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第13章 全等三角形 单元专项突破卷
一、选择题
1．如果两个三角形全等，那么下列结论不正确的是（ ）
A．这两个三角形的对应边相等 B．这两个三角形都是锐角三角形
C．这两个三角形的面积相等 D．这两个三角形的周长相等
2．如果一个等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．以上都不是
3．在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
4．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB=35cm，DF=30cm，则EF的长为（ ）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
5．如图， ，在 上取点C，以点C为圆心， 长为半径画弧交 于点D，连接 ；以点D为圆心， 长为半径画弧交 于点E，连接 ， 的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．下列语句正确的有（ ）个.
①“相等的角是对顶角”是真命题；②“同角（或等角）的补角相等”是真命题；③立方根等于它本身的数是非负数；④如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5m，则周长是9cm或12cm.
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90°
C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA
8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，延长BC至E，使CE=CD，若△ABC的周长为20，BD=a，则△DBE的周长是（ ）（用含a的式子表示）
A．10+2a B．15+2a C．20+a D．10+a
11．如图，若BC=EC，∠BCE=∠ACD，则添加不能使△ABC≌△DEC的条件是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点 是 的中点，平分 ，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③
二、填空题
13．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A＝∠B，只需补充一个条件 ，则有△AOC≌△BOD．
14．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 度．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD＝6cm，AD平分∠BAC，BC＝10cm，则点D到AB的距离为 ．
16．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加一个条件使△ABC≌△BAD，你添加的条件是
17．等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角是 .
18．如图，已知 中， ， ， ，作AC的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第一条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第二条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交 于点 ，连接 ，得到第三条线段 ；……，如此作下去，则第n条线段 的长为 ．
三、综合题
19．已知AF=ED，AE=FD，点B、C在AD上，AB=CD，
（1）图中共有 对全等三角形．
（2）我会说明△▲ ≌△▲ ．（写出证明过程）
20．如图所示，在 中， ， ， 是 边上的任意一点，作 交 的延长线于点 ，连接 、 ， 于点 ．
（1）若 ， ．求 ．
（2）求证： ．
21．如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE．
（1）求证：△CBD≌△CAE．
（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
22．已知：AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，
（1）试说明：∠1＝∠2.
（2）若∠1=42°，求∠EDC的度数.
23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为边BC上的一点，连接AD，过点C作AD的垂线，交过点B与边AC平行的直线于点E，CE交边AB于点F.
（1）求∠EBF的度数；
（2）求证：△ACD≌△CBE；
（3）若AD平分∠BAC，判断△BEF的形状，并说明理由.
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E.
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②求证：BD＝2EC；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系并证明你的猜想.
25．如图，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；
（2）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD.
26．如图，在长方形ABCD中，AB=CD=8cm，BC=14cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）BP= cm（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时， ABP DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得 ABP与 PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由。
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第13章 全等三角形 单元专项突破卷
一、选择题
1．如果两个三角形全等，那么下列结论不正确的是（ ）
A．这两个三角形的对应边相等 B．这两个三角形都是锐角三角形
C．这两个三角形的面积相等 D．这两个三角形的周长相等
【答案】B
【解析】【解答】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，周长相等，面积相等，故A、C、D正确；全等三角形不一定是锐角三角形，故B选项错误，
故答案为：B.
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是要明确全等三角形与三角形的形状无关.
2．如果一个等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．以上都不是
【答案】B
【解析】【解答】解：当3厘米是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7厘米是腰时，则三角形的周长是3+7×2=17（厘米）.
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论：当3厘米是腰时，根据三角形三边的关系得出不能构成三角形，舍去；当7厘米是腰时，底是3，求出等腰三角形的周长，即可求解.
3．在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
【答案】A
【解析】本题主要考查了全等三角形的对应角相等的性质
根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠b与∠C不能是100°，再根据全等三角形的对应角相等解答．
∵在△ABC中，∠B=∠C，
∴∠B、∠C不能等于120°，
∴与△ABC全等的三角形的100°的角的对应角是∠A．
故选A．
4．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB=35cm，DF=30cm，则EF的长为（ ）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，
∴△DEF的周长为100cm，AB＝DE=35cm，AC=DF=30cm，
∴EF=100-35-30=35cm，
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的的周长相等，对应边相等，可得到△DEF的周长及DE的长，然后求出EF的长.
5．如图， ，在 上取点C，以点C为圆心， 长为半径画弧交 于点D，连接 ；以点D为圆心， 长为半径画弧交 于点E，连接 ， 的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知OC=CD=DE，
∴∠CDO=∠AOB=70°，∠DCE=∠DEC，
∵∠CDO=∠DCE+∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC=35°，
故答案为：D.
