人教版六上：分数乘除法应用———工程问题
一、解决问题
1．（2024六上·三门期末）下图是甲、乙、丙三人独做一项工程所需天数的统计图，请看图解决下列问题。
（1）三人合做需要多少天完成
（2）甲、乙先合做了2天，剩下的由丙独做，丙还要做多少天完成
【答案】（1）解：1÷（++）
=1÷
=（天）
答：三人合做需要天完成。
（2）解：（+）×2
=×2
=
（1-）÷
=÷
=（天）
答：丙还要做天完成。
【知识点】工程问题；分数除法与分数加减法的混合运算；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】（1）三人合做需要的天数=1÷三人每天一共完成几分之几，据此代入数值作答即可；
（2）甲、乙合做了2天完成这项工程的几分之几=甲、乙两人每天一共完成几分之几×2，那么丙还要做的天数=（1-甲、乙合做了2天完成这项工程的几分之几）÷丙每天完成几分之几，据此代入数值作答即可。
2．（2023六上·杭州期末）一项工程，甲单独做20天完成工程的，乙的工作效率是甲的。甲、乙合作，多少天可以完成全部工程？
【答案】解：甲的工作效率：
乙的工作效率：
1÷()
=1÷
=(天)
【知识点】工程问题
【解析】【分析】甲、乙合作完成全部工程需要的时间=工作总量÷工作效率的和；其中，甲的工作效率=甲完成的工作量÷工作时间；乙的工作效率=甲的工作效率×。
3．（2023六上·杭州期末）某货运公司安排甲乙两车运一批货物，甲车单独运完这批货物需要8次，乙车单独运完这批货物需要6次。如两车一起运这批货物，运3次后，这批货物还剩下6吨。这批货物一共有几吨？
【答案】解：甲车单独运完这批货物需要8次，每次运这批货物的，
乙车单独运完这批货物需要6次。每次运这批货物的，
1-(+)×3
=1-
=
6÷=48(吨)
答：这批货物一共有48吨。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】两车一块运1次运的分率×3=两车一块运3次运的分率，单位1-两车一块运3次运的分率=剩下的分率，剩下的吨数÷剩下的分率=这批货物的总吨数。
4．（2022·重庆）一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。现先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果三队同时开工修这条路，几天可以完成？
【答案】解：
＝
＝
＝
＝
（天）
答：10天可以完成。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】三队同时开工修这条路完成需要的天数=工作总量÷工作效率的和；其中，工作效率的和=[1-（甲的工作效率＋乙的工作效率）×甲、乙的工作时间]÷从丙队参加一起修后全部完成需要的天数。
5．（2023六下·温岭期末）一项工程，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要30天。两队先合修8天后，剩下的工程由乙队单独去修，还需要几天完成？
【答案】解：（）×8
=
=
1-=
÷=10（天）
答：还需要10天完成。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】乙队单独修还需要的天数=（1-甲、乙工作效率的和×合修的时间）÷乙的工作效率。
6．（2023·播州）贵阳一中新世界国际学校校园建设工程，甲队单独做15天完成，乙队单独做12天完成，两队一起合做5天后，剩下的由乙队完成，还需要多少天？
【答案】解：1﹣（+）×5
＝1﹣ ×5
＝ 1-
=
÷＝3（天）
答：还需要3天。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】把这项工程看作单位“1”，用分数分别表示出两队的工作效率。用两队的工作效率和乘5求出合作5天完成的工作量。用1减去合作5天完成的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以乙队的工作效率即可求出乙队还需要的天数。
7．（2023·都昌）某市政府决定对A区沿河两岸在房子进行重新装饰。这项工程甲单独做要12天完成，乙对单独做要8天完成，现乙队单独做3天，剩下在由甲乙两队合作完成，甲乙要合作几天才能完成全部工程？
【答案】解：（1﹣3× ）÷（ + ）
＝ ÷
＝3（天）
答：甲乙要合作3天才能完成全部工程。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】先算出乙队3天做了这项工程的多少，把这项工程看作单位“1”，剩下的工程=1-已做的。最后用剩下的工程÷（甲的工效+乙的工效），即可解答。
8．（2023六下·崇阳期末）一项工程，甲队做8天可以完成，乙队单独做10天可以完成，甲先做2天．后，剩下的由乙队单独做，还要几天才能完成？
