2024-2025学年浙江省杭州市天杭教育集团思远学部九年级（上）期中数学试卷(含答案)
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年浙江省杭州市天杭教育集团思远学部九年级（上）期中数学试卷(含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 819.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-29 18:15:55 | ||
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文档简介
2024-2025学年浙江省杭州市天杭教育集团思远学部九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．圆内接四边形对角和是180°
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
2．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（ ）
A．39° B．45° C．49° D．51°
4．（3分）由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，下列哪种平移方式可以实现（ ）
A．向右平移m个单位，再向上平移n个单位
B．向右平移m个单位，再向下平移n个单位
C．向左平移m个单位，再向上平移n个单位
D．向左平移m个单位，再向下平移n个单位
5．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m和直线n分别交l1、l2、l3于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，则CP＝（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
6．（3分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
抽奖次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299
中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
7．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
8．（3分）已知点A（﹣3，m﹣1），B（﹣1，m），C（1，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
10．（3分）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知a：b＝2：3，那么的值是 ．
12．（3分）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ．
13．（3分）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 ．（只需写出一个条件即可）
14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是 ；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝ ．
15．（3分）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且交AC于点D，如图2所示，若弧BC为37°，则的度数＝ ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P．使得∠BPE＝60°，则BE＝ ，线段PD的最小值为 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标和a的值；
（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围．
18．已知：如图△ABC内接于圆O，AB＝AC，D为弧BC上任意一点，连接AD，BD．
（1）若∠ADB＝65°，求∠BAC的度数；
（2）求证：∠ABD＝∠AEB．
19．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
20．迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同的比赛项目．
（1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率．
（2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动（每人只能抽取一次），盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为已知数，且a≠0）与y轴的交点是（0，4）．
（1）求c的值．
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x﹣2的图象交于点（k，0），求k的值，并用含a的代数式表示b．
（3）在（2）成立的情况下，若1≤a≤2，当1≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
24．如图1，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连结AD，AG，DG．
（1）求证：∠AGD＝∠ADC；
（2）如图2，延长AG，DC相交于点F，连结CG．
①已知AG＝6，GF＝4，求AD的长；
②记DG与AB的交点为P，若AB＝10，CD＝8，当AG＝AP时，求的值．
2024-2025学年浙江省杭州市天杭教育集团思远学部九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．圆内接四边形对角和是180°
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
选：A．
2．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（ ）
A． B． C． D．
选：B．
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（ ）
A．39° B．45° C．49° D．51°
选：D．
4．（3分）由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，下列哪种平移方式可以实现（ ）
A．向右平移m个单位，再向上平移n个单位
B．向右平移m个单位，再向下平移n个单位
C．向左平移m个单位，再向上平移n个单位
D．向左平移m个单位，再向下平移n个单位
选：A．
5．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m和直线n分别交l1、l2、l3于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，则CP＝（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
选：D．
6．（3分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
抽奖次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299
中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
选：C．
7．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
选：B．
8．（3分）已知点A（﹣3，m﹣1），B（﹣1，m），C（1，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
选：C．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
选：B．
10．（3分）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
选：B．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知a：b＝2：3，那么的值是 ．
12．（3分）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ．
13．（3分）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 ∠A＝∠C（答案不唯一） ．（只需写出一个条件即可）
14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是 （2，1） ；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝ ﹣ ．
15．（3分）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且交AC于点D，如图2所示，若弧BC为37°，则的度数＝ 106° ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P．使得∠BPE＝60°，则BE＝ 2 ，线段PD的最小值为 2﹣2 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标和a的值；
（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0），
把点B坐标代入y＝a（x+1）2+4得，4a+4＝0，
解得a＝﹣1；
（2）∵a＜0，二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交点为（﹣3，0）和（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1．
18．已知：如图△ABC内接于圆O，AB＝AC，D为弧BC上任意一点，连接AD，BD．
（1）若∠ADB＝65°，求∠BAC的度数；
（2）求证：∠ABD＝∠AEB．
【解答】（1）解：∠ACB＝∠ADB＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°；
