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重庆市第十八中学2024-2025学年(上)中期学习能力摸底
高一数学试题
考试说明:1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后,请将答题卡交回,试卷自行保存.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“,”的否定是()
A. , B. ,
C. , D. ,
2. 设全集,集合,,则()
A. B.
C D.
3. 已知是定义在上的函数,那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最小值为”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列函数中,值域为的是()
A. B.
C. D.
5. 已知幂函数,且,则下列选项中正确的是()
A. B.
C. D.
6. 给定函数.,,,用表示,中的较小者,记为,则的最大值为()
A. -6 B. 2 C. 4 D. 6
7. 函数满足:,,,当时,,,则的解集为()
A. B.
C. D.
8. “定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”,该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”,则函数的对称中心为()
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.
9. 下列各组函数表示同一个函数的是()
A, B. ,
C. , D. ,
10. 下列说法中正确的是()
A若,则 B. 若,则
C. 若,,则 D. 若,则
11. 已知是定义在上的偶函数,是定义在上的奇函数,且,在上单调递减,则下列说法正确的是()
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知是定义在上的奇函数,当时,,则__________.
13. 已知函数,若,则实数的取值范围是__________.
14. 若正实数,满足,则的最小值是__________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 已知集合,.
(1)若,求;
(2)若是的必要不充分条件,求的取值范围.
16. 已知是上的奇函数.
(1)求的值,并用定义证明:在上单调递减;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
17. 校本选修课是中学课程创新中的重要一环,某校生物组计划向学校申请面积为的矩形空地建造试验田,试验田为三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔,三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留宽的通道,如图.设矩形空地长为,三块种植植物的矩形区域(如下图中阴影部分所示)的总面积为.
(1)求关于的函数关系式:
(2)求最大值,及此时长的值.
18. 不动点原理是数学上一个重要的原理,也叫压缩映像原理,用初等数学可以简单的理解为:对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点.已知二次函数
(1)若时,讨论不动点的个数;
(2)若,,为两个相异的不动点,且,,求的最小值.
19已知函数对任意,,恒有,且当时,,.
(1)证明:函数为奇函数;
(2)求的值;
(3),时,成立,求实数的取值范围.
重庆市第十八中学2024-2025学年(上)中期学习能力摸底
高一数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】C
7.
【答案】B
8. “
【答案】A
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.
9.
【答案】AD
10.
【答案】BD
11.
【答案】ABC
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】4
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】(1)求解分式不等式可得,再代入求解交集即可;
(2)根据题意可得 ,再根据是否为空集与集合区间端点列不等式求解即可.
【小问1详解】
则且,解得,故.
若则,
【小问2详解】
若是的必要不充分条件则 ,
若,则,解得,
若,则且等号不同时成立,解得.
综上有的取值范围为
16.
【解析】
【分析】(1)根据奇函数性质,结合已知条件可解;根据单调性的证明步骤逐步证明即可;
(2)转化为在上恒成立,求在的最小值即可.
【小问1详解】
由题意可知:,得:,经验证得,当时,为奇函数;
所以,对,不妨设,
,
因为,所以,,
则,即,
因此在上单调递减.
【小问2详解】
在上恒成立,即在上恒成立,
所以,
因为在上单调递减,且为上奇函数,
所以为上单调递减,
所以,所以.
17.
【解析】
【分析】(1)根据题意表示出空地宽为,再表示出关于的函数式;
(2)根据基本不等式求解.
【小问1详解】
由题知空地宽为,则;
【小问2详解】
因为,所以,
当且仅当时等号成立,所以,
所以的最大值为,此时长为.
18.
【解析】
【分析】(1)根据题设可得,利用判别式讨论其根的个数,即可得答案;
(2)由题设有有两个不等的正根,应用韦达定理代入目标式得到关于的表达式,最后应用基本不等式求最小值,注意取值条件.
【小问1详解】
由题设,令,整理得,
所以,
当或时,,此时有两个不同的不动点;
当或时,,此时有一个不动点;
当时,,此时没有不动点;
【小问2详解】
由题设,令,整理得,
且,
所以,,又,,则,
则
,
当且仅当时等号成立,
所以目标式最小值为.
19.
【解析】
【分析】(1)通过赋值法及奇偶性的定义即可证明.
(2)令得,再结合抽象函数法则化简求值即可.
(3)先根据单调性的定义得在上单调递减,然后利用恒成立法则把问题转化为在上恒成立,分情况讨论二次函数的对称轴,利用函数的单调性求得最值即可求解.
【小问1详解】
因为,都有,
所以令,有,解得.
令,有,
所以,所以为奇函数.
【小问2详解】
令时,有,所以,
.
【小问3详解】
不妨设,因为时,,所以,
所以,所以在上单调递减.
因为在上单调递减,所以时,,
,时,,
即时,恒成立,
即在上恒成立,又对称轴为,
①当,即时,在上单调递增,
则,解得,此时无解;
②当,即时,,
解得,此时;
③当,即时,在上单调递减,
则,解得,此时无解;
综上实数的取值范围为
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