【答案】解：（1-×2）÷
=（1-）÷
=÷
=7.5（天）
答：还要7.5天才能完成。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】完成还需要的天数=（工作总量-甲的工作效率×甲的工作时间）÷乙的工作效率。
9．修一条水渠，甲队单独修15天完成，乙队单独修，2天修了全长的。现在甲队先修5天，乙队再加入一起修。完成工程后，两队共得工资3000元。按工作量分配甲队应得多少元？
【答案】将工作量设为1，
1÷15=
÷2=
（1-×5）÷（+）
=÷
=4（天）
×（5+4）
=×9
=
3000×=1800（元）
答：按工作量分配甲队应得1800元。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用；工作效率、时间、工作总量的关系及应用
【解析】【分析】将工作量设为1，看作单位“1”；则甲队每天修，乙队每天修（÷2）；先用乘5，求出甲队先修了总工作量的分率；再用剩下的工作量除以甲乙两队的工作效率和，求出两队合修的时间；然后求出甲队共完成了工作总量的分率，最后用3000元乘甲队完成的工作总量的分率即可。
10．（2015·锦江）一件工作，甲独做10小时完成，乙独做12小时完成，丙独做15小时完成，现在三人合作，但甲因中途另有任务提前撤出，结果6小时完成，甲只做了多少小时？
【答案】解：设全部工作量为1，则甲用时就为：
[1﹣（ + ）×6]÷
=[1﹣ ] ，
= ，
=1（小时）；
答：甲只做了1小时
【知识点】工程问题
【解析】【分析】设全部工作量为1，则甲、乙、丙三人的工作效率分别为 、、.6小时完成，则乙丙完成的工作量是：（+ ）×6，甲完成的工作量则为：1﹣（+）×6，那么甲用的时间就为：[1﹣（ +）×6]÷．
11．一项工程，乙单独做20天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成．这项工程由甲单独做需要几天可以完成？
【答案】解：依据分析可得甲的工作效率是乙工作效率的2倍
1÷（×2）
=1
=10（天）
答：这项工程由甲单独做需要10天可以完成．
【知识点】工程问题
【解析】【分析】根据两种轮流交替做的情况可得出：当甲先做时，用的时间就少，而乙先做时，用的时间就多．据此可得第一种情况甲乙的工作顺序是：甲，乙，甲，乙… 甲（最后一天是甲做的，若是乙做的，则第二种情况不会出现多做半天的时间）；而第二种情况甲乙的工作顺序就是：乙，甲，乙，甲…乙，甲，乙， 把两种情况对照可得：甲一天的工作效率=乙一天的工作效率+甲半天工作效率，即甲半天工作效率=乙一天工作效率，也就是说甲的工作效率是乙工作效率的2 倍，把这项工程的量看作单位“1”，先表示出乙的工作效率，再求出甲的工作效率，最后根据工作时间=工作总量÷工作效率即可解答．
12．（2023六上·硚口期末）完成一项工程，甲单独完成需要15天，乙单独完成需要20天，丙单独完成需要12天。如果甲、乙先合作2天，剩下由乙、丙两人合作完成，还要多少天？
【答案】解：（ ）×2
＝ ×2
＝
（1- ）÷（ ）
＝5 （天）
答：还要5 天。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】把这项工程看成单位“1”，所以甲乙合作2天完成这项工程的几分之几=甲乙两人每天一共完成几分之几×2，那么剩下这项工程的几分之几=1-甲乙合作2天完成这项工程的几分之几，所以还要的天数=剩下这项工程的几分之几÷乙丙两人每天一共完成几分之几，据此代入数值作答即可。
13．（2023六上·菏泽期末）六（2）班同学上街开展义务扫街活动，第一小队同学单独扫需要4小时，第二小队同学单独扫需要5小时。如果第一小队先扫2小时后，余下的任务由两小队一起扫，还需要合作多少小时可以扫完？
【答案】解：（1-×2）÷（＋）
=（1-）÷
=÷
= （小时）
答：还需要合作小时可以扫完。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】扫完还需要合作的时间=（单位“1”-第一小队的工作效率×工作时间）÷（第一小队的工作效率＋第二小队的工作效率）。
14．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作 小时，共完成这批零件的 。已知甲与乙的工作效率之比是 ，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？
【答案】解：乙 小时完成总工作量的 ；乙每小时完成总工作量的 ；乙需要完成的总工作量为 ；乙要完成这个任务还需要的时间： （小时）
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：×=
÷5=
÷-5=5（小时）