【分析】利用作图可知OC=CD=DE，利用等边对等角可证得∠DCE=∠DEC，∠CDO=∠AOB=70°；再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，可证得∠CDO=∠DCE+∠DEC，代入计算求出∠DCE的度数.
6．下列语句正确的有（ ）个.
①“相等的角是对顶角”是真命题；②“同角（或等角）的补角相等”是真命题；③立方根等于它本身的数是非负数；④如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5m，则周长是9cm或12cm.
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，∴①错误；
∵同角（或等角）的补角相等，∴②正确；
∵立方根等于它本身的数是0和±1，－1是负数，∴③错误；
∵当2cm为腰时，2+2=4＜5，不构成三角形，
当5cm为腰时，5+5=10＞2，构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为5+5+2=12cm，∴④错误，
综上，正确的语句有1个，
故答案为：D.
【分析】根据相等的角不一定是对顶角，可对①作出判断；利用余角的性质可对②作出判断；利用立方根的性质，可对③作出判断；利用三角形的三边关系定理和等腰三角形的性质可对④作出判断；由此可得到正确结论的个数.
7．如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90°
C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA
【答案】A
【解析】【解答】解：在△ABC与△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，
A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；
B、根据HL即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
C、根据SAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
D、根据SSS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】在△ABC与△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，要使△ABC≌△BAD ，可根据SSS、SAS、HL进行添加即可.
8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【解析】【解答】解：如图：
网格中满足条件的点C的个数为6个，
故答案为：B．
【分析】根据题意作图即可。
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故答案为：C．
【分析】根据 在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等， 求解即可。
10．如图所示，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，延长BC至E，使CE=CD，若△ABC的周长为20，BD=a，则△DBE的周长是（ ）（用含a的式子表示）
A．10+2a B．15+2a C．20+a D．10+a
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴，CE=CD=，
∵CE=CD，
∴，
，
∴，
∴△DBE为等腰三角形，
∴BD=DE=a，
∴△DBE的周长是：BD+DE+BC+CE=a+a++=10+2a，
故答案为：A．
【分析】先利用等边三角形的性质求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CE=CD=，再证明△DBE为等腰三角形，可得BD=DE=a，最后利用三角形的周长公式可得答案。
11．如图，若BC=EC，∠BCE=∠ACD，则添加不能使△ABC≌△DEC的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，即∠ACB=∠DCE，
又∵BC=EC，
∴添加AB=DE时，构成SSA，不能使△ABC≌△DEC，故A选项符合题意；
添加∠B=∠E，根据ASA可以证明△ABC≌△DEC，故B选项不符合题意；
添加AC=DC，根据SAS可以证明△ABC≌△DEC，故C选项不符合题意；
添加∠A=∠D，根据AAS可以证明△ABC≌△DEC，故D选项不符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
12．如图，点 是 的中点，平分 ，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过E作于F，
∵，平分，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
而，
∴，故③错误；
在和中，，
∴，
∴，，，故②正确；
∴，故④正确；
∴，故①正确．
综上，四个结论中成立的是①②④，
故选：A．
【分析】已知AE平分∠BAD ，过点E作与点F，根据角平分线的性质可得BE=EF，又因为AE=AE，故，因为点E是的中点，所以，斜边大于直角边，故③错误；同理可得，根据三角形全等的性质，可得，故②正确；等量代换，故④正确；由图可得，故①正确；综上可知①②④正确。
二、填空题
13．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A＝∠B，只需补充一个条件 ，则有△AOC≌△BOD．
【答案】AC＝BD（答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵∠A＝∠B，
当AC＝BD，
∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
14．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 度．
【答案】58
【解析】【解答】解：∵ 两个三角形全等 ，
∴∠1=180°-50°-72°=58°；
故答案为：58.
【分析】根据全等三角形的对应角相等即可求解.
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD＝6cm，AD平分∠BAC，BC＝10cm，则点D到AB的距离为 ．
【答案】4cm
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
∵BD＝6，BC＝10，
∴CD＝BC﹣BD＝4，
∴DE＝4（cm），
即点D到AB的距离为4cm．
故答案为：4cm
【分析】作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得出DE＝DC，在计算出CD即可。
16．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加一个条件使△ABC≌△BAD，你添加的条件是
【答案】 （或AD=BC或 ）
【解析】【解答】解：添加∠C=∠D，利用AAS可得 △ABC≌△BAD；
添加AD=BC，利用SAS可得 △ABC≌△BAD；
添加∠ABD=∠BAC，利用ASA可得 △ABC≌△BAD.
故添加的条件可为∠C=∠D或AD=BC或∠ABD=∠BAC，答案不唯一，任选一个即可.
【分析】本题的答案不唯一，可以根据SAS、AAS和ASA来进行判定三角形全等.
17．等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角是 .