（2）证明：∵∠AEB＝∠EAC+∠ACB，
而∠ABC＝∠ACB，∠EAC＝∠DBC，
∴∠AEB＝∠DBC+∠ABC，
即∠ABD＝∠AEB．
19．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）如图，连接OC，则CG⊥OD，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴△COD是正三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CG⊥OD，
∴OG＝DG＝OD＝2，
∴OC＝2OG＝4，
即正六边形的边长为4；
（2）在Rt△COD中，OG＝2，∠COG＝60°，
∴CG＝OG＝2，
∴S阴影部分＝S扇形COD﹣S△COD
＝﹣×4×2
＝﹣4．
20．迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同的比赛项目．
（1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率．
（2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动（每人只能抽取一次），盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中小明同学选择A，B两项组合的结果有2种，
∴小明同学选择A，B两项组合的概率为＝．
（2）将“琮琮”“宸宸”“莲莲”分别记为a，b，c，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中冠军与亚军获得相同吉祥物的结果有3种，
∴冠军与亚军获得相同吉祥物的概率为＝．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠AFC＝∠DEA，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，
∴AF DE＝BF CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF CE．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为已知数，且a≠0）与y轴的交点是（0，4）．
（1）求c的值．
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x﹣2的图象交于点（k，0），求k的值，并用含a的代数式表示b．
（3）在（2）成立的情况下，若1≤a≤2，当1≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
【解答】解：（1）把（0，4）代入y＝ax2+bx+c，即c＝4．
（2）由题意知点（k，0）过一次函数y＝x﹣2，则k＝2，
由（1）知二次函数为：y＝ax2+bx+4，
∵（2，0）在二次函数y＝ax2+bx+4上，
∴a×22+b×2+4＝0，则b＝﹣2a﹣2；
（3）由（2）知二次函数为：y＝ax2﹣（2a+2）x+4，则函数对称轴为，
∵1≤a≤2，
∴，
∴，
∵1≤x≤2时，y＝ax2﹣（2a+2）x+4的最大值为m，最小值为n，
∴m＝a×12﹣（2a+2）×1+4＝﹣a+2，，
则，
∵a＝2，，
∴m﹣n的最小值为．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【解答】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），
设抛物线的解析式为：y＝ax2，
把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，
当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，
∴x＝±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；
方案二：如图3，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．
24．如图1，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连结AD，AG，DG．
（1）求证：∠AGD＝∠ADC；
（2）如图2，延长AG，DC相交于点F，连结CG．
①已知AG＝6，GF＝4，求AD的长；
②记DG与AB的交点为P，若AB＝10，CD＝8，当AG＝AP时，求的值．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠AGD＝∠ADC；
（2）解：∵∠AGD＝∠ADC，∠DAG＝∠FAD，
∴△DAG∽△FAD，
∴，
∴AD2＝AG×AF＝6×（6+4）＝60，
∴AD＝2；
②连接OD．BD，BC，如图：
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴DE＝CE＝CD＝4．
∵OA＝OB＝OD＝5，
∴OE＝3．
∴BE＝OB＝OE＝2，
∴BC＝＝＝2，
∵AP＝AG，
∴∠AGP＝∠APG＝∠DBA＝∠DPB，
∴DP＝DB，
∵AB⊥CD，
∴PE＝BE＝2，DC平分∠BDP，
∴AG＝AP＝AB﹣PE﹣BE＝10﹣2﹣2＝6，，
∴CG＝BC＝2，
∵四边形ADCG是圆的内接四边形，
∴∠CGF＝∠ADC，∠GCF＝∠DAG，
由（1）可知∠AGD＝∠ADC，
∴∠CGF＝∠AGD，
∴△CGF∽△AGD，
∴＝＝＝．
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．圆内接四边形对角和是180°
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
2．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（ ）
A．39° B．45° C．49° D．51°
4．（3分）由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，下列哪种平移方式可以实现（ ）
A．向右平移m个单位，再向上平移n个单位
B．向右平移m个单位，再向下平移n个单位
C．向左平移m个单位，再向上平移n个单位
D．向左平移m个单位，再向下平移n个单位
5．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m和直线n分别交l1、l2、l3于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，则CP＝（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
6．（3分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
抽奖次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299
中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
7．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
8．（3分）已知点A（﹣3，m﹣1），B（﹣1，m），C（1，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
10．（3分）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知a：b＝2：3，那么的值是 ．
12．（3分）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ．
13．（3分）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 ．（只需写出一个条件即可）
14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是 ；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝ ．
15．（3分）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且交AC于点D，如图2所示，若弧BC为37°，则的度数＝ ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P．使得∠BPE＝60°，则BE＝ ，线段PD的最小值为 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标和a的值；
（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围．
18．已知：如图△ABC内接于圆O，AB＝AC，D为弧BC上任意一点，连接AD，BD．
（1）若∠ADB＝65°，求∠BAC的度数；
（2）求证：∠ABD＝∠AEB．
19．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
20．迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同的比赛项目．
（1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率．
（2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动（每人只能抽取一次），盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为已知数，且a≠0）与y轴的交点是（0，4）．
（1）求c的值．
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x﹣2的图象交于点（k，0），求k的值，并用含a的代数式表示b．
（3）在（2）成立的情况下，若1≤a≤2，当1≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
24．如图1，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连结AD，AG，DG．
（1）求证：∠AGD＝∠ADC；
（2）如图2，延长AG，DC相交于点F，连结CG．
