2024-2025学年福建省泉州市安溪县高二上学期11月期中质量监测数学试题（含答案）

2024-2025学年福建省泉州市安溪县高二上学期11月期中质量监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线与平行，则实数( )
A. B. C. 或 D.
2.四面体的所有棱长都是，则( )
A. B. C. D.
3.已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量不能构成空间的一个基底的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
4.空间直角坐标系中，已知，，，则下列哪个点在平面内( )
A. B. C. D.
5.九章算术是中国古代数学的经典著作，书中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”在如图所示的“堑堵”中，，是的中点，则到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知点在圆上，点，则的值可能为( )
A. B. C. D.
7.三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为( )
A. B. C. D.
8.已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直如图所示在平行六面体中如图所示，下列结论正确的是( )
A. 向量平行于平面
B. 当时，
C. 若，，，则
D. 三棱锥的体积
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 的最小值为 D. 无最大值
10.已知正方体的棱长为，点为的中点，点在正方形内包括边界，则下列说法正确的是( )
A. 不存在点，使得过，，三点的截面面积为
B. 的最小值为
C. 若，则点的轨迹长度等于
D. 若是上的动点，三角形周长最小值为
11.已知圆：，点在直线上，过作圆的两条切线，为切点，则下列判断正确的是( )
A.
B. 当轴时，四边形的面积为
C. 原点到直线距离的最大值为
D. 的外接圆恒过两个定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线：与：的距离为 ．
13.已知，，则与夹角的余弦值为 ．
14.已知圆：与和圆：，圆和圆，圆都内切，则当圆半径最小时，圆的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：，直线与交于点
求过点且与垂直的直线的方程；
点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程．
16.本小题分
已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，．
用向量表示向量，并求的长度；
设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由．
17.本小题分
如图所示，在三棱锥中，平面，，，为中点．

证明：；
为上异于，的点，平面与平面夹角余弦值为，求．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，两点，，点满足．
求点的轨迹的方程；
若直线：，，点，求满足条件的所有点构成的图形的面积；
过点作直线交曲线于，两点，求面积的最大值．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为．
已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积；
若集合记集合中所有点构成的几何体为，如图所示，求几何体相邻两个面有公共棱所成二面角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
令，则，解得，
则，因为直线的斜率，则，
则直线的方程为，即．
取点，设其关于直线的对称点，
则，解得．
则点所在的直线的方程，即．


16.
因为，
，
所以；
所以
，
所以．
假设存在满足条件，所以，
因为，，三点共线，所以设，
所以，
所以，解得
故满足条件．

17.
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，且平面，所以，
因为，为中点，所以，
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以．
以为原点，分别以，过平行于方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
设，且，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以
取，则，所以，
设平面的一个法向量为，
所以
取，则，所以，
所以，
解得或舍去
所以为中点，所以．


18.
设，由可得，
化简可得，
所以点的轨迹的方程为．
由题意可得有解，
因为，
所以点的集合为，即，即以为圆心，为半径的圆，
所以面积为

设直线方程为，
联立消去并整理可得，
，
设，
则，
由弦长公式可得，
又到直线的距离，
所以，
令，则，
所以，当且仅当即时取等号，
所以面积的最大值为．

19.
由题知，直线的一个方向向量坐标为，平面一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则有，
所以，直线与平面所成角的余弦值为．
对于，当时，，它表示直线在第一象限及坐标轴上的部分；同理，
当时，；
当时，；
当时，．
这四条直线围成一个以为顶点的正方形，其面积．
因为，所以几何体是一个底面为正方形，高为的柱体．
根据柱体体积公式，这里，，所以．
由集合知，
由一个边长是的正方体和个高为的正四棱锥构成，如图所示，
，，
设几何体相邻两个面有公共棱所成二面角，
平面，设平面法向量，
平面，设平面法向量，
所以，
根据图意，知道几何体相邻两个面有公共棱所成二面角钝角，
所以几何体相邻两个面有公共棱所成二面角的余弦值为

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