【答案】80°或50°
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，
∴等腰三角形的一个内角为80°，
当80°为顶角时,其他两角都为50°、50°，
当80°为底角时,其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的底角可以是50°,也可以是80°.
故答案为：80°或50°.
【分析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论.
18．如图，已知 中， ， ， ，作AC的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第一条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第二条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交 于点 ，连接 ，得到第三条线段 ；……，如此作下去，则第n条线段 的长为 ．
【答案】 或
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分AC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
，
可得第n条线段 的长为： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出 ，再求出，最后找出规律求解即可。
三、综合题
19．已知AF=ED，AE=FD，点B、C在AD上，AB=CD，
（1）图中共有 对全等三角形．
（2）我会说明△▲ ≌△▲ ．（写出证明过程）
【答案】（1）3
（2）解：AED；DFA；
理由：在△AED和△DFA中，
，
∴△AED≌△DFA（SSS）．
【解析】【解答】解：（1）图中共有△AED≌△DFA，△AEC≌△DFB，△AFB≌△DEC 3对全等三角形；
故答案为：3.
【分析】（1）根据题目所给的条件可以证明△AED≌△DFA，△AEC≌△DFB，△AFB≌△DEC；
（2）根据题目所给条件AF＝ED，AE＝FD，再有公共边AD＝AD可利用SSS定理证△AED≌△DFA．
20．如图所示，在 中， ， ， 是 边上的任意一点，作 交 的延长线于点 ，连接 、 ， 于点 ．
（1）若 ， ．求 ．
（2）求证： ．
【答案】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠ACE=75°，
∴∠BCE=30°，
∵CE⊥AE，
∴∠DEC=∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠BAD=∠ECD=30°，
∵BF=3，且BF⊥AE，
∴AB=2BF=6，则S△ABC= AB BC= ×6×6=18；
（2）证明：如图，在AF上截取AP=CE，连接BP，
∵CE⊥AE，
∴∠DEC=∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠BAD=∠ECD，
在△ABP和△CBE中，
∴△ABP≌△CBE（SAS），
∴BP=BE，∠ABP=∠CBE，
∴∠PBE=90°，∠EPB=45°，
∴∠APB=135°，
∴∠CEB=∠APB=135°
∴ .
【解析】【分析】（1）由∠ABC=90°、AB=BC知∠BCA=45°，根据∠ACE=75°得∠BCE=30°，再证∠BAD=∠ECD=30°，从而得AB=2BF=6，根据三角形面积公式可得；（2）在AF上截取AP=CE，连接BP，先证△ABP≌△CBE得BP=BE，即可证明 ．
21．如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE．
（1）求证：△CBD≌△CAE．
（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵△ABC、△DCE为等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=∠DBC=60°，
∵∠ACD+∠ACB=∠DCB，∠ECD+∠ACD=∠ECA，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
，
∴△ECA≌△DCB（SAS）；
（2）解：∵△ECA≌△DCB，
∴∠EAC=∠DBC=60°，
又∵∠ACB=∠DBC=60°，
∴∠EAC=∠ACB=60°，
∴AE∥BC．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形各内角为60°和各边长相等的性质可证∠ECA=∠DCB，AC=BC，EC=DC，即可证明△ECA≌△DCB；（2）根据△ECA≌△DCB可得∠EAC=60°，根据内错角相等，平行线平行即可解题．
22．已知：AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，
（1）试说明：∠1＝∠2.
（2）若∠1=42°，求∠EDC的度数.
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE(SSS)，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE ∠CAD=∠BAC ∠CAD，
即：∠1=∠2；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE，
由三角形的外角性质得，∠ADE+∠EDC=∠1+∠B，
∴∠EDC=∠1，
∵∠1=42°，
∴∠EDC=42°.
【解析】【分析】（1）根据三角形全等判定定理（SSS）可证△ABC≌△ADE(SSS)，从而得到∠BAC=∠DAE，所以可得出结论
（2）、由(1)可得出∠B=∠ADE，再根据三角形外角性质可得∠ADE+∠EDC=∠1+∠B，从而有∠EDC=∠1，即可得出答案。
23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为边BC上的一点，连接AD，过点C作AD的垂线，交过点B与边AC平行的直线于点E，CE交边AB于点F.
