3.4 函数的应用（一） 教学设计

函数的应用（一）
一、内容
利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，使用分段函数建立简单的函数建模．
二、目标
体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．
达成上述目标的标志是：
（1）能从教科书例1中分析出存在几个变量，并确定他们之间的关系，通过这些关系确定应缴纳综合所得个税与综合所得收入额间的关系．
（2）能正确理解教科书例题中函数关系的实际意义，能使用它分析简单的实际问题；
（3）能准确理解例题中文字部分和图表部分的多种信息，并综合应用于确定函数关系，从而培养学生的数学抽象和数学建模素养．
教学支持条件分析
为了帮助学生正确分析实际问题中的变量关系，并能利用已知条件中的各种信息，教学时应注意使用问题引导的形式与信息技术的综合辅助功能相结合，使问题解决思路清晰，处理数据计算便捷，让学生能够将主要精力投入到建立数学模型的体验中，能更加深刻地感受到数学问题不同呈现形式的意义与数学建模的实用价值．
四、教学过程
（一）复习引入
　　问题1：我们前面学过了哪些函数？
师生活动：教师提出问题，学生回答问题．学生回答并相互补充，归纳得到：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数．
教师引导学生写出每类函数的解析式．
　　一次函数：
反比例函数：
二次函数：
幂函数
追问：什么是分段函数？ 你能举例说明吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考并回答.教师引导学生回顾分段函数定义并举例说明：形如这样的函数称为分段函数．
设计意图：本节课就是利用分段函数解决实际问题，通过回顾一次函数、二次函数、反比例函数和分段函数，为后面的实际应用奠定基础．
（二）例题教学
例1：设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果小王全年的综合所得由189 600元增加到249 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
问题２：大家仔细读题并回想前面的例8以及它的分析结果．如何得到y关于x的函数解析式？
第70页例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税），2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额=应纳税所得额税率–速算扣除数．
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额=综合所得收入额–基本减除费用–专项扣除
　　 –专项附加扣除–依法确定的其他扣除．
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60 000元．税率与速算扣除数见表
级数 全年应纳税所得额区间 税率(%) 速算扣除数
1 [0，36 000] 3 0
2 (36 000，144 000] 10 2 520
3 (144 000，300 000] 20 16 920
4 (300 000，420 000 ] 25 31 920
5 (420 000，660 000 ] 30 52 920
6 (660 000，960 000 ] 35 85 920
7 (960 000，+∞) 45 181 920
（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求，并画出图象；
（2）小王全年综合所得收入额为189 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%， 9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
师生活动：学生读题后思考，尝试回答．老师启发引导，探寻解题思路，得到：先使用个人应纳税所得额计算公式得到t与x的关系，再利用例8第（1）问的结果，得到应缴纳个税税额y关于全年应纳税所得额t的解析式，再将t等量代换为x即可得到y关于x的函数解析式．在学生独立书写后，教师可将学生答案展示后纠正不标准的叙述，再用多媒体展示答案．
解析：（1）若小王全年综合所得收入额为x（单位：元），由个人应纳税所得额计算公式，可得
令
根据个人应纳税所得额的规定可知，当时，．
　　所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为
结合例8所得的解析式
可得：
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以．
所以，函数解析式为
（2）根据上述解析式，当时，．
所以，小王全年需要缴纳的综合所的个税税额为5 712元．
设计意图：通过中间量t，建立起y与x的关系，提升学生的数学运算素养．通过展示解答，纠正问题，规范演示，培养学生严谨的语言表述习惯．
例2： 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示，
求图3.41中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
问题３：你能说出图3.41中反映出汽车行驶的什么规律？从图中能获得哪些信息？
师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：
当时间t在[0，5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶速率与之相对应．根据图3.41，在时间段[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]内行驶的平均速率分别为50 km/h，80 km/h，90 km/h，75 km/h，65 km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．
追问1：（1）能写出平均速率v与时间t的关系式吗？
　　　 （2）你能理解阴影部分面积的实际意义吗？
师生活动：（1）学生读图后尝试写出，教师规范引导，得出汽车的行驶规律的解析式表示如下：
（2）教师适时引导学生把阴影部分面积转化为多边形的面积，即5个长方形面积的和，并提示：每个长方形的长是什么？是多少？长方形的宽是什么？是多少？“是多少”能回答面积的计算问题，“是什么”能回答面积的意义问题．得到阴影部分的面积为：
因此阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km．
追问2：寻求汽车行驶路程与时间的函数解析式与图象．
师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：通过借助第（1）问的结论，可以将求路程的问题转化为求对应多边形的面积问题加以解决．教师引导学生动态地观察图中直线左侧的阴影部分的面积．如：当时，直线左侧的阴影部分是一个长方形，长是50，宽是t；当时，直线左侧的阴影部分是两个长方形，一个长是1，宽是50，另一个长是，宽是80；当时，直线左侧的阴影部分是三个长方形，一个长是1，宽是50，一个长是1，宽是80，另一个长是，宽是90；……
如图
得到结论
路程
追问3：上述结果是汽车里程表读数与时间的函数解析式吗？如不是该如何调整呢？
师生活动：学生思考回答，得到
这个函数的图象如图所示
设计意图：问题的信息除了以文字形式表述外，也见于速率关于时间变化的图象中．通过学生全面的审题，有助于培养学生的读图能力，提高学生获得信息的能力．另外通过动态观察获得数学表示，进一步转化为直观图象，通过这一过程感受数学化的好处，提高直观想象和数学建模素养．
（三）应用练习
练习1：（教材第95页练习1） 若用模型描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速率x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m．在限速为100 km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m，那么这辆车是否超速行驶？
师生活动：教师指导学生审题后，学生思考后回答．
解析：由解得，
由解得，
因为，
所以这辆车没有超速．
练习2：某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
师生活动：教师指导学生审题后，学生思考作答．
解析：设矩形的一边长为x，广告牌的面积为S，
则
当时，S取得最大值，且．
所以当广告牌是边长为的正方形时，广告牌的面积最大．
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
（四）归纳小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答以下几个问题：
（1）解决数学应用问题的基本思路与过程是什么？
（2）你能说出函数应用过程中要注意什么问题吗？
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力．
（五）布置作业
教科书第95页，习题3.4第1，2，3题．
六、目标检测设计
（教材第95页练习3）．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2 500元，每件产品的售价为3 500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则
（1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式；
（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．
解析：（1）；；；．
（2）若分析盈利问题则考虑函数．
由图可知想要盈利则，即，
所以当件时，该公司亏损；
当件时，该公司不赔不赚；
当件时，该公司盈利．
设计意图：教师引导学生通过审题——找变量间的关系——列出解析式——解决实际问题的过程，回顾本节课函数应用的基本思路，并让学生能够在各环节中抓住关键点，如本题中的单位换算问题，从而体现数学的逻辑性和严谨性．