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第24章 解直角三角形 全优冲刺卷
一、选择题
1．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
2．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东55°方向的处，已知海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离的长是（ ）
A．6海里 B．海里
C．海里 D．海里
3．如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板 的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为（ ）
A．6㎝ B．4㎝
C．（6－ ）㎝ D．（ ）㎝
4．下列 的正方形网格中，小正方形的边长均为1， 如图放置，点 ， ， 都在格点上，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形ABCD中， ， ， ，AC与BD交于点E， ，则tan∠BAC 的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形 ，图中阴影部分的面积为（ ）
A． a2 B． a2
C．（1﹣ ）a2 D．（1﹣ ）a2
8．如图，为了测量旗杆AB的高度，小凡在距旗杆底部B点10.8米的C点处放置了一面镜子，然后沿着直线BC后退到点E，恰好能从镜子中观察到旗杆顶部的A点.已知小凡眼睛所在的D点离地面的高度是1.6米，CE=2.7米，则旗杆AB的高度是（ ）
A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9.6米
9．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
11．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
12．定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角.如图，在中，互为半余角，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在 中， ，D是边 的中点，若 ，则 .
14．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 .
15．计算： ．
16．在 中， ， ， ，则
17．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（ ，2），则cosα的值为 ．
18．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝.连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 .
三、综合题
19．经过江汉平原的沪蓉（上海﹣成都）高速铁路即将动工．工程需要测量汉江某一段的宽度．如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°．
（1）求所测之处江的宽度（sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48．）；
（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形．（不用考虑计算问题，叙述清楚即可）
20．正方形中，点为对角线上任意一点不与、重合，连接，过点作，交线段于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，交线段于点，与相交于点，若点是的中点，求证：；
（3）若，直接写出的值．
21．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别为AB、AC的中点，连接DE、EF、FD．
（1）若AB＝14，AC＝10，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD存在怎样的位置关系？证明你的结论．
22．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为已知原传送带长为
（1）求新传送带的长度；
（2）如果需要在货物着地点的右侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．
23．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN ，交AC于点E，连接BE.
（1）请根据作图过程回答问题：直线 是线段 的（ ）
A．角平分线 B．垂直平分线 C．高 D．中线
（2）若 中， ， ， ，求 的长.
24．随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．
（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么；
（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0.75，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
25．为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要理念，我省森林保护区开展了寻找古树活动.如图，古树AB直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了25米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处， .在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.6米.在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡CD的坡度 .（参考数据： ， ， ）
（1）求斜坡CD的高；
（2）求古树的高AB（结果保留1位小数）
26．如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝2，∠ACB＝90°，矩形BDEF的边BF＝1，BD＝2，矩形BDEF可以绕点B在平面内旋转，连接AE、BE、CD.
（1）证明：△ABE∽△CBD；
（2）当A、E、F三点共线时，求CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，直接写出FM的最大值.
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第24章 解直角三角形 全优冲刺卷
一、选择题
1．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且
∴△ABC是钝角三角形.
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的三角形函数值求出再利用三角形的内角和求出∠C的度数，即可得到答案。
2．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东55°方向的处，已知海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离的长是（ ）
A．6海里 B．海里
C．海里 D．海里
【答案】B
【解析】【解答】由题意可知∠NPA＝55°，PA＝6海里，∠ABP＝90°．
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，PA＝6海里，
∴AB＝AP cosA＝6cos55°海里．
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得∠A＝∠NPA＝55°，再利用解直角三角形的方法求出AB＝AP cosA＝6cos55°海里即可。
3．如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板 的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为（ ）
A．6㎝ B．4㎝
C．（6－ ）㎝ D．（ ）㎝
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，
∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，
∴BC= AB=6，AC=AB sin30°= ．
由旋转的性质可知B′C=BC=6，
∴AB′=AC－B′C= ．
在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，
∴B′D=AB′ tan30°= （cm）．
故答案为：C．
【分析】如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，在Rt△ABC中∠A=30°，可得BC= AB=6，AC=AB sin30°= ．根据旋转的性质可得B′C=BC=6，从而求出AB′=AC－B′C= ，在Rt△AB′D中，∠A=30°，由B′D=AB′ tan30°即可求出结论.
