重庆市礼嘉中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

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2024-2025学年度礼嘉中学高2024级上期中期考试
数学试卷
（全卷满分150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项.
3.作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B.
C. D.
2. 不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
3. 如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4. 已知，则大小关系为（）
A. B.
C. D.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A. B.
C D.
6. 已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（）
A B. C. D.
7. 若函数幂函数,且在上单调递增,则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
8. 设，若是的最小值，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）
A. 与 B. 与
C与 D. 与
10. 已知实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
11. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，则（ )
A.
B. 函数在其定义域上是增函数
C. 若实数满足不等式，则的取值范围是
D. 函数的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，则___________.
13. 已知函数是偶函数，则________.
14. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
16. 已知函数.
（1）求函数的解析式.
（2）求关于的不等式，的解集.
17. 已知函数.
（1）用定义法证明函数在区间上单调递增；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 在经济学中，函数的边际函数，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）．（以下问题请注意定义域）
（1）求收入函数的最小值；
（2）求成本函数的边际函数的最大值；
（3）求生产x台光刻机的这种设备的的利润的最小值．
19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．
（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年度礼嘉中学高2024级上期中期考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1.
【答案】C
2.
【答案】A
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】C
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.
【答案】BD
10.
【答案】CD
11.
【答案】BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】1
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）当时，确定集合、，再求.
（2）问题转化为根据求的取值范围.
【小问1详解】
当时，，又.
所以或.
【小问2详解】
由“”是“”的充分条件，所以.
若即，则，此时；
若即，由.
综上可知：.所以实数的取值范围为：.
16.
【解析】
【分析】（1）根据题意利用配凑法求函数解析式；
（2）整理可得，分类讨论两根大小分析求解.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
因为，即，
整理可得，
令，解得或，
若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为.
17.
【解析】
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性.
（2）根据函数的单调性，结合函数定义域，把函数不等式转化成代数不等式求解.
【小问1详解】
设，
则
，
因为，所以，，，
所以，故
即.
所以函数在区间上单调递增.
小问2详解】
因为函数在区间上单调递增.
所以.
所以实数取值范围是：.
18.
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求函数的最小值即得；
（2）求出边际函数的解析式，然后利用函数的单调性求解最值；
（3）求出利润函数的解析式，换元后运用二次函数的图象性质求解最值．
【小问1详解】
∵，．
∴，当且仅当即时等号成立．
∴当时，（千万元）；
【小问2详解】
，
，，
由函数单调性知，在时单调递增，
故当时，；
【小问3详解】
由，
则，．
记，则该函数在上递减，在上递增，且，故，
于是当时，取得最小值.由，解得或，
故当或时，（千万元）．
19.
【解析】
【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；
（2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围；
（3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围.
【详解】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足，
有解，化为，无解，
不是“伪奇函数”；
（2）为幂函数，，，
，
为定义在的“伪奇函数”，
在上有解，
在上有解，
令，在上有解，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
，的值域为，
，；
（3）设存在满足，即在上有解，
在上有解，
在上有解，
令，取等号时，
在上有解，
在上有解（*），
，解得，
记，且对称轴，
当时，在上递增，
若（*）有解，则，，
当时，在上递减，在上递增，
若（*）有解，则，即，此式恒成立，，
综上可知，.
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