3.3 幂函数 教案

幂函数
（一）教学内容
了解幂函数的定义，会用幂函数的定义识别给出的函数是幂函数；会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的图象，能结合图像和解析式研究函数的性质。
（二）教材分析
1. 教材来源
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修第一册第三章第3节 《幂函数》。从内容上看它是在我们学习了函数概念，利用函数概念和对图像的观察，研究了函数的一些性质后的一节教学内容。从思想层面看，本节课突出体现了函数概念和性质在具体函数中体现和融合，明确了研究函数的一种模式，为我们学习研究函数一个范例。因此本节课在整个函数的研究和学习中具有较重要的地位和作用。
2. 地位与作用
在我们经历了初中的正、反比例函数、一次函数和二次函数的学习后，我们深入的研究了函数的概念和性质，哪如何利用函数的概念和性质研究我们常见的初等函数？幂函数的研究做了一个很好的示范，为我们研究指数、对数函数起到了承上启下的作用，同时让我们体会到通过“定义、表示—图像与性质—应用研究”一类函数的思路和方法。
（三）学情分析
1.认知基础：
学生已经具备了正、反比例函数、一次函数和二次函数以及函数的概念、性质的相关知识，具备利用图像研究函数性质的能力。
2.认知障碍：
通过幂函数的研究、学习，学生一时难以形成“定义、表示—图像与性质—应用研究”一类函数的思路和方法。
（四）教学目标
1. 能从具体情境中抽象出幂函数概念，会利用定义识别出函数是否为幂函数，在这个过程中提升学生的数学抽象素养．
2.能正确画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的图象，描述它们的变化规律，讨论它们的基本性质，提升学生的直观想象和数学抽象素养．
3.能力目标：
能利用函数的单调性定义证明幂函数的单调性，能利用幂函数的单调性比较大小，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
（五）教学重难点：
1. 重点：幂函数的概念及五个幂函数的图象与性质.
难点：概括五个幂函数的共性，以及幂函数性质的应用和证明.
教学思路与方法
借助多媒体从实例问题导入，以函数的思维方式抽象出幂函数的概念，以特例为主，利用几何画板软件展示5个幂函数图象，以探索问题为主线展开，概括出5个幂函数图像性质及幂函数性质。进而形成用“定义、表示—图像与性质—应用研究”模式研究一类函数的思路和方法。
课前准备
多媒体Geograph画图软件、PPT课件
（九）教学过程
（一）幂函数定义的抽象
问题1：我们知道函数可以用来刻画现实世界中的实际问题，请看下面几个例子：
如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；
如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=，这里S是a的函数；
如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=，这里V是b的函数；
如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里c是S的函数；
如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v km/s，即v=，这里v是t的函数．
观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征看，它们有什么共同特征？
师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题．根据学生的回答，教师进行必要的补充．最后明确指出：这几个函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
教师给出幂函数的定义，并进行板书．
追问（1）：这几个函数中有没有你熟悉的函数？
师生活动：教师提出问题，学生思考并回答．p=w，S=，v=分别是初中学习过的一次函数（正比例函数）、二次函数和反比例函数的特殊情况，这种形式的函数称为幂函数．
追问（2）：能否根据幂函数的定义将上述五个问题中对应的幂函数写出来？
师生活动：学生思考后回答，教师根据学生回答的幂函数的解析式写出来，并进行纠错．
追问（3）：你能说出幂函数解析式的特征吗？判断下面几个函数是否为幂函数，并说出理由．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
师生活动：学生思考后回答，并阐述原因，教师根据学生的回答进行评价和强调：底数是自变量，自变量的系数为1，指数为常数，幂的系数为1，解析式等号右边只有一项．根据幂函数的定义（1）（2）（6）是幂函数，（3）（4）（5）不是幂函数．
设计意图：通过学生熟悉的实际问题引出幂函数；通过追问（1）使学生建立幂函数与之前已学函数的联系；追问（2）引导学生抓住幂函数的解析式的形式特点；追问（3）使学生对幂函数的定义加以辨析应用，强化理解．
（二）幂函数的图象与性质
问题2：我们知道了什么是幂函数，结合以往的学习经验，我们应该研究些什么呢？
师生活动：学生回答，教师在学生回答的基础上进行补充，最后得出：根据我们学过的函数知识，应该研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等内容．
追问：如何研究幂函数的这些性质呢？