4．下列 的正方形网格中，小正方形的边长均为1， 如图放置，点 ， ， 都在格点上，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】如图，过点B做 于点C
∴
∵ 的正方形网格中，小正方形的边长均为1
∴ ，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理可得，再利用锐角三角函数计算求解即可。
5．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠CDA．
∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°，
∴∠B=∠DAC．
∴△ABD∽△CAD．
∴DB：AD=AD：DC．
∵BD：CD=3：2，
∴设BD=3x，CD=2x．
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】先证明△ABD∽△CAD，再得到DB：AD=AD：DC，求出AD的值，利用锐角三角函数进行求解即可。
6．如图，在四边形ABCD中， ， ， ，AC与BD交于点E， ，则tan∠BAC 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB=90°
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠BAC+∠EAD=90°
∴∠ABC=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AED=90°
∴∠EAD+∠ADB-90°，
∴∠ADB=∠BAC
∴△ABC∽△DAB
∴
∵
∴AD=2BC
∴AB2=2BC2，
∴
在Rt△ABC中
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质及余角的性质去证明∠BAC=∠ADB，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DAB，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，再根据已知可得到AD=2BC，由此可得到BC与AB之间的数量关系；然后利用锐角三角函数的定义可求出tan∠BAC的值。
7．如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形 ，图中阴影部分的面积为（ ）
A． a2 B． a2
C．（1﹣ ）a2 D．（1﹣ ）a2
【答案】D
【解析】【解答】解：设B′C′与CD交于点E，连接AE.
在△AB′E与△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，
，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE.
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴AE=2DE，
∵ ，即 ，
∴DE= ，
∴S四边形AB′ED=2S△ADE=2
∴阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB′ED= .
故答案为：D.
【分析】连接AE.根据HL易证△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°，在直角△ADE中，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理求得DE= .再利用三角形的面积公式及S四边形AB′ED=2S△ADE，即可求解.
8．如图，为了测量旗杆AB的高度，小凡在距旗杆底部B点10.8米的C点处放置了一面镜子，然后沿着直线BC后退到点E，恰好能从镜子中观察到旗杆顶部的A点.已知小凡眼睛所在的D点离地面的高度是1.6米，CE=2.7米，则旗杆AB的高度是（ ）
A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9.6米
【答案】A
【解析】【解答】解：过点C作CN⊥BE于点C，CN是镜面EB的法线
由题意可知∠E=∠B=90°，BC=10.8，DE=1.6，CE=2.7，
由光学原理可知：∠DCN=∠ACN
∴∠DCE=90°-∠DCN，∠ACB=90°-∠ACN，
∴∠DCE=∠ACN，
∴△DCE∽△ACB
∴即
解之：AB=6.4.
故答案为：A.
【分析】过点C作CN⊥BE于点C，CN是镜面EB的法线，即可得到∠DCN=∠ACN，由此可推出∠DCE=∠ACN，再证明△DCE∽△ACB，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长。
9．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由已知得： ，
，
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的定义求解即可。
10．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
【答案】B
【解析】【解答】解：以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，则OA=OD，△AOD是等腰直角三角形．
易证△ABO≌△OCD，则OB=CD=4cm．
在直角△ABO中，根据勾股定理得到OA2=20；
在等腰直角△OAD中，过圆心O作弦AD的垂线OP．
则OP=OA sin45°= cm．
故答案为：B．
【分析】先证明△ABO≌△OCD，再利用勾股定理求出OA2=20，最后利用锐角三角函数进行求解即可。
11．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
【答案】B
【解析】【解答】解：依题意可得：△ABF∽△ADE，
∴ ，
即 ，
解得：AD＝62.5，
BD＝AD AB＝62.5 5＝57.5尺．
故选：B．
【分析】根据题意得出△ABF∽△ADE，然后根据相似三角形的性质列出比例式，即可解答.
12．定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角.如图，在中，互为半余角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
∵=，
∴设BC=a，AC=2a，
∵∠A，∠ABC互为半余角，
∴∠A+∠ABC=45°，
∴∠DCB=∠A+∠ABC=45°，
在Rt△CDB中，BD=BC sin45°=a =a，CD=BC cos45°=a =a，
∵AC=2a，
∴AD=AC+CD=2a+a=3a，
在Rt△ABD中，
∴tanA===，
故答案为：B.
【分析】要求tanA的值，想到构造直角三角形，根据已知可得∠ACB的补角为45°，所以过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，分别在Rt△CDB和Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
二、填空题
13．如图，在 中， ，D是边 的中点，若 ，则 .
【答案】3
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，则CD= AB.
∵AB=6，
∴CD= AB=3.
故答案为：3.
【分析】根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
14．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 .
【答案】13
【解析】【解答】解：在Rt△BCE和Rt△BCF中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM= BC=4，FM= BC=4，又因EF=5，所以△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13.
故答案为：13.
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM、FM的长，由△EFM的周长的计算方法列式算出答案即可.