（1）求∠EBF的度数；
（2）求证：△ACD≌△CBE；
（3）若AD平分∠BAC，判断△BEF的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵BE∥AC，
∴∠CBE+∠ACB=180°，
∴∠CBE=90°，
∴∠EBF=45°
（2）证明：∵AD⊥CE，
∴∠ACE+∠CAD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵AC=BC，∠ACB=∠CBE=90°，
∴△ACD≌△CBE
（3）解：△BEF是等腰三角形，
理由如下：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=22.5°，
∵△ACD≌△CBE，
∴∠E=∠ADC=67.5°，
由（1）可知，∠EBF=45°，
∴∠BFE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠E=∠BFE，
∴△BEF是等腰三角形
【解析】【分析】（1）根据已知条件得△ACB是等腰直角三角形，再由平行线的性质，得∠EBF=∠CAB。
（2）全等三角形的判定，
（3）根据角平分线的性质，以及全等三角形对应角相等，分析求得 ∠E=∠BFE ，即可证明 △BEF是等腰三角形 。
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E.
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②求证：BD＝2EC；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系并证明你的猜想.
【答案】（1）解：①∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠CBA＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA＝22.5°，
∵CE⊥BD，
∴∠ECD+∠CDE＝90°，∠DBA+∠BDA＝90°，
∵∠CDE＝∠BDA，
∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°；
②延长CE交BA的延长线于点G，如图1：
∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴CE＝GE，
在△ABD与△ACG中，
，
∴△ABD≌△ACG（AAS），
∴BD＝CG＝2CE
（2）解：结论：BE﹣CE＝2AF.
过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图2：
∵AH⊥AE，
∴∠BAH+∠HAC＝∠HAC+∠CAE，
∴∠BAH＝∠CAE，
在△ABH与△ACE中，
∴△ABH≌△ACE（ASA），
∴CE＝BH，AH＝AE，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝HF，
∴BE﹣CE＝2AF.
【解析】【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得∠CBA＝45°，由角平分线的定义可得∠DBA＝∠CBA，再根据等角的余角相等可得∠ECD＝∠DBA；
②结合题意用角角边可证△ABD≌△ACG，则可得BD＝CG＝2CE；
（2） 结论：BE﹣CE＝2AF. 过点A作AH⊥AE，交BE于点H，根据等角的余角相等可得∠BAH＝∠CAE，用角边角可证△ABH≌△ACE，所以CE＝BH，AH＝AE，于是可判断△AEH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得AF＝EF＝HF，则结论可求证.
25．如图，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；
（2）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD.
【答案】（1）解：如图1，延长DE交AB的延长线于F，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
又∵E是BC的中点，
∴E是BC的中点，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE，即E为DF的中点，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F，
∴AD＝AF，
∴AE平分∠DAB
（2）解：如图2，在DA上截取DF＝DC，连接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE，又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE（SAS），
∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，又∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴FE＝BE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠AEB，又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD.
【解析】【分析】（1） 延长DE交AB的延长线于F， 由平行线的判定和性质易证∠CDE＝∠F，用角角边可证 △CDE≌△BFE，则DE=EF，由角平分线的定义可得∠CDE＝∠ADE，则∠ADE＝∠F，由等角对等边可得AD=AF，根据等腰三角形的三线合一可求解；
（2） 在DA上截取DF＝DC，连接EF，由题意用边角边可证△CDE≌△FDE，则CE=EF， ∠CED＝∠FED，结合已知可得FE＝BE，由等角的余角相等可得∠AEF＝∠AEB，用边角边可证△AEF≌△AEB，所以AF=AB，结合线段的构成可求解.
26．如图，在长方形ABCD中，AB=CD=8cm，BC=14cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）BP= cm（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时， ABP DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得 ABP与 PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）BP=2t
（2）解：当t= 时，△ABP≌△DCP，
理由：∵BP=2t，CP=14 2t，
∵△ABP≌△DCP，
∴BP=CP，
∴2t=14 2t，
∴t= .
（3）解：①当△ABP≌△PCQ时，
∴BP=CQ，AB=PC，
∵AB=8，
∴PC=8，
∴BP=BC PC=14 8=6，
2t=6，
解得：t=3，
CQ=BP=6，
v×3=6，
解得：v=2；
②当△ABP≌△QCP时，
∴BA=CQ，PB=PC
∵PB=PC，
∴BP=PC= BC=7，
2t=7，
解得：t= ，
CQ=BA=8，
v× =8，
解得：v= .
综上所述：当v=2或 时，△ABP与△PQC全等.
【解析】【分析】（1）因为点P从B开始运动，根据路程速度时间的关系即得BP=2t ；
（2）因为AB=CD，∠B=∠C=90°，则若使 ABP DCP ，根据边角边定理可知BP=PC，于是 2t=14 2t， 求出t即可；
（3） ①根据边角边定理，当△ABP≌△PCQ时， BP=CQ，AB=PC，于是AB=PC=8，根据BP=BC PC
列式即可求出t值，现知Q的时间和路程，则速度v可求；
②同样根据边角边定理，当△ABP≌△QCP时，BA=CQ，PB=PC，于是P为BC的中点求得PB，则2t=7，时间t可求 ，Q点运动的时间和路程现已确定，则速度可求.
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