根据学生交流讨论情况，教师可以适时地引导归纳，得到：根据初中学习函数的经验，可以先用描点法画出函数图象，再观察图象得到函数的性质.在画图过程中也可以利用解析式来帮助我们简化画图过程．
设计意图：引导学生回顾已有经验，得出研究函数的一般内容和方法．
问题3：这五个幂函数中，，的图象是我们熟悉的，如何画出和的图象呢？
追问：观察这两个函数的解析式，你能先说出它们的一些性质吗？
师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：通过解析式可以得到函数的定义域和奇偶性，定义域是R，是奇函数；定义域是非负实数组成的集合，既不是奇函数也不是偶函数，可以通过这些性质简化作图的过程．
学生利用描点法进行作图，在一个平面直角坐标系中画出五个幂函数的图象，教师利用信息技术进行画图并演示．
设计意图：引导学生体会研究一类函数的一般方法．其中，让学生先观察和的解析式特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性等基本性质进行初步判断，可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映出函数的性质特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点．
函数
定义域 R R R
值域 R R
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 增 增
问题4：观察这五个函数图象，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？
师生活动：学生观察思考后回答，教师引导补充并将这些性质填入表格中．
追问：再观察这五个幂函数的图象上是否有某些特殊点可以体现出它们的共同特点？在第一象限内函数图象还有什么变化趋势？
师生活动：学生观察思考后回答，教师引导得到结论：五个函数的图象都过点（1，1），在第一象限内函数的图象“当x越来越大时，图象无限靠近x轴，当x趋于0时，函数图象无限靠近y轴”．
设计意图：引导学生通过观察图象 得出五个幂函数各自的性质，并在此基础上归纳出共性和差异性，得出幂函数的一些基本性质．
问题5：利用函数的图象我们得到了五个幂函数的基本性质．事实上，观察得到的结论是不可靠的，我们还应对其加以严格的证明．
例：证明幂函数在[0，+∞)上是增函数．
师生活动：教师提出问题，学生尝试完成，教师对证明过程进行分析评价．
解析：函数的定义域是，
，[0，+∞)，且，有
．
因为，，
所以，即幂函数在上是增函数．
设计意图：引导学生能够对观察到的性质进行理性的思考，利用解析式对结论进行严格的证明，提高学生思维的严谨性．同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性定义在证明中的重要作用．
问题6：练习，教科书第91页练习1，2，3
1.已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式．
解析：设幂函数解析式为．
　　将点带入解析式，则，
得．
，．
设计意图：检测学生对幂函数定义的理解，并规范数学语言表述．
2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）；（2）；（3）．
解析：（1）由于幂函数在R上单调递增，且，
．
由于幂函数在上单调递减，且，
．
（3）
．
由于在上单调递增，且，
，
即．
师生活动：教师引导学生得出使用幂函数的性质比较大小的基本思路和方法：比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内，否则无法比较大小．因此如果底数不同需转化为同底数幂才能选择一个适当的幂函数进行比较说明，同时要注意函数的单调区间．
设计意图：检测学生对幂函数和单调性的应用，使用时提示：幂函数的图象不连续，因此要注意单调区间的描述．
3.画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性．
师生活动：学生分析思考后回答，教师引导归纳得出：这是一个分段函数，也是一个偶函数，它的定义域是．当时，是我们熟悉的五个幂函数之一，当时的函数图象与时的函数图象关于y轴对称．如下图：
单调性是：单调递减，单调递增
设计意图：检测学生对一般函数研究思路和方法的理解掌握．
（三）归纳小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答以下几个问题：
什么是幂函数？结合具体的幂函数，你能说出幂函数具有哪些性质吗？
结合对五个幂函数图象的研究过程，你能归纳一下学习函数的研究内容和方法吗？
师生活动：教师引导学生归纳：
1．判断一个函数是否为幂函数，关键是判断其是否符合(为常数)的形式；
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比归纳的思想从五个幂函数的角度分析(为常数)的图象与性质；
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质解决幂值比较大小的问题．
设计意图：回顾本节课的主要知识和研究过程，总结研究函数的内容、思路和方法．
布置作业
教科书第91页，习题3.3第1，2，3题．
七、目标检测设计
已知函数是幂函数，且当时，是增函数，试确定m的值．
解：根据幂函数的定义，得，
解得或．
当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，不符合要求．
故．
设计意图：检测学生对幂函数定义和性质的理解，并重视数学语言表述的规范和思维的严谨．