15．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】由 ，可得答案．
16．在 中， ， ， ，则
【答案】
【解析】【解答】解：由题意作图如下：
∵∠C=90°， ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据题意利用三角函数的定义可以求得AC，再利用勾股定理可求得AB．
17．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（ ，2），则cosα的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：
∵点M的坐标为（ ，2），
∴ON＝ ，MN＝2，
∴OM＝ ，
∴cosα＝ ；
故答案为： ．
【分析】根据点的坐标算出OM的值，再根据余弦的算法求出即可.
18．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝.连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 .
【答案】5
【解析】【解答】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
∵BP＝，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，
∵，，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴即EQ＝QD，
∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴，
∴DQ+CQ的最小值为5.
故答案为：5.
【分析】连接AC、AQ，根据正方形的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质得∠ACB＝∠PCQ＝45°，推出∠BCP＝∠ACQ，进而根据等角的同名三角函数值相等得∠ACB=∠PCO，则可判断出△BCP∽△ACQ，根据相似三角形的性质可求出AQ=2，故Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，再根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△QAE∽△DAQ，得EQ＝QD，所以DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，用勾股定理算出CE，即可得出答案.
三、综合题
19．经过江汉平原的沪蓉（上海﹣成都）高速铁路即将动工．工程需要测量汉江某一段的宽度．如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°．
（1）求所测之处江的宽度（sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48．）；
（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形．（不用考虑计算问题，叙述清楚即可）
【答案】（1）解：在Rt△BAC中，∠ACB=68°，
∴AB=AC tan68°≈100×2.48=248（米）
答：所测之处江的宽度约为248米．
（2）解：
①延长BA至C，测得AC做记录；②从C沿平行于河岸的方向走到D，测得CD，做记录；③测AE，做记录．根据△BAE∽△BCD，得到比例线段，从而解答
【解析】【分析】 （1）在Rt△BAC中利用tan68°即可求出河宽AB.
（2）还可利用全等、相似等办法解决求河宽的问题。
20．正方形中，点为对角线上任意一点不与、重合，连接，过点作，交线段于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，交线段于点，与相交于点，若点是的中点，求证：；
（3）若，直接写出的值．
【答案】（1）证明：如图1，过点作于点，交于点，
则，
四边形是正方形，
，
，
；
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
；
，
，
，
≌，
．
（2）证明：如图2，连接、，
，
，
点是的中点，
，
，，
，，
，
，
；
，，
，
，
，，
≌，
，
．
（3）解：=
【解析】【解答】解：（3）如图3，过点作于点，交于点，连接，设正方形的边长为，
由（1）、（2）得，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，根据正方形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠EQF=90°，则∠APE=∠EQF，易得四边形ABQP为矩形，则AP=BQ，由等腰直角三角形的性质可得∠CBD=∠CDB=45°，则∠QEB=∠CBD，推出BQ=EQ，则AP=EQ，证明△AEP≌△EFQ，据此可得结论；
（2）连接CE、CH，根据直角三角形斜边上中线的性质可得EH=CH=BG=BH，由等腰三角形的性质可得∠HEB=∠HBE，∠HCB=∠HBC，结合外角的性质可得∠EHG=2∠HBE，∠CHG=2∠HBC，则∠EHC=90°，根据勾股定理可得CE=EH，证明△CDE≌△ADE，据此解答；
（3）过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，连接CE，设正方形ABCD的边长为a，由（1）、（2）得EF=EC=AE，则CQ=FQ，易得四边形PQCD是矩形，则CQ=PD，由已知条件可知DE=DB，根据勾股定理可得DB=a，则DE=a，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得2PD2=DE2，表示出PD，然后表示出CQ、FC、BF，据此解答.
21．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别为AB、AC的中点，连接DE、EF、FD．
（1）若AB＝14，AC＝10，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD存在怎样的位置关系？证明你的结论．
【答案】（1）解：在Rt△ADB中，E为AB的中点，
∴DE=AB=×14=7，AE=AB=×14=7，
同理：DF=AF=AC=5，
∴四边形AEDF的周长=7+7+5+5=24
（2）解：EF⊥AD，
证明如下：∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∵AD⊥BC，
∴EF⊥AD．
【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DE，DF，AF的长，同时求出AE的长；然后求出四边形AEDF的周长.
（2）利用三角形的中位线定理可证得EF∥BC，由AD⊥BC，可证得结论.
