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第23章 图形的相似 单元综合提升卷
一、选择题
1．下列图形中 定相似的是（ ）
A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似
C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似
2．下列说法正确的有个（ ）
任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似
任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
4．如图，若，，与交于点，且，，则等于（ ）
A．3 B．6 C．7 D．12
5．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．把放大为原图形的2倍得到，则位似中心可以是（ ）
A．G点 B．F点 C．E点 D．D点
7．已知．则它们的周长比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）
A．AC2＝AD AB B．BC2＝BD BA C．CD2＝AD DB D．CD2＝CA CB
9．已知△ABC∽△A'B'C，AD和A'D'是它们的对应高线，若AD＝4，A'D'＝1，则△ABC与△A'B'C的面积比是（ ）
A．16：1 B．4：1 C．4：3 D．4：9
10．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝4，则AC的长为（ ）
A．（6-2） B．（2-2） C．（-1） D．（3-）
11．如图所示为我市某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏脚着地时捣头点E距离地面0.8米 ，则捣头点E着地时，踏脚点D距离地面（ ）
A．0.4 米 B．0.48米 C．0.5 米 D．0.8米
12．如图，将正方形EFGH的各边向外延长，使得AE=DH=CG= BF，顺次连结A，B，C，D，得到四边形ABCD，过点G作GD的垂线交AB于点M，若GM=GD，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，则 ．
14．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AB=2cm，PA>PB，则PA cm（结果保留根号）
15．如图，△ACE是以 ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7， ），则D点的坐标是 ．
16．如图，在中，，点在上，且，的平分线交于点，点是的中点，连接.若四边形和的面积都为3，则的面积为 .
17．如图， 是等腰三角形 的顶角平分线， ，点 ， 分别是 ， 边的中点，连结 ，则 .
18．如图，菱形 的边长为10，面积为80， ，⊙O与边 ， 都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于 ．
三、综合题
19．如图，在△ABC中，∠C=∠ADE，AB=3，AD=2，CE=5，
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）求AE的长.
20．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N.
（1）证明：AM2＝MN MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长.
21．如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，连接 交 于点 ，交 于点 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求线段 的长度.
22．在一次数学活动课上，王老师带领学生去测量教学楼的高度．在太阳光下，测得身高1.6米的小同学（用线段 表示）的影长 为1.1米，与此同时，测得教学楼（用线段 表示）的影长 为12.1米．
（1）请你在图中画出影长 ；
（2）求教学楼 的高度．
23．如图，一次函数 的图象与反比例函数 （k为常数，且 ）的图象交于A（1，a）、B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
24．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
（3）求△ABC的面积.
25．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（ ， ），点C′的坐标为（ ， ，S△A′B′C′：S△ABC= ．
26．如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E．矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程 的两个根，且 ．
（1）求线段OA，OC的长；
（2）求证： ，并求出线段OE的长；
（3）直接写出点D的坐标；
（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
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第23章 图形的相似 单元综合提升卷
一、选择题
1．下列图形中 定相似的是（ ）
A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似
C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似
【答案】D
【解析】【解答】解：A、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例，对应角一定相等，所以一定相似，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的对应边成比例，对应角相等，结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断．
2．下列说法正确的有个（ ）
任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似
任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
3．如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
4．如图，若，，与交于点，且，，则等于（ ）
A．3 B．6 C．7 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，延长到，使，连结
又∵，
∴
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
即
故答案为：C．
【分析】延长到，使，连结，先证明，可得，再将数据代入求出即可。
5．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：点，相似比为，
∴点的对应点的坐标是，即，或者，即，
故答案为：．
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
6．把放大为原图形的2倍得到，则位似中心可以是（ ）
A．G点 B．F点 C．E点 D．D点
【答案】B
【解析】【解答】由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质求解即可。
7．已知．则它们的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴△ABC与△DEF的相似比是，
∴它们的周长比为．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比求解即可。
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）
A．AC2＝AD AB B．BC2＝BD BA C．CD2＝AD DB D．CD2＝CA CB
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA．
故答案为：D.
【分析】直接根据射影定理结论，即AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA，对各选项进行判断即可.
9．已知△ABC∽△A'B'C，AD和A'D'是它们的对应高线，若AD＝4，A'D'＝1，则△ABC与△A'B'C的面积比是（ ）
A．16：1 B．4：1 C．4：3 D．4：9
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应高线，AD＝4，A'D'＝1，
∴两三角形的相似比为＝，
∴＝（）2＝，即△ABC与△A'B'C的面积比是16：1
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质：对应高线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
10．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝4，则AC的长为（ ）
A．（6-2） B．（2-2） C．（-1） D．（3-）
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝ AB＝2（ -1），
故答案为：B.