【分析】把这批零件平均分给甲、乙两人同时加工，那么乙需要完成的总工作量为，乙5小时完成总工作量的几分之几=两人工作5小时共完成这批零件的几分之几×，那么乙每小时完成总工作量的几分之几=乙5小时完成总工作量的几分之几÷5，所以乙要完成这个任务还需要的时间=乙需要完成的总工作量÷乙每小时完成总工作量的几分之几-已经工作的5小时。
15．（2022·长沙）某工程，甲、乙两队合做，30天可以完成，今两队合做12天后剩下的由甲队独做，又做24天完成，问乙队独做全部工程需几天完成？
【答案】解：（1-×12）÷24
=（1-）÷24
=÷24
=
1÷（）
=1÷
=120（天）
答：乙队独做全部工程需120天完成。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】用两队的工作效率和乘12求出合作完成的工作量，然后用1减去合作完成的工作量求出剩下的工作量。用剩下的工作量除以甲队又做的时间即可求出甲队的工作效率。用两队的工作效率和减去甲队的工作效率求出乙队的工作效率，然后用1除以乙队的工作效率即可求出乙队单独完成需要的时间。
16．（小学数学简单的工程问题习题（3））一项工程，甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少10天，现在两人合作，但其中乙休息了几天，结果从开工到结束一共用了18天．乙休息了几天？
【答案】解：乙单独完成需要的时间为：30﹣10=20（天）
（1﹣ ×18）÷
=（1﹣ ）÷
= ÷
=8（天）
18﹣8=10（天）
答：乙休息了10天。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】把一项工程的工作总量看作单位“1”，分别表示出甲、乙的工作效率，甲的工作效率为 ，乙比甲工作时间少10天，即为30﹣10=20（天），则乙的工作效率为 ；先求出甲工作18天的工作量 ×18= ，就能求出乙的工作总量；1﹣ = = ，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，求出乙的工作时间，进而就可求出乙休息的时间．此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答。
1 / 1人教版六上：分数乘除法应用———工程问题
一、解决问题
1．（2024六上·三门期末）下图是甲、乙、丙三人独做一项工程所需天数的统计图，请看图解决下列问题。
（1）三人合做需要多少天完成
（2）甲、乙先合做了2天，剩下的由丙独做，丙还要做多少天完成
2．（2023六上·杭州期末）一项工程，甲单独做20天完成工程的，乙的工作效率是甲的。甲、乙合作，多少天可以完成全部工程？
3．（2023六上·杭州期末）某货运公司安排甲乙两车运一批货物，甲车单独运完这批货物需要8次，乙车单独运完这批货物需要6次。如两车一起运这批货物，运3次后，这批货物还剩下6吨。这批货物一共有几吨？
4．（2022·重庆）一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。现先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果三队同时开工修这条路，几天可以完成？
5．（2023六下·温岭期末）一项工程，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要30天。两队先合修8天后，剩下的工程由乙队单独去修，还需要几天完成？
6．（2023·播州）贵阳一中新世界国际学校校园建设工程，甲队单独做15天完成，乙队单独做12天完成，两队一起合做5天后，剩下的由乙队完成，还需要多少天？
7．（2023·都昌）某市政府决定对A区沿河两岸在房子进行重新装饰。这项工程甲单独做要12天完成，乙对单独做要8天完成，现乙队单独做3天，剩下在由甲乙两队合作完成，甲乙要合作几天才能完成全部工程？
8．（2023六下·崇阳期末）一项工程，甲队做8天可以完成，乙队单独做10天可以完成，甲先做2天．后，剩下的由乙队单独做，还要几天才能完成？
9．修一条水渠，甲队单独修15天完成，乙队单独修，2天修了全长的。现在甲队先修5天，乙队再加入一起修。完成工程后，两队共得工资3000元。按工作量分配甲队应得多少元？
10．（2015·锦江）一件工作，甲独做10小时完成，乙独做12小时完成，丙独做15小时完成，现在三人合作，但甲因中途另有任务提前撤出，结果6小时完成，甲只做了多少小时？
11．一项工程，乙单独做20天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成．这项工程由甲单独做需要几天可以完成？
12．（2023六上·硚口期末）完成一项工程，甲单独完成需要15天，乙单独完成需要20天，丙单独完成需要12天。如果甲、乙先合作2天，剩下由乙、丙两人合作完成，还要多少天？
