重庆市西南大学附属中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题（含答案）

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西南大学附中高2027届高一上
数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
2024年11月
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效，保持答卷清洁、完整.
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C D.
2. 已知函数，则的值是（）
A. 4043 B. 4047 C. D.
3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）
A. B.
C D.
4. 两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“平行”函数，给出三个函数：，，，则此三个函数中的“平行”函数是（）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 以上均不对
5. 命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（）
A. B.
C. D.
6. 当时，恒成立，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. B. 的定义域是
C. 函数 D. 的最小值为
8. 定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（）
A. 1 B. 4 C. 7 D. 8
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列四个结论中，正确的结论是（）
A. 与表示同一个函数
B. 函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数的单调减区间为，则实数的值为
D. 函数的值域为
10. 已知正实数a，b，则下列说法正确的是（）
A. 的最小值是2
B. 若，则的最大值是
C. 若，则的最小值是
D. 若，则的最小值是
11. 已知集合，定义集合A到B的函数除以3的余数，下列说法正确的是（）
A.
B. ，
C. ，
D. 函数的图像与的图像有且仅有一个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的增区间为__________．
13. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为__________．
14. 已知函数，设方程（a为常数）的实数解的个数为n，则n的取值构成的集合为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，，．
（1）求，；
（2）若，求实数k的取值范围．
16. 已知函数．
（1）若函数在单调递减，求取值范围；
（2）当时，设函数在上的最小值为，求的函数表达式．
17. “新能源汽车”是如今社会的热门话题，截止到2024年9月，中国新能源汽车市场的渗透率达到了53.3%．某汽车厂商计划引进新能源汽车生产设备，生产某款汽车每月需投入固定成本8000万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且．
每辆汽车售价15万元，当月生产的汽车全部销售完．
（1）求出月利润（万元）关于月产量x（百辆）的关系；
（2）当月产量为多少百辆时，企业所获的月利润最大？并求出最大利润．
18. 已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，．
（1）求函数的解析式和最值；
（2）已知函数满足，都有成立；若，使得成立，求m的取值范围．
19已知函数（），．
（1）证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）设，
①当时，求在上的最小值；
②若对任意实数r，s，，恒成立，求实数a取值范围．
西南大学附中高2027届高一上
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】C
7.
【答案】D
8.
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】BD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式得到集合，再由交并补混合运算计算即可；
（2）分集合是否为空集时讨论，由集合间包含关系计算即可；
【小问1详解】
∵或，
∴或，则，
又∵，
∴或，
，
【小问2详解】
∵，，
①当时，，，
②当时，，
（ⅰ）若，则，
（ⅱ）若，则，，
∴实数k的取值范围为或.
16.
【解析】
【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的性质计算即可；
（2）先求出对称轴，分和两种情况讨论，求最小值即可.
【小问1详解】
因为二次函数开口向下，对称轴为，
所以函数单调递减区间为，
因为函数在单调递减，
所以，解得；
【小问2详解】
当时，，开口向下，对称轴为，
当，即时，，
当，即时，，
综上所述，.
17.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由求解；
（2）根据（1）的结论，分和利用二次函数和基本不等式求解.
【小问1详解】
解：由题意得：
，
∴月利润和月产量的关系表达式为.
【小问2详解】
由（1）得：
，
①当时，，
∴当月销量为40百辆时，月利润最大为8000万元；
②当时，
，
∴当且仅当时，，
∴当月销量为102百辆时，月利润最大为8990万元，
又∵，
∴当月产量为102百辆时，月利润最大，最大为8990万元.
18.
【解析】
【分析】（1）由函数的奇偶性，可联立方程组，即可解得的解析式；利用基本不等式，可求得的最值.
（2）利用已知等式，可求得的解析式，若，使得成立，则需，即可得到m的取值范围.
【小问1详解】
由题意，，
因为，①
所以②
由①②可得，
当，，因为所以，当且仅当取等，
当，，
当，，因为所以，当且仅当取等，
综上的最大值为，最小值为.
【小问2详解】
令，得
令，得
若，使得成立
即
由（1）可知，当，，
所以.
19.
【解析】
【分析】（1）由题意（），利用函数的单调性定义证明；
（2）①，得到，再令，由求解；②将恒成立，转化为，即求解.
【小问1详解】
由题意可得（）.
任取，，且，
则
，
因为，所以，，
当时，，即，故在区间上单调递减；
当时，，即，故在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【小问2详解】
①，易知在上单调递减，故，
令，则，所以，
当且仅当，即时取等号，故；
②因为恒成立，故，即，
由①知，当时，，
令，令，
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故，，
故，得，所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时，即，
得；
当时，在上单调递增，
故，得，即或，
所以
综上，实数a的取值范围为.
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