3.2.2 函数的奇偶性 教案

函数的奇偶性
一、课时内容：函数的奇偶性
二、课时目标
1、理解函数的奇偶性及其几何意义，培养数学抽象的核心素养；
2、学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，提升直观想象的核心素养；
3、学会判断函数的奇偶性，强化逻辑推理的核心素养；
4.在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决函数性质的总个问题，提升数学运算的核心素养。
三、重点难点
重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；
难点：函数奇偶性概念的探究与理解．
教学过程
(一) 情景导入
我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，函数性质是“变化中的规律性，变化中的不变性”．上一节课，我们共同学习了函数的单调性与最大（小）值，用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质，本节课，我们继续研究函数的其他性质．
（二）概念的形成
问题1：平面直角坐标系中的任意一点关于x轴、y轴、坐标原点的对称点Q、R、S的坐标．
追问：一般地，若两点关于x轴对称，它们的坐标之间有何关系？若关于y轴对称呢？关于原点中心对称呢？
设计意图：从学生已学知识复习导入，通过具体的点引导学生感受对称与坐标的关系，为后续奇偶性定义中的任意性做一些铺垫．
问题2：画出并观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
师生活动：先由学生独立思考，教师利用PPT展示函数图象．学生观察后，不难发现，这两个函数的图象都关于y轴对称．那么，如何使用符号语言精准地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征？所以，教师继续追问．
追问：对于上述两个函数，与，与，与，与有什么关系？
师生活动：先由学生独立思考，教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．
追问：对于定义域内任意的一个x，都有成立吗？如何验证我们的猜想呢？
师生活动：以为例，其定义域为R．对于定义域R内任意的一个x，都有，与均有意义．因为，所以是成立的．同样的，验证函数，结论依然成立．
设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力．从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述．
定义：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数．
问题3：从偶函数的定义出发，如何证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．
师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述．
充分性：设是函数图象上任意一点，则．因为函数的图象关于y轴对称，所以点P关于y轴的对称点也在函数图象上，即．所以对任意的x，都有，所以函数是偶函数．
必要性：设是函数图象上任意一点，则．记点P关于y轴的对称点为Q，则．因为函数是偶函数，所以，即，所以点Q在函数图象上，所以函数的图象关于y轴对称．
问题4：画出并观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
师生活动：教师利用PPT展示函数图象，学生观察图象后回答问题．不难发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形．那么，如何使用符号语言精准地描述“函数图象关于原点中心对称”这一特征？所以，教师继续追问．
追问：对于上述两个函数，与，与，与，与有什么关系？
师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的函数值与也是一对相反数．
追问：对于定义域内任意的一个x，都有成立吗？如何验证我们的猜想呢？
师生活动：以为例，定义域为R．对于定义域R内任意的一个x，，与均有意义．因为，所以是成立的．同样的，验证函数，结论依然成立．
设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力．从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述．
定义：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数．
当函数是偶函数或奇函数时，称具有奇偶性．
问题5：从奇函数的定义出发，如何证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．
师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述．该问题类比问题2的证明过程．
充分性：设是函数图象上任意一点，则．因为函数的图象关于原点对称，所以点P关于原点的对称点为也在函数图象上，即．所以对任意的x，都有，所以函数是奇函数．
必要性：设是函数图象上任意一点，则．记点P关于原点的对称点为Q，则．因为函数是奇函数，所以，即，所以点Q在函数图象上，所以函数的图象关于原点对称．
（三）概念的辨析
问题6：判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2），；
（3），； （4），．
师生活动：先由学生独立思考，教师再组织全班交流．
答案：（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．
设计意图：从同一个函数出发，学生更为容易进行探究活动，得出结论．我们不难发现，（1）、（4）中每一个x、-x同时属于定义域，所以与都有意义．而（2）、（3）中则无法满足每一个x、-x同时属于定义域，所以与无法满足都有意义．
师生共同得出结论：函数具有奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称，如不对称则可直接判断其为非奇非偶函数．
追问：奇函数若在处有定义，
师生活动：因为为奇函数，所以，，．
（四）概念的深化
例1 ：判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
师生活动：本例由学生独立思考、小组讨论，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善．
解：（1）函数的定义域为R．
因为，都有，且，
所以，函数为偶函数．
（2）函数的定义域为R．
因为，都有，且，
所以，函数为奇函数．
（3）函数的定义域为．
因为，都有，且
，
所以，函数为奇函数．
（4）函数的定义域为．
因为，都有，且，
所以，函数为偶函数．
（5）函数的定义域为R．
因为，都有，且，
所以，函数为非奇非偶函数．
另解：函数为初中阶段所学的二次函数，显然，其对称轴为．
函数图象如右：
故函数为非奇非偶函数．
（6）由函数解析式可得定义域为．
因为，都有，且，
所以，函数为奇函数．
另解：
函数图象如右：
从图可知，函数图象关于原点对称，故是奇函数．
追问：你能总结例题的解题过程，归纳一下利用定义判断函数奇偶性的基本步骤吗？
设计意图：通过追问，师生共同总结利用定义判断函数奇偶性的基本步骤，教师给出解答示范．
第一步，首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
第二步，确定与的关系；
第三步，作出相应结论：若或，则是偶函数；若或，则是奇函数．
通过具体的函数，深化学生对判断函数奇偶性的基本步骤的理解，尤其是“首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称”；三是通过例题让学生能够了解有些函数是非奇非偶函数．
例2 （1）判断函数的奇偶性．
（2）如右图，是函数图象的一部分，你能根据的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？
（3）一般地，如果知道为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？
师生活动：本例由学生独立思考，完成后教师再进行点评完善．
（1）奇函数；（2）图象如右
设计意图：通过思考，让学生根据奇（偶）函数的图象的对称性画函数的图象，进一步理解函数的奇偶性。所以，我们在研究函数性质时，只需要研究定义域的一半部分．知一半则可知全部，即缩小研究的范围，从而达到“事半功倍”的效果，提高解题效率．
（五）概念的巩固应用
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是（ ）
解析：B选项函数图象关于y轴对称，所以该函数是偶函数．其他选项的函数图象都不具有奇偶性．
答案：B
设计意图：让学生直观地通过函数图象的对称性判断偶（奇）函数．
2．判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
答案：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）偶函数．
设计意图：考查学生对判断函数奇偶性的理解，提高学生的解题能力．
3．函数，是奇函数，则a等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
解：∵奇函数的定义域关于原点对称，
∴， ∴．
设计意图：考查学生对奇函数定义域的理解．
（六）课堂小结与作业
教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：
（1）偶函数与奇函数的定义．
（2）利用定义判断函数奇偶性的基本步骤是什么？
定义法：
图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
作业：教材第85页练习第1，2，3题