13．（2023六上·菏泽期末）六（2）班同学上街开展义务扫街活动，第一小队同学单独扫需要4小时，第二小队同学单独扫需要5小时。如果第一小队先扫2小时后，余下的任务由两小队一起扫，还需要合作多少小时可以扫完？
14．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作 小时，共完成这批零件的 。已知甲与乙的工作效率之比是 ，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？
15．（2022·长沙）某工程，甲、乙两队合做，30天可以完成，今两队合做12天后剩下的由甲队独做，又做24天完成，问乙队独做全部工程需几天完成？
16．（小学数学简单的工程问题习题（3））一项工程，甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少10天，现在两人合作，但其中乙休息了几天，结果从开工到结束一共用了18天．乙休息了几天？
答案解析部分
1．【答案】（1）解：1÷（++）
=1÷
=（天）
答：三人合做需要天完成。
（2）解：（+）×2
=×2
=
（1-）÷
=÷
=（天）
答：丙还要做天完成。
【知识点】工程问题；分数除法与分数加减法的混合运算；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】（1）三人合做需要的天数=1÷三人每天一共完成几分之几，据此代入数值作答即可；
（2）甲、乙合做了2天完成这项工程的几分之几=甲、乙两人每天一共完成几分之几×2，那么丙还要做的天数=（1-甲、乙合做了2天完成这项工程的几分之几）÷丙每天完成几分之几，据此代入数值作答即可。
2．【答案】解：甲的工作效率：
乙的工作效率：
1÷()
=1÷
=(天)
【知识点】工程问题
【解析】【分析】甲、乙合作完成全部工程需要的时间=工作总量÷工作效率的和；其中，甲的工作效率=甲完成的工作量÷工作时间；乙的工作效率=甲的工作效率×。
3．【答案】解：甲车单独运完这批货物需要8次，每次运这批货物的，
乙车单独运完这批货物需要6次。每次运这批货物的，
1-(+)×3
=1-
=
6÷=48(吨)
答：这批货物一共有48吨。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】两车一块运1次运的分率×3=两车一块运3次运的分率，单位1-两车一块运3次运的分率=剩下的分率，剩下的吨数÷剩下的分率=这批货物的总吨数。
4．【答案】解：
＝
＝
＝
＝
（天）
答：10天可以完成。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】三队同时开工修这条路完成需要的天数=工作总量÷工作效率的和；其中，工作效率的和=[1-（甲的工作效率＋乙的工作效率）×甲、乙的工作时间]÷从丙队参加一起修后全部完成需要的天数。
5．【答案】解：（）×8
=
=
1-=
÷=10（天）
答：还需要10天完成。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】乙队单独修还需要的天数=（1-甲、乙工作效率的和×合修的时间）÷乙的工作效率。
6．【答案】解：1﹣（+）×5
＝1﹣ ×5
＝ 1-
=
÷＝3（天）
答：还需要3天。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】把这项工程看作单位“1”，用分数分别表示出两队的工作效率。用两队的工作效率和乘5求出合作5天完成的工作量。用1减去合作5天完成的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以乙队的工作效率即可求出乙队还需要的天数。
7．【答案】解：（1﹣3× ）÷（ + ）
＝ ÷
＝3（天）
答：甲乙要合作3天才能完成全部工程。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】先算出乙队3天做了这项工程的多少，把这项工程看作单位“1”，剩下的工程=1-已做的。最后用剩下的工程÷（甲的工效+乙的工效），即可解答。
8．【答案】解：（1-×2）÷
=（1-）÷
=÷
=7.5（天）
答：还要7.5天才能完成。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】完成还需要的天数=（工作总量-甲的工作效率×甲的工作时间）÷乙的工作效率。
9．【答案】将工作量设为1，
1÷15=
÷2=
（1-×5）÷（+）
=÷
=4（天）
×（5+4）
=×9
=
3000×=1800（元）
答：按工作量分配甲队应得1800元。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用；工作效率、时间、工作总量的关系及应用