【分析】根据黄金分割的特点可得AC＝AB，然后将AB=4代入计算即可.
11．如图所示为我市某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏脚着地时捣头点E距离地面0.8米 ，则捣头点E着地时，踏脚点D距离地面（ ）
A．0.4 米 B．0.48米 C．0.5 米 D．0.8米
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵支撑柱AB的高为0.3米，踏脚着地时捣头点E距离地面0.8米 ，，
∴，
∴，
∴，
如图，当捣头点E着地时，
∵
∴
∴，即，
解得.
故答案为：B.
【分析】由题意可得△DAB∽△DEG，根据相似三角形的性质结合已知条件可得，当捣头点E着地时，△EAB∽△EDF，然后根据相似三角形的性质求解即可.
12．如图，将正方形EFGH的各边向外延长，使得AE=DH=CG= BF，顺次连结A，B，C，D，得到四边形ABCD，过点G作GD的垂线交AB于点M，若GM=GD，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解法一：
解：过点M作MN⊥BG于点N，
∵∠MGN=90°，∠NGH=90°，
∴∠DGH=∠MGN，
又∵∠DHG=∠MNG=90°，
∴△DHG∽△MNG，
∴，
∵，
∴设HG=3，HD=3x，
则GN=4，MN=4x，
∴NF=1，BN=3X-1，
∵MN⊥BG，AF⊥BG，
∴MN∥AF，
∴△BMN∽△BAF，
∴，
∴，
解得x=1，
∴AE=HD=3，ED=EH+HD=6，
∴，
∴，
本题答案为：D.
解法二：
解：过点G作PQ∥AD，交线段DC于点P，交线段QB于点Q，
根据一线三等角模型易得△MQG∽△GPD，
∵，
∴相似比为4：3，
设GP=3，DP=3x，（x＞1）
则QG=4x，MQ=4，
∵QP=BC=DP，
∴QB=PC=x+3，
根据一线三等角模型易得△BQG∽△GPC，
∴，
∴，
即，
解得x=3，
∴BQ=6，QG=12，PG=3，BC=15，
∴，
∴EH=BG-GC=，
∴，
本题答案为：D.
【分析】思路分析：首先通过前面三句话的描述可以得出，ABCDEFGH组成了赵爽弦图模型。最主要的是条件“GD⊥GM”和条件“”如何使用。结合整个图形，主要有两种思考方向：1、以G为旋转中心构造手拉手模型；2、以G为端点，构造一线三等角模型。
解法分析：此题最终需要求两条线段的比值，如果设两个未知数，那么在计算与转化过程中会大大增加难度，而且题目条件中并未出现长度数值，所以我们可以采用赋值法来减少未知数的个数.
二、填空题
13．已知，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴把代入得：
故答案为：
【分析】根据可得：，把代入即可求出答案.
14．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AB=2cm，PA>PB，则PA cm（结果保留根号）
【答案】
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，，
，
故答案为：.
【分析】本题考查黄金分割的概念．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
15．如图，△ACE是以 ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7， ），则D点的坐标是 ．
【答案】（5，0）
【解析】【解答】∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7， ），
∴C的坐标为（7， ）．
∴CH= ，CE= ，
∵△ACE是以 ABCD的对角线AC为边的等边三角形，
∴AC= ．
∴AH=9．
∵OH=7，
∴AO=DH=2．
∴OD=5．
∴D点的坐标是（5，0）．
【分析】根据题意先求出CH= ，CE= ，再求出AO=DH=2，最后求点的坐标即可。
16．如图，在中，，点在上，且，的平分线交于点，点是的中点，连接.若四边形和的面积都为3，则的面积为 .
【答案】10
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，BD=BA，
∴BE是△ABD的中线，
∴点E是AD的中点，
又∵F是AC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF∥CD，EF=CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△AEF：S△ADC=1：4，
∴S△AEF：S四边形DCFE=1：3，
∵四边形DCFE的面积为3，
∴S△AEF=1，
∴S△ADC =S△AEF+ S四边形DCFE =1+3=4，
∵点E是AD的中点，△BDE的面积为3，
∴=3，
∴=3+3+4=10.
故答案为：10.
