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第12章 整式的乘除 单元综合知识梳理卷
一、选择题
1．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3-a2＝a C．（a2）3＝a5 D．a2 a3＝a5
2．下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
3．如图，对一个正方形进行面积分割，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
4．已知 ，则 的值为（ ）
A．9 B． C． D．
5．下列从左到右的变形，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若 ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
7．若(x+a)(x+b)的积中不含x的一次项，那么a与b一定是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a比b大
8．下面是小马虎同学在一次数学测验中的计算，其中正确的个数有（ ）
①x3 x3 = 2x3； ②（a3）2= a 5； ③（ab3）2=ab6； ④3x2 （﹣2x3）=﹣6x5； ⑤（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表.用这些简单的平方表，他们很快算出两数的乘积.例如：对于95×103，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2=99；第二步：（103-95）÷2=4；第三步：查平方表，知99的平方是9801；第四步：查平方表，知4的平方是16；第五步：9801-16=9785=95×103. 请结合以上实例，设两因数分别为a和 b,写出蕴含其中道理的整式运算（ ）
A． B．
C． D．
10．小明认为下列括号内都可以填a4，你认为使等式成立的只能是（ ）
A．a12=（ ）2 B．a12=（ ）3 C．a12=（ ）4 D．a12=（ ）8
11．已知a-b=3，则 的值是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
12．阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题
13．计算：6a2b÷2a= ．
14．计算（mn）3的结果是 ．
15．已知am=3，an=2，则a2m－3n=
16．计算 = ．
17．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（a b），将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为 ．
18．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）= （结果可用幂的形式表示）
三、综合题
19．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解.
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4.
20．若x=2m+2，y=3+4m．
（1）请用含x的代数式表示y；
（2）如果x=3，求此时y的值．
21．
（1）因式分解： ．
（2）如图， ， ， ，求 和 的度数．
22．例：已知 ，求 的值.
解：因为 ，所以 ；则 ；所以 .
观察以上解答，解答以下问题：
已知 ，
（1）求下列各式的值：① ；② ；
（2）直接写出 的值.
23．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 ，求△ABC最长边取值范围．
24．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
（2）利用（1）中的结论计算： ， ，求 ；
（3）根据（1）中的结论，直接写出 和 之间的关系；若 ，分别求出 和 的值．
25．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片， 种纸片边长为 的正方形， 中纸片是边长为 的正方形， 种纸片是长为 、宽为 的长方形．并用 种纸片一张， 种纸片一张， 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式： 之间的等量关系． ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
26．综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题．
（1）【直接应用】若，，求的值．
（2）【类比应用】若，则 ．
（3）【知识迁移】将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
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第12章 整式的乘除 单元综合知识梳理卷
一、选择题
1．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3-a2＝a C．（a2）3＝a5 D．a2 a3＝a5
【答案】D
【解析】【解答】解：A：a3与a2不是同类项，不能合并，计算错误，该选项不符合题意；
B：a3与a2不是同类项，不能合并，计算错误，该选项不符合题意；
C：（a2）3＝a6，计算错误，该选项不符合题意；
D：a2 a3＝a5，计算正确，该选项符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则逐一分析判定。
2．下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
【答案】C
【解析】【解答】解：a（x+y）＝ax+ay，由左到右的变形是整式乘除，故A不符合；
x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4，没有将整个多项式因式分解，故B不符合；
10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），由左到右的变形是因式分解，故C符合；
x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x，没有将整个多项式因式分解，故D不符合；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义逐一识别，再作判断.
3．如图，对一个正方形进行面积分割，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】A
【解析】【解答】解：计算大正方形的面积，
方法一： ；
方法二：求四部分面积和， ，
（a+b）2＝a2+2ab+b2.
故答案为：A.
【分析】用不同的方法计算图形的整体面积，进而得出等式，等式即完全平方公式.
4．已知 ，则 的值为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
＝
＝ ，
∴原式＝
＝ ；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的除法的逆运算及幂的乘方计算即可。
5．下列从左到右的变形，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、（y-x）2 =（x-y）2，故本选项不合题意；
B、-a-b=-（a+b），故本选项不合题意；
C、（m-n）3=-（n-m）3，故本选项不合题意；
D、-m+n=-（m-n），故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式以及去括号法则，进行判断即可得到答案。
6．若 ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法法则及幂的乘方法则的逆用将待求式子变形，最后代值计算即可.
