5.1.2 弧度制 学案（含答案）

5.1.2 弧度制
教学目标
1.理解角的集合与实数集间的一一对应；?
2.熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；
3、能灵活运用弧长公式、扇形的面积公式。
重难点
1.教学重点：角度与弧度的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与运用；
2.教学难点：用扇形的弧长公式、扇形的面积公式解决问题。
知识梳理
1.规定： 叫做1弧度的角。
2.一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
3.弧度与角度的转化：1°= rad;1rad= 。
4.扇形的弧长公式： ，扇形的面积公式： 。
学习过程
一、探索新知
探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？
角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时，
（1）分别计算相对应的弧长l。
（2）分别计算对应弧长与半径之比。
思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？
1.弧度的概念
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角.
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
约定： 正角的弧度数为正数，
负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为0.
思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度
数是多少
思考2：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。
2.角度与弧度的换算
思考3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？
思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad等于多少度？
把 67°30′化成弧度。
把下列各角的弧度化为度数。
注：角度制与弧度制互化时要抓住 180°= rad 这个关键。
注: 常规写法
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数．
②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.
③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。
练习：填写下列表中特殊角的弧度数或度数。
角度 00 300 600 1200 1350 2700
弧度
角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，
任意角的集合 实数集R
例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）
。（其中R是扇形的半径，是弧长，，S是扇形的面积）。
达标检测
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
2．与30°角终边相同的角的集合是(　　)
A．
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D．
3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
4．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为_______．
5．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．
课堂小结
这节课你的收获是什么？
参考答案：
探究：规律：①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；
②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；
思考1.2rad,-3rad. 思考2.
思考3.360 ，。
思考4
例1.因为所以。
例2.（1）
练习：
角度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧度 0
例3.解析见教材
达标检测
1.【解析】　B中k＝1时为显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故C、D均错，只有A正确．
【答案】　A
【解析】　∵30°＝30× rad＝ rad，
2.∴与30°终边相同的所有角可表示为
α＝2kπ＋，k∈Z，故选D．
【答案】　D
3.【解析】　240°＝240× rad＝πrad，
∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，选A．
【答案】　A
4.【解析】　由－1 485°＝－5×360°＋315°，
所以－1 485°可以表示为－10π＋π.
【答案】　－10π＋π
5.【解析】　设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α，
则2R＋l＝4.①
由扇形的面积公式S＝ lR，得lR＝1.②
由①②得R＝1，l＝2，∴α＝＝2 rad.
∴扇形的圆心角为2 rad.