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第21章 二次根式 单元诊断自查卷
一、选择题
1．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C．＝2 D．
2．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．把 根号外的因式适当变形后移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
5．估计 的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
6．下列根式中，与 是同类二次根式的为（ ）
A． ； B． ； C． ； D． .
7．若式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≥0，x≠1 D．x＞0
8．下列各运算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
10．代数式 成立的条件是（ ）
A． B．
C． D． 且
11．若代数式 有意义，则点 在平面直角坐标系中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12． 下列各式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13． 若函数在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
14．若，则化简的结果为 ．
15．函数中自变量x的取值范围是 ．
16．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
17．已知，则 ．
18．计算：= .
三、综合题
19．（1）已知某数的平方根是2a-15和 ， 的立方根是 ，求 的平方根．
（2）已知y= + -8，求 的值．
20．化简：
（1） ， = ， = .， = .；
（2） =0， = ， = ， = ；
（3）根据以上信息，观察 所在位置，完成化简：
21．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为 米，宽AB为 米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为 米，宽为 米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/ 的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
22．求代数式a+ 的值，其中a＝﹣2020.如图是小亮和小芳的解答过程.
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式a+2 的值，其中a＝﹣2019.
23．先阅读，再解答：由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题：
（1） 的有理化因式是 ；
（2）化去分母中根号： ； ；
（3）比较大小： .
24．计算题
（1）化简：（ ﹣ ）÷ +
（2）计算：（﹣3）﹣2+ ﹣|1﹣2 |﹣（ ﹣3）0．
25．计算：
（1） +（π﹣1）0﹣4 + （ ﹣1）
（2） + ﹣（ ﹣ ）
（3）|2 ﹣3|﹣（﹣ ）﹣2+ ．
26．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
（1）试化简：
（2）已知a，b， c为△ABC的三边长，化简：+++；
（3）已知a、b满足求ab的值
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第21章 二次根式 单元诊断自查卷
一、选择题
1．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C．＝2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、3与无法合并，故不符合题意；
B、 ， 故不符合题意；
C、 ＝2 ，故符合题意；
D、， 故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的性质分别计算，再判断即可.
2．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
化简各选项中的根式：
在上述根式中与是同类根式的是。
故答案为：B.
【分析】先化简各根式，再与对照可得结果。
3．函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件可得：
，
解得： ，
故答案为：A.
【分析】先求出，再求解即可。
4．把 根号外的因式适当变形后移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ＞0，
∴ ＜0，
∴
，
故答案为：C．
【分析】先求出 ＜0，再利用二次根式的性质计算求解即可。
5．估计 的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【答案】B
【解析】【解答】解：
=
=
由于
所以
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的混合运算先计算结果，再根据无理数的大小估计可得结果.
6．下列根式中，与 是同类二次根式的为（ ）
A． ； B． ； C． ； D． .
【答案】B
【解析】【解答】解：A． 与 不是同类二次根式，不符合题意；
B． 与 是同类二次根式，符合题意；
C． 与 不是同类二次根式，不符合题意；
D． 与 不是同类二次根式，不符合题意．
故答案为：B
【分析】将A、B化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义可解答。
7．若式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≥0，x≠1 D．x＞0
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，x≠0，
解得，x≥1，
故答案为：B．
【分析】根据题意求出x﹣1≥0，x≠0，再计算求解即可。
8．下列各运算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，本选项符合题意；
C、根据二次根式有意义的条件可得 和 没有意义，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式乘法法则及二次根式有意义的条件逐一进行判断即可.
9．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】B
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;
B、化简得： 和 是同类二次根式；
C、化简得： 和 ，不是同类二次根式；
D、化简得： 和 不是同类二次根式．
故答案为：B．
【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
10．代数式 成立的条件是（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴
解得：
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质 可得： ，求解即可．
11．若代数式 有意义，则点 在平面直角坐标系中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴ ， ，
∴ ， ；
∴点 在第一象限；
故答案为：A．
【分析】由二次根式的性质先判断m、n的符号，然后判断点 所在的象限．
12． 下列各式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、， 故不符合题意；
C、 是最简二次根式， 故符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此判断即可.
二、填空题
13． 若函数在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵函数在实数范围内有意义，
∴，
解得：x≥4且x≠3，
∴x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，分母不等于0，解之即可得答案.
14．若，则化简的结果为 ．
【答案】-a
【解析】【解答】解：由题知：
因为a＜0，所以
故答案为：-a.
【分析】由二次根式的菲负性解题即可。
15．函数中自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥1
【解析】【解答】解：∵x-1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式x-1≥0，再求出x的取值范围即可.
16．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题可知，x-5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式大于等于0，列出不等式，解不等式即可.
17．已知，则 ．
【答案】11
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：11
【分析】先根据分式有理化得到，进而代入根据二次根式的混合运算即可求解。
18．计算：= .
【答案】
【解析】 【解答】=
故答案为：.
【分析】把括号展开即可求值，此题考查了二次根式的运算.