7．若(x+a)(x+b)的积中不含x的一次项，那么a与b一定是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a比b大
【答案】A
【解析】【解答】∵
又∵ 的积中不含 的一次项
∴
∴ 与 一定是互为相反数
故答案为：A.
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把 看作常数合并关于 的同类项， 的一次项系数为0，得出 的关系.
8．下面是小马虎同学在一次数学测验中的计算，其中正确的个数有（ ）
①x3 x3 = 2x3； ②（a3）2= a 5； ③（ab3）2=ab6； ④3x2 （﹣2x3）=﹣6x5； ⑤（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】∵x3 x3=x6，∴①不符合题意；
∵（a3）2=a6，∴②不符合题意；
∵（ab3）2=a2b6，∴③不符合题意；
∵3x2 （-2x3）=-6x5，∴④符合题意；
∵（-a）3÷（-a）=（-a）2=a2，∴⑤不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方求出每个式子的值，再判断即可．
9．在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表.用这些简单的平方表，他们很快算出两数的乘积.例如：对于95×103，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2=99；第二步：（103-95）÷2=4；第三步：查平方表，知99的平方是9801；第四步：查平方表，知4的平方是16；第五步：9801-16=9785=95×103. 请结合以上实例，设两因数分别为a和 b,写出蕴含其中道理的整式运算（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据题目中所给出的式子，整合计算，即可得出公式.
10．小明认为下列括号内都可以填a4，你认为使等式成立的只能是（ ）
A．a12=（ ）2 B．a12=（ ）3 C．a12=（ ）4 D．a12=（ ）8
【答案】B
【解析】【解答】解：a12=（a4）3．
故答案为：B．
【分析】根据公式（am)n=amn，可得出使等式成立的选项。
11．已知a-b=3，则 的值是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】【解答】∵a-b=3，
∴
=(a+b)(a-b)-6b
=(a+b)(a-b)-6b
=3(a+b) -6b
=3a+3b-6b
=3(a-b)
=3×3
=9.
故答案为：C.
【分析】将代数式利用平方差公式转化为(a+b)(a-b)-6b，再将a-b=3代入，就可将原式化为3(a-b)，然后代入求值。
12．阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：，两边同时除以x，得，移项，得， 等式两边同时平方得到，所以，即=6.
故答案为：B.
【分析】先两边同时除以x，将问题转化为阅读理解中的问题，再用其中的方法解决问题.
二、填空题
13．计算：6a2b÷2a= ．
【答案】3ab
【解析】【解答】解：原式=3ab．
故答案是：3ab．
【分析】根据单项式除单项式的法则计算，再根据系数相等，相同字母的次数相同列式求解即可．
14．计算（mn）3的结果是 ．
【答案】m3n3
【解析】【解答】解：原式=m3n3，
故答案为：m3n3.
【分析】根据积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可.
15．已知am=3，an=2，则a2m－3n=
【答案】
【解析】【解答】a2m﹣3n＝(a2m)÷(a3n)＝(am)2÷(an)3＝9÷8＝ ，故答案为 ．
【分析】由a2m﹣3n＝(a2m)÷(a3n)＝(am)2÷(an)3进行解答即可.
16．计算 = ．
【答案】 ．
【解析】【解答】解：原式=
=
故答案为： ．
【分析】根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可．
17．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（a b），将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为 ．
【答案】
【解析】【解答】图(1)中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2 b2；
图(2)中阴影部分为梯形，其上底为2b，下底为2a，高为（a-b）则其面积为(a+b)(a b)，
∵前后两个图形中阴影部分的面积，
∴ .
故答案为 .
【分析】根据两个阴影部分的面积相等进行解答即可.
18．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）= （结果可用幂的形式表示）
【答案】232-1
【解析】【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1），
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1），
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1），
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1），
=（28-1）（28+1）（216+1），
=（216+1）（216-1）
=232-1.
故答案为：232-1.
【分析】将原式乘以（2-1），然后利用平方差公式计算即可.
三、综合题
19．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解.
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4.
【答案】（1）解：在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5
（2）解：把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝4，b＝4，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），
＝（x+1）（x+2）2.
【解析】【分析】（1）根据x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程组求出即可；（2）由把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案.