22．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为已知原传送带长为
（1）求新传送带的长度；
（2）如果需要在货物着地点的右侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．
【答案】（1）解：在中，，
，
在中，，
，
答：新传送带的长度为；
（2）解：在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
货物需要挪走．
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AD的长，再根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半得出AC=2AD，即可得出答案；
（2）先求出BC的长，从而求出PC的长，再进行判断，即可得出答案.
23．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN ，交AC于点E，连接BE.
（1）请根据作图过程回答问题：直线 是线段 的（ ）
A．角平分线 B．垂直平分线 C．高 D．中线
（2）若 中， ， ， ，求 的长.
【答案】（1）B
（2）解：由（1）可知直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ ，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【解答】解：（1）连接AM ， BM ，根据作图过程可得，AM=BM ，NB=NA，
∴点M与点N都在线段AB的垂直平分线上，
又∵经过两点有且只有一条直线，
∴可得直线MN是线段AB的垂直平分线；
故答案为：B；
【分析】（1）直接根据作图步骤进行判断即可；
（2） 由（1）可知直线MN是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2CE=8，则EA=EB=8，据此计算.
24．随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．
（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么；
（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0.75，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）解：作AB⊥x轴，
∵A（2，2），
∴OA=2 ，
∴∠AOB=45°，
∴给机器人发的指令为：[2 ，45°]；
（2）解：作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，
在Rt△ABC中： ，
解得x=2.5，
又∵tan∠BAC= ，
∴∠BAC=37°，
∵∠OAB=45°，
∴∠OAC=37°+45°=82°，
∴∠DAC=180°-82°=98°，
∴输入的指令为[2.5，98°]．
【解析】【分析】（1）求出∠AOB与OA的大小即可得解；
（2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，根据勾股定理可以求得PC的值，然后根据锐角三角函数的定义可以得到∠DAC的值，从而得到答案。
25．为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要理念，我省森林保护区开展了寻找古树活动.如图，古树AB直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了25米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处， .在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.6米.在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡CD的坡度 .（参考数据： ， ， ）
（1）求斜坡CD的高；
（2）求古树的高AB（结果保留1位小数）
【答案】（1）解：延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=3：4，BC=CD=25米，
∴设DG=3x，则CG=4x.
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2=DC2，即（3x）2+（4x）2=252，
解得x=5，
∴DG=15米，CG=20米，
故斜坡CD的高为15米；
（2）解：过点E作EM⊥AB于点M，
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM=BG=25+20=45米，BM=EG=15+0.6=15.6米.
在Rt△AEM中，
∵∠AEM=15°，
∴AM=EM tan15°≈45×0.27=12.15米，
∴AB=AM+BM=12.15+15.6=27.75≈27.8米.
即古树的高约为27.8米.
【解析】【分析】（1）延长ED交BC于G，根据坡度可设DG=3x，则CG=4x，在Rt△CDG中，利用勾股定理求出x，进而可得DG、CG的值；
（2）过点E作EM⊥AB于点M，易得四边形EGBM是矩形，则EM=BG=45米，BM=EG=15.6米，然后在Rt△AEM中，利用三角函数的概念求出AM，接下来根据AB=AM+BM计算即可.
26．如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝2，∠ACB＝90°，矩形BDEF的边BF＝1，BD＝2，矩形BDEF可以绕点B在平面内旋转，连接AE、BE、CD.
（1）证明：△ABE∽△CBD；
（2）当A、E、F三点共线时，求CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，直接写出FM的最大值.
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝2，∠ACB＝90°，
在Rt△BDE中，BF＝1，BD＝2，
△ABE∽△CBD；
（2）当A、E、F三点共线时，分两种情况讨论：
① ，如图，
在Rt△AFB中，
△ABE∽△CBD
；
②如图，
在Rt△AFB中，
△ABE∽△CBD
综上所述， 或
（3）如图，延长EF至点G，使得EF=FG，连接BG，此时△BEG是等腰三角形，
当 三点共线，此时FM最大
， 此时， 三点共线，
分别是BE、AE的中点，
是△EGA的中位线，
.
【解析】【分析】（1） 首先由勾股定理求出AB，BE，然后求出tan∠EBD、tan∠ABC的值，可得∠EBD=∠ABC，推出∠ABE=∠CBD，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）当∠AED=90°时，由勾股定理求出AE，然后根据相似三角形的性质可得CD；当∠AFB=90°时，由勾股定理求出AF，进而求出AE，证明△ABE∽△CBD，由相似三角形的性质就可求出CD；
（3）延长EF至点G，使得EF=FG，连接BG，此时△BEG是等腰三角形，当G、B、A三点共线，此时FM最大，由平行线的性质可得∠G=∠DBA，接下来根据中位线的性质进行求解.
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