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得点E是AD的中点，则EF是△ADC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF∥CD，EF=CD，从而可推出△AEF∽△ADC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可证得S△AEF：S△ADC=1：4，可推出S△AEF：S四边形DCFE=1：3，代入计算求出△AEF的面积及△ADC的面积；然后由点E是AD的中点，可求出△BAE的面积，然后根据，代入计算求出△ABC的面积.
17．如图， 是等腰三角形 的顶角平分线， ，点 ， 分别是 ， 边的中点，连结 ，则 .
【答案】
【解析】【解答】解： ， 平分 ，
，
点 ， 分别是 ， 边的中点，
是 的中位线，
，
故答案为： .
【分析】由等腰三角形的三线合一可得CD=BC，由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得EF=CD求解.
18．如图，菱形 的边长为10，面积为80， ，⊙O与边 ， 都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于 ．
【答案】
【解析】【解答】
∵菱形 的面积为80，
∴ ，
∵AB=10，
∴DM=8，
∴ =6，
∴BM=AB-AM=4，
在Rt△BDM中，BD= ，
设⊙O与边 相切于点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴∠AHO=∠AGB=∠DMB= ，
∴∠OAH+∠AOH=∠GAB+∠ABG=∠ABG+∠BDM= ，
∴∠AOH=∠BDM，
∴△AOH∽△DBM，
∴ ，
∴ ，
∴OH= ．
故答案为： ．
【分析】作DM⊥AB于M，连接AC、BD交于点G，利用菱形 的面积为80，得出DM=8，利用勾股定理得出AM的长，设⊙O与边 相切于点H，连接OH，则OH⊥AB，证出△AOH∽△DBM，得出 ，由此得出OH的值。
三、综合题
19．如图，在△ABC中，∠C=∠ADE，AB=3，AD=2，CE=5，
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）求AE的长.
【答案】（1）证明：∵∠C=∠ADE，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB
（2）解：由（1）知，△ADE∽△ACB，
则
∵AB=3，AD=2，CE=5，
∴ ，
得： （舍去）
∴AE的长是1
【解析】【分析】（1）由已知条件可知C=∠ADE，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）直接根据相似三角形的性质求解即可.
20．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N.
（1）证明：AM2＝MN MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，
∴ ＝ ，
∵AB∥DC，
∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AM2＝MN MP
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P，
∴△PCN∽△PDA，
∴ ＝ ，
∵DC：CP＝2：1，
∴ ＝ ＝ ，
又∵AD＝6，
∴NC＝2，
∴BN＝4
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AD∥BC，AB∥DC由平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所得三角形与原三角形相似得△ADM∽△NBM，△PDM∽△ABM， 于是可得比例式：， ＝ ，故得 ＝ ，再把比例式化为乘积式即可求解；
（2）根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PCN∽△PDA，于是可得比例式，结合已知可求解.
21．如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，连接 交 于点 ，交 于点 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求线段 的长度.
【答案】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ，
延长 到点 ，使 ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）证明： 是矩形，且 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
；
（3）解： 四边形 为平行四边形， ， 相交点 ，
， ，
在 中，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）由已知可证得 ， ，根据相似三角形的对应边成比例即可得到 ；
（3）由已知可得到 ， 的长，又因为 ，从而求得 的长，则根据 就得到了线段 的长度.
