （结果保留根号）．
【答案】米/米
【分析】过点P作于点E，于点F．由斜坡的坡度为，可得出，结合题意即可得出米，米．由所作辅助线结合题意可知四边形为矩形，得出，．又易证是等腰直角三角形，即可设米，则米，米．最后在中，根据正切的定义可列出关于m的等式，解出m的值，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点P作于点E，于点F，
∵山坡的坡度为，米，∴．
∵，∴米，米．
∵，，∴是等腰直角三角形，∴．
由所作辅助线结合题意可知四边形为矩形，∴，．
设米，则米，米．
∵在中，，
∴，即， 解得：，
∴米．即该居民楼的高度为米，故答案为：米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用．正确连接辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．（23-24四川德阳·九年级统考期末）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
【答案】＜t＜1/0.6【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范围，进而求出t的范围．
【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故填：＜t＜1
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、函数值的取值范围等知识点，熟练掌握各知识点，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
17．（24-25成都市九年级上校考期中）如图，、、、分别是矩形的边、、、上的点，，，，，若，，则四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】先构造 的直角三角形，求得 的余弦和正切值；作，可求得；作，分别交直线于和，构造“一线三等角”，先求得的长，进而根据相似三角形求得，进而求得，于是得出，进一步求得结果．
【详解】解：如图1，中，，，，
设，则，，，，，如图2，
作于，作，分别交直线于和，四边形是矩形，，
在与中，，，，
同理证得，则，四边形是平行四边形，
设，则，，，
，，，
可得：，，，
，，，，
，，，
，，
，，，
四边形的周长为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造特殊角的图形及其求的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”及构造直角三角形求其三角函数值．
18．（23-24江苏淮安·九年级统考期末）在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】不论P怎么运动，保持不变，则的外接圆中所对的圆心角为，从而的圆心与半径确定，可得当点F在与的交点位置时，就取最小值，求出此时值便可．
【详解】解：作的外接，连接、、、，在优弧上取点M，连接、，过O作，与的延长线交于点N，
∵，，∴，∴，
∴点F在的外接上，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∵，
当A、F、O三点依次在同一直线上时， 的值最小，
故AF的最小值为：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是构造圆与直角三角形，找出点F的运动轨迹．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，网格中每个小正方形的边长是1，在网格中的位置如图所示．
(1)请在网格中画出关于点D位似的，点A与点E，点B与点F，点C与点G分别是对应点，且与的位似比是．
(2)在（1）的条件下，已知点在的边上，求点P的对应点Q的坐标．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了位似作图、位似的性质、求对应点坐标等知识点，理解位似的性质成为解题的关键．
（1）如图，连接并延长到长度找到各点的对应点E、D、F，然后顺次连接E、D、F即可解答；（2）先确定点P的位置，再连接并延长至Q，使得，然后读出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：如图：点P的对应点Q的坐标为．
20．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线．
(1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查简单概率的计算，树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据总的有4条路线，小明家选不到A路线的情况有三种可能，利用概率公式计算即可；（2）画树状图，共有16种等可能性结果，其中两家选取同一条路线的可能结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：小明家选不到A路线的概率是；
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种，
∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为．
21．（24-25安徽九年级第二次联考）如图，是的角平分线，延长至点，使得．(1)求证：；(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质得出，根据对顶角相等得出，即可得证；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据，即可求解．
【详解】（1）证明：如图 是的角平分线，
又，，，又，
（2）解：∵，， ∴，
∵，∴， 即，解得
22．（2023年四川自贡中考数学真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
(1)测量坡角：如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
(2)测量山高：同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
(3)测量改进：由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
【答案】(1)；(2)山高为69米；(3)山高的高为米．．
【分析】（1）利用互余的性质即可求解；（2）先求得，再分别在、、中，解直角三角形即可求解；（3）先求得，，在和中，分别求得和的长，得到方程，据此即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，∴；