20．若x=2m+2，y=3+4m．
（1）请用含x的代数式表示y；
（2）如果x=3，求此时y的值．
【答案】（1）解：把x=3代入解得即可． ∵4m=22m=（2m）2，x=2m+2， ∴2m=x﹣2， ∵y=4m+3， ∴y=（x﹣2）2+3， 即y=x2﹣4x+7
（2）解：把x=3代入y=x2﹣4x+7=4
【解析】【分析】（1）将已知条件转化为2m=x﹣2 ，将其代入 y=4m+3 ，就可得出 y=（x﹣2）2+3 ，整理可求解。
（2）将x=3代入计算可求值。
21．
（1）因式分解： ．
（2）如图， ， ， ，求 和 的度数．
【答案】（1）解：原式 ．
（2）解： ，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先提取公因式2a，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）根据平行线的性质可得，再利用三角形的外角的性质可得。
22．例：已知 ，求 的值.
解：因为 ，所以 ；则 ；所以 .
观察以上解答，解答以下问题：
已知 ，
（1）求下列各式的值：① ；② ；
（2）直接写出 的值.
【答案】（1）解：①∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ；
（2）解：∵ （x≠0），
∴ ，即： ，
∴
=
=
=
=
【解析】【分析】（1）①先将两边同时平方可得，从而求出 ，利用平方根的意义即可求解；
②利用完全平方公式可得，然后代入计算即可；
（2）由可得，然后将原式变形，再代入计算即可.
23．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 ，求△ABC最长边取值范围．
【答案】（1）解：原方程可化为：
∴
∴
（2）解：原方程可化为：
∴
∴
（3）解：原方程可化为：
∴
∴三角形第三边x的取值范围是
∴△ABC最长边取值范围
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式把方程化成两个平方的和为0的形式即可解题（2）利用完全平方公式把方程化成两个平方的和为0的形式即可解题；（3）利用完全平方公式把方程化成两个平方的和为0的形式即可解题；
24．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
（2）利用（1）中的结论计算： ， ，求 ；
（3）根据（1）中的结论，直接写出 和 之间的关系；若 ，分别求出 和 的值．
【答案】（1）解：阴影部分的面积为：4ab或（a＋b）2 （a b）2，
得到等式：4ab＝（a＋b）2 （a b）2，
说明：（a＋b）2 （a b）2＝a2＋2ab＋b2 （a2 2ab＋b2）＝a2＋2ab＋b2 a2＋2ab b2＝4ab．
（2）解：（a b）2＝（a＋b）2 4ab＝22 4× ＝4 3＝1，
∴a b＝±1．
（3）解：根据（1）中的结论，可得： ，
∵x2 3x＋1＝0，
方程两边都除以x得： ，
∴ ，
∴ ＝32 4＝5．
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，利用完全平方公式，即可解答；
（2）利用完全平方公式计算即可；
（3）利用完全平方公式计算即可。
25．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片， 种纸片边长为 的正方形， 中纸片是边长为 的正方形， 种纸片是长为 、宽为 的长方形．并用 种纸片一张， 种纸片一张， 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式： 之间的等量关系． ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：①
②设2020-a=x，a-2019=y，则x+y=1，
∵ ，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴xy= =-2，
即 ．
【解析】【解答】解：（1）图2大正方形的面积= ，图2大正方形的面积=
故答案为： ， ；（2）由题可得 ， ， 之间的等量关系为： 故答案为： ；
【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）①依据a+b=5，可得（a+b）2=25，进而得出a2+b2+2ab=25，再根据a2+b2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x，a-2019=y，即可得到x+y=1，x2+y2=5，依据（x+y）2=x2+2xy+y2，即可得出xy= = ，进而得到 = ．
26．综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题．
（1）【直接应用】若，，求的值．
（2）【类比应用】若，则 ．
（3）【知识迁移】将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】（1）解：∵，
又∵，，
∴，
∴
（2）5
（3）解：∵两块直角三角板全等，
∴，，，
∵点 ，，在同一直线上，点 ，，也在同一直线上，
∴，，
设，.
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴.
答：一块直角三角板的面积为24.
【解析】【解答】解：（2）
原式；
【分析】（1）根据完全平方式可得，再将，代入求出即可；
（2）将代数式变形为，再将代入计算即可；
（3）设，，再结合可得，求出，最后求出即可。
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