黑龙江省友谊县红兴隆管理局第一高级中学2015-2016学年高二下学期开学考试数学（文）试题

红兴隆管理局第一高级中学
2015－2016学年度第二学期开学考试
高二文科数学试卷
注：卷面分值150分； 时间：120分钟
一、选择题60分（每题5分，共12小题）
1.在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
2.阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
A．a=12，i=3 B．a=12，i=4 C．a=8，i=3 D．a=8，i=4
3.某健康协会从某地区睡前看手机的居民中 ( http: / / www.21cnjy.com )随机选取了n人进行调查，得到如右图所示的频率分布直方图．已知睡前看手机时间不低于20分钟的有243人，则n的值为（ ）
A．180 B．270 C．360 D．450
4.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
5.已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6. 下列选项叙述错误的是（　　）
A．命题“若x≠1，则”的逆否命题是“若，则x=1”
B．若为真命题，则p，q均为真命题
C．若命题，则
D．“x>2”是“”的充分不必要条件
7.已知直线ax+y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8.从1，2，3，4，这4个数中，不放回地任取两个数，两个数都是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9. 某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：
考试次数x 1 2 3 4
所减分数y 4.5 4 3 2.5
显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（　　）
A．y=0.7x+5.25 B．y=-0.6x+5.25
C．y=-0.7x+6.25 D．y=-0.7x+5.25
10.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0
D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
11.已知双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为（﹣，0），（，0），则双曲线方程为（　　）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
12.设，则函数单调递增区间为
A． B．和 C． D．
二、填空题20分（每题5分，共4小题）
13. 已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= ．
14. 函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为 ．
15. 一次选拔运动员，测得7名选手的身高 ( http: / / www.21cnjy.com )（单位cm）分布茎叶图如图，记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为____________．
若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ．
解答题70分
17.（10分）已知曲线方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0.
（1）当m=﹣6时，求圆心和半径；
（2）若曲线C表示的圆与直线：x+2y﹣4=0相交于M，N，且，求m的值．
18、（12分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+c，且 ．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
19.从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量） [80，85） [80，90） [90，95） [95，100）
频数（个） 5 10 20 15
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85和[95，100的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85和[95，100中各有1个的概率。
20. （12分）若抛物线的顶点是双曲线x2﹣y2=1的中心，焦点是双曲线的右顶点
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．
21. （12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．
22. （12分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）时，讨论的单调性；
红兴隆管理局第一高级中学
2015－2016学年度第二学期开学考试
高二文科数学试卷
【答案】BABBC BCADA CD
【答案】13. 0 14. 2x﹣y﹣e=0 15. 8 16 . ．
17.【答案】
试题解析：解：（1）当m=﹣6时，方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，
圆心坐标为（1，2），半径为；
（2）∵（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，
∴圆心（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离d=，
又圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m的半径r=，，
∴（）2+（）2=5﹣m，得m=4.
18.【答案】
试题解析：解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣1，
∴f′（）=+a﹣1=a，
解得：a=﹣1；
（2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣x+c，
f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜1，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）递增，在（﹣，1）递减．
19【答案】
试题解析：（1）苹果的重量在的频率为；
（2）重量在的有1个；
（3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：
（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．
20.试题解析：解：（1）由x2﹣y2=1，可得a2=b2=1，
则双曲线的右顶点为（1，0），
即抛物线的焦点坐标为（1，0），则，p=2.
∴抛物线方程为y2=4x；
（2）假设存在直线l，使得C恰为弦MN的中点，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
两式作差得：，
即．
∴直线l的斜率为2.
此时l的方程为y﹣1=2（x﹣2），即为2x﹣y﹣3=0.
联立直线方程与双曲线方程后判别式大于0，
∴满足条件的直线方程为2x﹣y﹣3=0.
21.试题解析：解：（1）由题意知e==，∴=，即a2=
又∵圆心（0，0）到直线x﹣y+的距离为，∴b=．
∴a=2，故椭圆的方程为：
（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）
联立 ( http: / / www.21cnjy.com )，得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0①
设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1），直线AE的方程为
令y=0，得x=，
再将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入
整理得x=②
由①得x1+x2=，x1x2=，
代入②整理得x=1，
所以直线AE与x轴相交于定点（1，0）
22.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，
当时，函数
所以
令，所以或
因为
所以函数单调增区间，单调减区间
所以函数在处取得极小值，，无极大值．
（Ⅱ），
令，得，，
当时，，函数的在定义域单调递增；
当时，在区间，上，单调递减，
在区间上，单调递增；
当时，在区间，上，单调递减，
在区间上，单调递增．
综上所述，当时，函数的在定义域单调递增；
当时，在区间，单调递减，在区间单调递增；
当时，在区间，单调递减，在区间单调递增．