（2）解：在中，．∴，
在中，，米，∴(米)，
在中，，米， ∴(米)，
在中，，米，∴(米)，
∴山高(米)，答：山高为69米；
（3）解：如图，由题意得，，设山高，则，
在中，，，∴，∴，
在中，，，∴，∴，
∵，∴，即，
解得，山高答：山高的高为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
23．（24-25河南·九年级专题练习）如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为15米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为3米．(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；(2)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后平移多少米？(3)记水流的高度为，此时的斜坡的高度为，请直接写出求的最大值；
【答案】(1)能(2)1米(3)
【分析】（1）根据当喷射出的水流距离喷水头10米时，达到最大高度6米，设设水流形成的抛物线为，代入点求出二次函数的解析式，再求出当时的函数值，即可得到结论；
（2）设喷射架向后平移了m米，设出平移后的函数解析式，代入点B的坐标即可求解．
（3）先求出斜坡的高度的解析式，列出，把函数解析式化为顶点式，即可求解；
【详解】（1）由题可知：抛物线的顶点为 ，
设水流形成的抛物线的表达式为 ，将点代入可得 ，
∴抛物线的表达式为 ，当时， ，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为 ，
将点代入得 或（舍去），答：喷射架应向后移动1米．
（3）的最大值为，理由如下：由题可知A点坐标为 ，则直线的解析式为 ，
∴，
∵ ，∴当时，取得最大值为，答：的最大值为；
【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键．
24．（24-25·浙江丽水·九年级校考期中）如图，已知内接于平分，交于点E，交于点D，连接．(1)求证：；(2)作于点N，G为中点，连接．①若，求的长；②作于点M，连接，若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)①；②6
【分析】（1）证明出，结合即可证明；
（2）作于点H，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 ，可得，结合得出，再由勾股定理求解即可；②设，则由可知，，可得，延长，过点D作于点H，过点D作于点I，连接．可得，再证明可得结论．
【详解】（1）∵平分，∴．∵，∴．
（2）①作于点H，∵，G为中点，∴，
∴，∴
∴，∴，∴．
②设，则由可知，，
由平分，∴．
∴
．
延长，过点D作于点H，过点D作于点I，连接．
∵，∴
∴．由平分，∴，
∴，∴．∴，∴，
∴，∴，∴．
由于等底等高，，，
在中， ，∴，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
25．（24-25浙江绍兴·九年级校考期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．(1)求的值．(2)当时，求的最小值．
(3)当时，的最大值为，最小值为，且，求的值．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先根据题意得到二次函数开口向上，然后结合得到当时，y取得最小值，然后代入求解即可；（3）根据题意分3种情况讨论，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线
∴，解得∴；
（2）∵二次函数，∴开口向上 ∵对称轴为直线，∵，
∴当时，y取得最小值，即 ∴的最小值为；
（3）∵对称轴为直线∴当时，
∵二次函数开口向上∴y随x的增大而减小
∴当时，y取得最大值，即，
当时，y取得最小值，即
∵∴解得，不符合题意，舍去；
∴当时，当时，即
∴当时，y取得最大值，当时，y取得最小值，
∵∴ 解得（舍去）或；
当，即∴当时，y取得最大值，当时，y取得最小值，
∴ 解得（舍去）或；
当时，即，
∴当时，y取得最小值，即，
当时，y取得最大值，即
∵∴ 解得，不符合题意，应舍去，
∴综上所述，的值为或．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是待定系数法求出二次函数解析式．
26．（24-25成都市天府新区九年级校考期中）如图1，在中，．点P是线段上的一动点，将沿着折叠，点A落在处．
(1)求点A到直线的距离；(2)如图2，点Q是线段上的一动点，将沿着折叠，使得边折叠后与重合．若，求证：；(3)如图3，连接，过作的平行线，与直线交于点M．当时，求的长．
【答案】(1)点A到直线的距离为；(2)证明见解析(3)的长为．
【分析】（1）如图，过作交的延长线于，证明，从而可得结论；
（2）由对折可得：，，，，证明，再证明是等边三角形，可得，，证明，再利用相似三角形的性质可得答案；
（3）分当在直线下方时和当在直线上方时，两种情况讨论．如图，过作于，先求解，，再求解，，证明，可得，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，过作交的延长线于，
∵，，∴，，，
∴，即点A到直线的距离为；
（2）解：由对折可得：，，
，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴是等边三角形，
∴，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
（3）解：当在直线下方时，如图，过作于，
由（1）得：，，∴，
∴，∴，
∵，，，∴，
∴由等面积法可得：，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
当在直线上方时，如图，过作于，
同理得：，，∴，
∴，∴，
∵，，，∴，
∴由等面积法可得：，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．综上，的长为．
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形与相似三角形是解本题关键．
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2024-2025学年九年级上期期末模拟试题
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24浙江舟山·九年级校联考期中）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