①已知AG＝6，GF＝4，求AD的长；
②记DG与AB的交点为P，若AB＝10，CD＝8，当AG＝AP时，求的值．
2024-2025学年浙江省杭州市天杭教育集团思远学部九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．圆内接四边形对角和是180°
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
选：A．
2．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（ ）
A． B． C． D．
选：B．
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（ ）
A．39° B．45° C．49° D．51°
选：D．
4．（3分）由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，下列哪种平移方式可以实现（ ）
A．向右平移m个单位，再向上平移n个单位
B．向右平移m个单位，再向下平移n个单位
C．向左平移m个单位，再向上平移n个单位
D．向左平移m个单位，再向下平移n个单位
选：A．
5．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m和直线n分别交l1、l2、l3于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，则CP＝（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
选：D．
6．（3分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
抽奖次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299
中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
选：C．
7．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
选：B．
8．（3分）已知点A（﹣3，m﹣1），B（﹣1，m），C（1，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
选：C．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
选：B．
10．（3分）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
选：B．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知a：b＝2：3，那么的值是 ．
12．（3分）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ．
13．（3分）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 ∠A＝∠C（答案不唯一） ．（只需写出一个条件即可）
14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是 （2，1） ；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝ ﹣ ．
15．（3分）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且交AC于点D，如图2所示，若弧BC为37°，则的度数＝ 106° ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P．使得∠BPE＝60°，则BE＝ 2 ，线段PD的最小值为 2﹣2 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标和a的值；
（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0），
把点B坐标代入y＝a（x+1）2+4得，4a+4＝0，
解得a＝﹣1；
（2）∵a＜0，二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交点为（﹣3，0）和（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1．
18．已知：如图△ABC内接于圆O，AB＝AC，D为弧BC上任意一点，连接AD，BD．
（1）若∠ADB＝65°，求∠BAC的度数；
（2）求证：∠ABD＝∠AEB．
【解答】（1）解：∠ACB＝∠ADB＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°；
（2）证明：∵∠AEB＝∠EAC+∠ACB，
而∠ABC＝∠ACB，∠EAC＝∠DBC，
∴∠AEB＝∠DBC+∠ABC，
即∠ABD＝∠AEB．
19．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）如图，连接OC，则CG⊥OD，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴△COD是正三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CG⊥OD，
∴OG＝DG＝OD＝2，
∴OC＝2OG＝4，
即正六边形的边长为4；
（2）在Rt△COD中，OG＝2，∠COG＝60°，
∴CG＝OG＝2，
∴S阴影部分＝S扇形COD﹣S△COD
＝﹣×4×2
＝﹣4．
20．迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同的比赛项目．
（1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率．
（2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动（每人只能抽取一次），盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中小明同学选择A，B两项组合的结果有2种，
∴小明同学选择A，B两项组合的概率为＝．
（2）将“琮琮”“宸宸”“莲莲”分别记为a，b，c，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中冠军与亚军获得相同吉祥物的结果有3种，
∴冠军与亚军获得相同吉祥物的概率为＝．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠AFC＝∠DEA，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，
∴AF DE＝BF CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF CE．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为已知数，且a≠0）与y轴的交点是（0，4）．
（1）求c的值．
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x﹣2的图象交于点（k，0），求k的值，并用含a的代数式表示b．
（3）在（2）成立的情况下，若1≤a≤2，当1≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
【解答】解：（1）把（0，4）代入y＝ax2+bx+c，即c＝4．
（2）由题意知点（k，0）过一次函数y＝x﹣2，则k＝2，
由（1）知二次函数为：y＝ax2+bx+4，
∵（2，0）在二次函数y＝ax2+bx+4上，
∴a×22+b×2+4＝0，则b＝﹣2a﹣2；
（3）由（2）知二次函数为：y＝ax2﹣（2a+2）x+4，则函数对称轴为，
∵1≤a≤2，
∴，
∴，
∵1≤x≤2时，y＝ax2﹣（2a+2）x+4的最大值为m，最小值为n，
∴m＝a×12﹣（2a+2）×1+4＝﹣a+2，，
则，
∵a＝2，，
∴m﹣n的最小值为．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【解答】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），
设抛物线的解析式为：y＝ax2，
把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，
当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，
∴x＝±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；
方案二：如图3，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．
24．如图1，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连结AD，AG，DG．
（1）求证：∠AGD＝∠ADC；
（2）如图2，延长AG，DC相交于点F，连结CG．
①已知AG＝6，GF＝4，求AD的长；
②记DG与AB的交点为P，若AB＝10，CD＝8，当AG＝AP时，求的值．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠AGD＝∠ADC；
（2）解：∵∠AGD＝∠ADC，∠DAG＝∠FAD，
∴△DAG∽△FAD，
∴，
∴AD2＝AG×AF＝6×（6+4）＝60，
∴AD＝2；
②连接OD．BD，BC，如图：
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴DE＝CE＝CD＝4．
∵OA＝OB＝OD＝5，
∴OE＝3．
∴BE＝OB＝OE＝2，
∴BC＝＝＝2，
∵AP＝AG，
∴∠AGP＝∠APG＝∠DBA＝∠DPB，
∴DP＝DB，
∵AB⊥CD，
∴PE＝BE＝2，DC平分∠BDP，
∴AG＝AP＝AB﹣PE﹣BE＝10﹣2﹣2＝6，，
∴CG＝BC＝2，
∵四边形ADCG是圆的内接四边形，
∴∠CGF＝∠ADC，∠GCF＝∠DAG，
由（1）可知∠AGD＝∠ADC，
∴∠CGF＝∠AGD，
∴△CGF∽△AGD，
∴＝＝＝．
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