【解析】【分析】将工作量设为1，看作单位“1”；则甲队每天修，乙队每天修（÷2）；先用乘5，求出甲队先修了总工作量的分率；再用剩下的工作量除以甲乙两队的工作效率和，求出两队合修的时间；然后求出甲队共完成了工作总量的分率，最后用3000元乘甲队完成的工作总量的分率即可。
10．【答案】解：设全部工作量为1，则甲用时就为：
[1﹣（ + ）×6]÷
=[1﹣ ] ，
= ，
=1（小时）；
答：甲只做了1小时
【知识点】工程问题
【解析】【分析】设全部工作量为1，则甲、乙、丙三人的工作效率分别为 、、.6小时完成，则乙丙完成的工作量是：（+ ）×6，甲完成的工作量则为：1﹣（+）×6，那么甲用的时间就为：[1﹣（ +）×6]÷．
11．【答案】解：依据分析可得甲的工作效率是乙工作效率的2倍
1÷（×2）
=1
=10（天）
答：这项工程由甲单独做需要10天可以完成．
【知识点】工程问题
【解析】【分析】根据两种轮流交替做的情况可得出：当甲先做时，用的时间就少，而乙先做时，用的时间就多．据此可得第一种情况甲乙的工作顺序是：甲，乙，甲，乙… 甲（最后一天是甲做的，若是乙做的，则第二种情况不会出现多做半天的时间）；而第二种情况甲乙的工作顺序就是：乙，甲，乙，甲…乙，甲，乙， 把两种情况对照可得：甲一天的工作效率=乙一天的工作效率+甲半天工作效率，即甲半天工作效率=乙一天工作效率，也就是说甲的工作效率是乙工作效率的2 倍，把这项工程的量看作单位“1”，先表示出乙的工作效率，再求出甲的工作效率，最后根据工作时间=工作总量÷工作效率即可解答．
12．【答案】解：（ ）×2
＝ ×2
＝
（1- ）÷（ ）
＝5 （天）
答：还要5 天。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】把这项工程看成单位“1”，所以甲乙合作2天完成这项工程的几分之几=甲乙两人每天一共完成几分之几×2，那么剩下这项工程的几分之几=1-甲乙合作2天完成这项工程的几分之几，所以还要的天数=剩下这项工程的几分之几÷乙丙两人每天一共完成几分之几，据此代入数值作答即可。
13．【答案】解：（1-×2）÷（＋）
=（1-）÷
=÷
= （小时）
答：还需要合作小时可以扫完。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】扫完还需要合作的时间=（单位“1”-第一小队的工作效率×工作时间）÷（第一小队的工作效率＋第二小队的工作效率）。
14．【答案】解：乙 小时完成总工作量的 ；乙每小时完成总工作量的 ；乙需要完成的总工作量为 ；乙要完成这个任务还需要的时间： （小时）
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：×=
÷5=
÷-5=5（小时）
【分析】把这批零件平均分给甲、乙两人同时加工，那么乙需要完成的总工作量为，乙5小时完成总工作量的几分之几=两人工作5小时共完成这批零件的几分之几×，那么乙每小时完成总工作量的几分之几=乙5小时完成总工作量的几分之几÷5，所以乙要完成这个任务还需要的时间=乙需要完成的总工作量÷乙每小时完成总工作量的几分之几-已经工作的5小时。
15．【答案】解：（1-×12）÷24
=（1-）÷24
=÷24
=
1÷（）
=1÷
=120（天）
答：乙队独做全部工程需120天完成。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】用两队的工作效率和乘12求出合作完成的工作量，然后用1减去合作完成的工作量求出剩下的工作量。用剩下的工作量除以甲队又做的时间即可求出甲队的工作效率。用两队的工作效率和减去甲队的工作效率求出乙队的工作效率，然后用1除以乙队的工作效率即可求出乙队单独完成需要的时间。
16．【答案】解：乙单独完成需要的时间为：30﹣10=20（天）
（1﹣ ×18）÷
=（1﹣ ）÷
= ÷
=8（天）
18﹣8=10（天）
答：乙休息了10天。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】把一项工程的工作总量看作单位“1”，分别表示出甲、乙的工作效率，甲的工作效率为 ，乙比甲工作时间少10天，即为30﹣10=20（天），则乙的工作效率为 ；先求出甲工作18天的工作量 ×18= ，就能求出乙的工作总量；1﹣ = = ，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，求出乙的工作时间，进而就可求出乙休息的时间．此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答。
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