三、综合题
19．（1）已知某数的平方根是2a-15和 ， 的立方根是 ，求 的平方根．
（2）已知y= + -8，求 的值．
【答案】（1）解：a+3+2a-15=03a=12，a=4
B=-8，所以-b-a=4，所以4的平方根是
（2）解：由题意得 ，x=24，y=8，所以
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可得出a+3+2a-15=0，求出a的值，再由b的立方根是-2，可求出b的值，再代入求出-b-a的平方根。
（2）利用二次根式的定义可求出x、y的值，再将x、y的值代入代数式即可求值。
20．化简：
（1） ， = ， = .， = .；
（2） =0， = ， = ， = ；
（3）根据以上信息，观察 所在位置，完成化简：
【答案】（1）2；2；
（2）3；-3；a
（3）解：由图可得，
a＜0＜b，|a|＜|b|，
∴
=-a+b-a-（a+b）
=-a+b-a-a-b
=-3a.
【解析】【解答】解：（1） =2， =2.， =|a|；
故答案为2、2、|a|；
（ 2 ） =3， =-3， =a；
故答案为3、-3、a；
【分析】（1）根据算术平方根的计算方法可以解答本题；（2）根据立方根的计算方法可以解答本题；（3）根据数轴可以判断a、b的大小与正负，从而可以化简题目中的式子.
21．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为 米，宽AB为 米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为 米，宽为 米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/ 的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】（1）解：长方形ABCD的周长=2×（8 + ）=2（8 +7 ）=16 +14 （米），
答：长方形ABCD的周长是（16 +14 ）米；
（2）解：通道的面积=(8 × ) ( +1)( 1)
=56 -（13-1）
=56 12（平方米），
购买地砖需要花费=6×（56 12）=336 -72（元）．
答：购买地砖需要花费(336 -72)元．
【解析】【分析】 (1)根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式化简即可得到结果；
(2)先计算出空白部分的面积，再进行计算即可得到结果。
22．求代数式a+ 的值，其中a＝﹣2020.如图是小亮和小芳的解答过程.
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式a+2 的值，其中a＝﹣2019.
【答案】（1）小芳
（2）被开方的数具有非负性
（3）解：a+2
＝a+2 ，
∵a＝﹣2019，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2019）＝6+2019＝2025，
即代数式a+2 的值是2025.
【解析】【解答】解：（1）∵a＝﹣2020，
∴1﹣a＝1﹣（﹣2020）＝2021，
故小芳开方时，出现错误，
故答案为：小芳；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：被开方的数具有非负性，
故答案为：被开方的数具有非负性；
【分析】（1）根据题目中的解答过程和二次根式的性质，可以得到哪位同学做错了；
（2）根据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用被开方的数具有非负性；
（3）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值．
23．先阅读，再解答：由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题：
（1） 的有理化因式是 ；
（2）化去分母中根号： ； ；
（3）比较大小： .
【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】【解答】（1） 的有理化因式是 ；（2） ； ；（3） ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；（2）利用分母有理化进行计算即可；（3）通过分母有理化比较它们倒数的大小，然后进行判断即可．
24．计算题
（1）化简：（ ﹣ ）÷ +
（2）计算：（﹣3）﹣2+ ﹣|1﹣2 |﹣（ ﹣3）0．
【答案】（1）解：原式= ÷ ﹣ ÷ + = ﹣1+ = ﹣1=1﹣1=0；
（2）解：原式= +2 ﹣2 +1﹣1= ．
【解析】【分析】（1）先利用乘法分配律及二次根式的乘除法则计算，再进行计算化简即可。
（2）先段乘方运算，再算加减法运算。解题技巧：负整数指数幂转化为正整数指数幂的方法是，底数取倒数，正整数指数变成负整数指数。|1﹣2 |=2-1（大减小）。
25．计算：
（1） +（π﹣1）0﹣4 + （ ﹣1）
（2） + ﹣（ ﹣ ）
（3）|2 ﹣3|﹣（﹣ ）﹣2+ ．
【答案】（1）解：原式=3 +1﹣2 + ﹣
= +
（2）解：原式=2 +2 ﹣ +3
= +5
（3）解：原式=3﹣2 ﹣4+3
= ﹣1
【解析】【分析】（1）先根据零指数幂的意义计算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）先利用绝对值和负整数指数的意义计算，再把 化简，然后合并即可．
26．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
（1）试化简：
（2）已知a，b， c为△ABC的三边长，化简：+++；
（3）已知a、b满足求ab的值
【答案】（1）解：∵ 则
∴
（2）解：∵a，b， c为△ABC的三边长，
∴
∴+++
（3）解：∵，
∴
∴
∴当时，
则 解得：，
∵，
∴或
解得：或
∴或
当时，则无解，舍去，
综上：或
【解析】【分析】（1）题中的隐含条件为x≤2，再利用二次根式的性质先化简，再化简绝对值，然后合并同类项.
（2）利用三角形的三边关系定理，可知a+b+c＞0，a-b-c＜0，b-a-c＜0，c-b-a＜0，再利用二次根式的性质进行化简，然后合并同类项.
（3）利用二次根式的性质可知|2-a|=a+3≥0，可得到a的取值范围，同时可得到a-b+1≥0，再分情况讨论：当-3≤a≤2时，由|2-a|=a+3，可求出a的值，然后求出b的值，即可求出ab的值；当a＞2时，可知|2-a|=a+3无解，即可求解.
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