22．在一次数学活动课上，王老师带领学生去测量教学楼的高度．在太阳光下，测得身高1.6米的小同学（用线段 表示）的影长 为1.1米，与此同时，测得教学楼（用线段 表示）的影长 为12.1米．
（1）请你在图中画出影长 ；
（2）求教学楼 的高度．
【答案】（1）解：画射线AC，过E点作EF∥AC，交AD于点F，
就是所求画影长．
（2）解：根据题意，∠EDF=∠CBA=90°，
∵EF∥AC，
∴∠EFD=∠CAB，
∴ ．
，
，
（米），
答：教学楼 的高度为17.6米．
【解析】【分析】（1）根据题意作图求解即可；
（2）先求出 ∠EFD=∠CAB， 再证明
，最后代值计算求解即可。
23．如图，一次函数 的图象与反比例函数 （k为常数，且 ）的图象交于A（1，a）、B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
【答案】（1）解：把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，
得：a=-1+4，解得：a=3，
∴点A的坐标为（1，3）．
把点A（1，3）代入反比例函数y= ，
得：3=k，
∴反比例函数的表达式y= ，
联立两个函数关系式成方程组得： ，
解得： ，或 ，
∴点B的坐标为（3，1）．
（2）解：作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，连接PB，如图所示．
∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3，1），
∴点D的坐标为（3，-1）．
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得： ，
解得： ，
∴直线AD的解析式为y=-2x+5．
令y=-2x+5中y=0，则-2x+5=0，
解得：x= ，
∴点P的坐标为（ ，0）．
S△PAB=S△ABD-S△PBD= BD （xB-xA）- BD （xB-xP）
= ×[1-（-1）]×（3-1）- ×[1-（-1）]×（3- ）
= ．
【解析】【分析】（1）由题意把点A的坐标代入一次函数的解析式可求得a的值，而点A在反比例函数的图象上，用待定系数法可求得反比例函数的解析式；把一次函数和反比例函数的解析式联立解方程组即可求得点B的坐标；
（2）①由轴对称的性质作出点B关于x轴的对称点D，连接AD与x轴相交于点P，则点P为所求。用待定系数法可求得直线AD的解析式，直线AD与X轴相交于点P，令Y=0即可求得点P的坐标；
②根据 S△PAB=S△ABD-S△PBD即可求解。
24．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
（3）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
点C1的坐标（3，﹣2）
（2）解：作出△ABC关于y对称的△A2B2C2 ，点C2的坐标 （﹣3，2）
（3）解：S△ABC=2.5
【解析】【分析】关于X轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变。根据这一性质分析即可解答。
25．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（ ， ），点C′的坐标为（ ， ，S△A′B′C′：S△ABC= ．
【答案】（1）解：由图可得A(-2，0)，B(4，0)，C(2，4)，则A’(-1，0)，B’(2，0)，C’(1，2)，
如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）﹣1；0；1；2；1：4
【解析】【解答】解：（2）A′（﹣1，0），C′（1，2），
S△A′B′C′：S△ABC=1：4．
故答案为﹣1，0；1，2；1：4．
【分析】（1）利用△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2，进而将对应点坐标乘以二分之一的数即可；
（2）利用所画图形得出对应点坐标，进而利用相似三角形的性质得出面积比。
26．如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E．矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程 的两个根，且 ．
（1）求线段OA，OC的长；
（2）求证： ，并求出线段OE的长；
（3）直接写出点D的坐标；
（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：解方程x2﹣12x+32=0得，x1=8，x2=4
∵OA＞OC
∴OA=8，OC=4；
（2）证明：∵四边形ABCO是矩形
∴AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，
∵把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处
∴AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，
∴AD=OC，∠ADE=∠COE
在△ADE与△COE中，
∴△ADE≌△COE；
∵CE2=OE2+OC2，即（8﹣OE）2=OE2+42
∴OE=3；
（3）解：过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，
∴△OCE∽△MCD
∴
∴CM= ，DM= ，∴OM= ，
∴D（﹣ ， ）；
（4）解：存在；P（﹣ ，2 +3），（ ，3﹣2 ），（4，5），（ ， ）．
【解析】【解答】（4）解：存在；
∵OE=3，OC=4
∴CE=5，过P1作P1H⊥AO于H
∵四边形P1ECF1是菱形
∴P1E=CE=5，P1E∥AC，
∴∠P1EH=∠OAC
∴
∴设P1H=k，HE=2k
∴P1E= k=5
∴P1H= ，HE=2 ，
∴OH=2 +3
∴P1（﹣ ，2 +3），同理P3（ ，3﹣ 2），
当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形
∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，∴P2（4，5）；
当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形
∴EP4=5，EP4∥AC，
如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，则P4N=OG，P4G=ON，EP4∥AC，
∴ ，
设P4N=x，EN=2x，∴P4E=CP4= x
∴P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x
∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2=（ x）2，
∴x=
∴3﹣2x=
∴P4（ ， ），
综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣ ，2 +3），（ ，3﹣2 ），（4，5），（ ， ）．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）由四边形ABCD是矩形，得到AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，根据折叠的性质得到AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，根据全等三角形的判定得到△ADE≌△COE，根据勾股定理得到OE=3；
（3）过点D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，根据相似三角形的性质得到CM= ，DM= ，于是得到结论；
（4）过P1作P1H⊥AO于H，根据菱形的性质得到P1E=CE=5，P1E//AC，设P1H=k，HE=2k，根据勾股定理得到P1=k=5，于是得到P1（﹣ ，2 +3），同理P3（ ，3﹣2 ）；当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4时菱形，得到EP4=5，EP4//AC，如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，根据勾股定理求解即可。
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