2024-2025学年重庆市名校联盟高二上学期第一次联合考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年重庆市名校联盟高二上学期第一次联合考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 315.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-29 16:22:07 | ||
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文档简介
2024-2025学年重庆市名校联盟高二上学期第一次联合考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，若向量，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.过点，且与直线平行的直线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知点，，若是直线的方向向量，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.已知圆与轴相切，则( )
A. B. 或 C. 或 D.
5.如图，平行六面体的所有棱长均为，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则( )
A. B. C. D.
6.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A. ； B. ；
C. ； D. ；
7.已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为( )
A. ，或
B. ，或
C.
D.
8.点为圆：上的一动点，为圆：上一动点，为坐标原点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是夹角的单位向量，且，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 在方向上的投影向量为 D. 与的夹角为
10.点在圆：上，点，点，则下列结论正确的是( )
A. 直线关于点对称直线为
B. 点到直线距离的最大值为
C. 圆关于直线对称的圆的方程为
D. 当最大时，
11.在长方体中，，，动点在体对角线上含端点，则下列结论正确的有( )
A. 当为中点时，为锐角 B. 存在点，使得平面
C. 的最小值 D. 顶点到平面的最大距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，若，则____ ___．
13.方程表示圆，且坐标原点在该圆外，则的取值范围是 ．
14.已知圆，点，、为圆上两个不同的点，且若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知顶点、、．
求边的垂直平分线的方程；
若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
16.本小题分
如图，正方体中，、、分别为，，的中点．
证明：平面；
求与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
直线的方程为
证明：无论为何值，直线过定点；
已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的截距式方程．
18.本小题分
如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置平面
证明：平面；
若，试判断线段上是否存在一点不含端点，使得直线
与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积，若不存在，说明理由．
19.本小题分
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中为坐标原点．
若，，求，之间的额 曼哈顿距离和余弦距离；
若点，，求的最大值；
已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：由于，所以的斜率为，中点的坐标为，则由斜截式可得，直线的方程为；
当横、纵截距均为时，的斜率为，所以的方程为；
当横、纵截距均不为时，设的方程为，因为纵截距是横截距的倍，所以，又因为过点，所以，解得，所以直线的方程为，综上，直线的方程为或
16.
证明：连接和，设，
连接，则为中点，
在中，因为，分别为和的中点，
所以，又因为在中，因为为的中点，
所以，所以
又平面，平面，
所以平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建系如图：
设正方体的棱长为，
则，，，，
所以，，，
设为平面的一个法向量，
则，所以，取
设直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
．
所以与平面所成角的余弦值为．
17.
直线的方程变形为，
由，得到
又时，恒成立，
故直线恒过定点
由，
依题意，即，
令，得到，令，得到，
由，得到，
所以，
令，得到，
当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为，
又，，，
所以当的面积最小时，的周长为．
18.
在原图中，连接，由于，，
所以四边形是平行四边形，由于，所以四边形是菱形，
所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
在翻折过程中，，保持不变，
即，保持不变，
由于，，平面，
所以平面；
由上述分析可知，在原图中，，所以，
所以，
折叠后，若，则，
所以，
由于，，，平面，
所以平面，
由于，平面，所以，，
所以，，两两相互垂直，
由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，，，
设，，，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则，
，，，，
所以，即是的中点，
由于轴与平面垂直，所以到平面的距离为，
所以．
19.解：，
，
；
设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、．
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值．
因此，点有如下两种可能：
点为点，则，可得；
点在线段上运动时，此时与同向，取，
则．
因为，所以的最大值为．
易知，设，则
当时，，则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当时等号成立．
综上，满足条件的直线有且只有两条，和．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，若向量，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.过点，且与直线平行的直线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知点，，若是直线的方向向量，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.已知圆与轴相切，则( )
A. B. 或 C. 或 D.
5.如图，平行六面体的所有棱长均为，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则( )
A. B. C. D.
6.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A. ； B. ；
C. ； D. ；
7.已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为( )
A. ，或
B. ，或
C.
D.
8.点为圆：上的一动点，为圆：上一动点，为坐标原点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是夹角的单位向量，且，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 在方向上的投影向量为 D. 与的夹角为
10.点在圆：上，点，点，则下列结论正确的是( )
A. 直线关于点对称直线为
B. 点到直线距离的最大值为
C. 圆关于直线对称的圆的方程为
D. 当最大时，
11.在长方体中，，，动点在体对角线上含端点，则下列结论正确的有( )
A. 当为中点时，为锐角 B. 存在点，使得平面
C. 的最小值 D. 顶点到平面的最大距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，若，则____ ___．
13.方程表示圆，且坐标原点在该圆外，则的取值范围是 ．
14.已知圆，点，、为圆上两个不同的点，且若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知顶点、、．
求边的垂直平分线的方程；
若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
16.本小题分
如图，正方体中，、、分别为，，的中点．
证明：平面；
求与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
直线的方程为
证明：无论为何值，直线过定点；
已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的截距式方程．
18.本小题分
如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置平面
证明：平面；
若，试判断线段上是否存在一点不含端点，使得直线
与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积，若不存在，说明理由．
19.本小题分
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中为坐标原点．
若，，求，之间的额 曼哈顿距离和余弦距离；
若点，，求的最大值；
已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：由于，所以的斜率为，中点的坐标为，则由斜截式可得，直线的方程为；
当横、纵截距均为时，的斜率为，所以的方程为；
当横、纵截距均不为时，设的方程为，因为纵截距是横截距的倍，所以，又因为过点，所以，解得，所以直线的方程为，综上，直线的方程为或
16.
证明：连接和，设，
连接，则为中点，
在中，因为，分别为和的中点，
所以，又因为在中，因为为的中点，
所以，所以
又平面，平面，
所以平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建系如图：
设正方体的棱长为，
则，，，，
所以，，，
设为平面的一个法向量，
则，所以，取
设直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
．
所以与平面所成角的余弦值为．
17.
直线的方程变形为，
由，得到
又时，恒成立，
故直线恒过定点
由，
依题意，即，
令，得到，令，得到，
由，得到，
所以，
令，得到，
当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为，
又，，，
所以当的面积最小时，的周长为．
18.
在原图中，连接，由于，，
所以四边形是平行四边形，由于，所以四边形是菱形，
所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
在翻折过程中，，保持不变，
即，保持不变，
由于，，平面，
所以平面；
由上述分析可知，在原图中，，所以，
所以，
折叠后，若，则，
所以，
由于，，，平面，
所以平面，
由于，平面，所以，，
所以，，两两相互垂直，
由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，，，
设，，，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则，
，，，，
所以，即是的中点，
由于轴与平面垂直，所以到平面的距离为，
所以．
19.解：，
，
；
设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、．
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值．
因此，点有如下两种可能：
点为点，则，可得；
点在线段上运动时，此时与同向，取，
则．
因为，所以的最大值为．
易知，设，则
当时，，则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当时等号成立．
综上，满足条件的直线有且只有两条，和．
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