2．（24-25湖北武汉·九年级统考期中）如图，、是上的两点，是直径，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（ ）
A．5 B． C． D．2
5．（24-25河南·九年级统考阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（23-24山东德州·九年级统考期中）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴是
C．抛物线与轴没有交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
8．（24-25福建泉州九年级期中联考数学试题）如图，在中，，，作如下作图；①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P；
③作射线交于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ）
①;②;③;④
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
9．（23-24浙江台州·九年级校考期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( )
A． B． C． D．
10．（24-25·河北廊坊·九年级校考期中）如图所示，边长为4的正方形内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积不随点E位置的变化而变化；③周长的最小值为．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25九年级上·广西南宁·期中）为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下：
在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000
落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 83
落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.083
试估计“点落入小正方形区域内”的概率 （精确到0.01）．
12．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ．
13．（23-24广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，圆内接四边形中，，连接，．则的度数是 ．
14．（23-24浙江台州·九年级统考期末）图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，处．从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点出发到桥尾点的微信步数（步长视为定值）统计如下表：
计数位置 点 点 点 点 点 点
步数/步 0 140 180 360 400 540
根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米．
15．（23-24江苏盐城·九年级统考期末）如图，一幢居民楼临近斜坡，斜坡的坡度为，小生在距斜坡坡脚A处测得楼顶M的仰角为，当从A处沿坡面行走16米到达P处时，测得楼顶M的仰角刚好为，点N、A、B在同一直线上，则该居民楼的高度为 （结果保留根号）．
16．（23-24四川德阳·九年级统考期末）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
17．（24-25成都市九年级上校考期中）如图，、、、分别是矩形的边、、、上的点，，，，，若，，则四边形的周长为 ．
18．（23-24江苏淮安·九年级统考期末）在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，网格中每个小正方形的边长是1，在网格中的位置如图所示．(1)请在网格中画出关于点D位似的，点A与点E，点B与点F，点C与点G分别是对应点，且与的位似比是．
(2)在（1）的条件下，已知点在的边上，求点P的对应点Q的坐标．
20．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线．
(1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率．
21．（24-25安徽九年级第二次联考）如图，是的角平分线，延长至点，使得．(1)求证：；(2)若，，，求的长．
22．（2023年四川自贡中考数学真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
(1)测量坡角：如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
(2)测量山高：同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
(3)测量改进：由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
23．（24-25河南·九年级专题练习）如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为15米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为3米．(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；(2)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后平移多少米？(3)记水流的高度为，此时的斜坡的高度为，请直接写出求的最大值；
24．（24-25·浙江丽水·九年级校考期中）如图，已知内接于平分，交于点E，交于点D，连接．(1)求证：；(2)作于点N，G为中点，连接．①若，求的长；②作于点M，连接，若，求的值．
25．（24-25浙江绍兴·九年级校考期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．(1)求的值．(2)当时，求的最小值．
(3)当时，的最大值为，最小值为，且，求的值．
26．（24-25成都市天府新区九年级校考期中）如图1，在中，．点P是线段上的一动点，将沿着折叠，点A落在处．
(1)求点A到直线的距离；(2)如图2，点Q是线段上的一动点，将沿着折叠，使得边折叠后与重合．若，求证：；(3)如图3，连接，过作的平行线，与直线交于点M．当时，求的长．
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