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第一章 勾股定理 单元综合提升卷
一、选择题
1．下列数据中，哪一组不是勾股数( )
A．7，24，25 B．9，40，41 C．3，4，5 D．8，15，19
2．下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．8，15，17 C．3，4，5 D．2，3，4
3．如图，在 的正方形网格中，以 为边画直角 ，使点 在格点上，满足这样条件的点 共（ ）个．
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离 米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米
5．若一个直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则其斜边（ ）
A．不变 B．扩大一倍 C．扩大两倍 D．扩大四倍
6．若△ABC的三边长a，b，c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．观察下列几组数据：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25.其中能作为直角三角形三边长的有（ ）组.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
11．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点 出发，沿长方体表面到点 处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A． B． C． D．
12．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．3.75 D．4
二、填空题
13．若直角三角形的斜边长为，一条直角边长为1，则另一条直角边长为 .
14．如图，是的中线，若，则 ．
15．如图，∠C=∠ADB=90°，AD=1，BC= CD=2， 则AB= .
16．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 .
17．如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上.若PA＝AB＝5，点P到AD的距离是3，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 .
18．已知 中， ， ， 边上的高 ，则边 的长为 ．
三、综合题
19．如图，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF=45°，CD⊥BC且CD=BE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：EF2=BE2+CF2．
20．
（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
21．如图，在 ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．现将 ABC进行折叠，使点A恰好与点B重合．
（1）判断 ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕DE的长．
22．已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．
（1）如图1，若AB＝ ，点A，E，P恰好在一条直线上时，求EF的长；
（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，求证：BF＝EF；
（3）若AB＝ ，设BP＝2，求QF的长．
23．如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元.
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C会受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
25．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若，AM=2.5，MN=6.5，BN=6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长.
26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值.
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第一章 勾股定理 单元综合提升卷
一、选择题
1．下列数据中，哪一组不是勾股数( )
A．7，24，25 B．9，40，41 C．3，4，5 D．8，15，19
【答案】D
【解析】【解答】解： 、 ，能构成直角三角形， 是正整数， 故是勾股数；
、 ，能构成直角三角形， 是正整数， 故是勾股数；
、 ，能构成直角三角形， 是正整数， 故是勾股数；
、 ，不能构成直角三角形， 故不是勾股数；
故答案为：D．
【分析】欲判断是否为勾股数， 必须根据勾股数是正整数， 同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方 ．
2．下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．8，15，17 C．3，4，5 D．2，3，4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，∴A能构成直角三角形；
∵ ，∴B能构成直角三角形；
∵ ，∴C能构成直角三角形；
∵ ，∴D不能构成直角三角形；
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理，分别进行判断即可。
3．如图，在 的正方形网格中，以 为边画直角 ，使点 在格点上，满足这样条件的点 共（ ）个．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．
故答案为：D．
【分析】在5×5的正方形网格中，分以AB为直角边和以AB为斜边画直角△ABC，即可得到点C的个数．
4．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离 米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米
【答案】A
【解析】【解答】解：若假设水渠深BD设为x米，则竹竿BC的长(x+0.5)米，由题意得，
x2+1.52=(x+0.5)2，
解之得：x=2.
故答案为：A．
【分析】经分析知：可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的一条直角边CD是1.5米，另一条直角边是水渠深BD设为x米，斜边BC是竹竿的长（x+0.5）米．根据勾股定理得x2+1.52=(x+0.5)2，即可解答．
5．若一个直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则其斜边（ ）
A．不变 B．扩大一倍 C．扩大两倍 D．扩大四倍
【答案】B
【解析】【解答】设两直角边长度为a，b，斜边为c，则有 ，此时
当两直角边扩大一倍时，即为2a，2b，则有
此时斜边扩大了一倍.
即应选：B.
【分析】设两直角边长度为a，b，斜边为c，利用勾股定理可得；当两直角边扩大一倍时，即为2a，2b，利用勾股定理可得，据此判断即可.
6．若△ABC的三边长a，b，c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可知，（a-b）=0或（a2+b2-c2）=0
解得a=b或a2+b2=c2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
故答案为：D。
【分析】根据式子左边的乘积为0，即可分别得到两个式子的值为0，求出答案即可。
7．观察下列几组数据：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25.其中能作为直角三角形三边长的有（ ）组.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：①82+152=172，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；
②72+122≠152，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
③122+152≠202，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，从而一一判断得出答案.
8．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x.
∵D是BC的中点，
∴BD＝ 3.
在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2＝NB2+BD2，即x2＝（9﹣x）2+33，
解得：x＝5.
AN＝5.
故答案为：C.
【分析】由翻折的性质可知DN＝AN，则BN可用含AN的代数式表示，在Rt△BDN中，由勾股定理可得关于AN的方程，解方程即可求解.
9．有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】【解答】①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，c是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确.
共2个正确.
故答案为：C.
【分析】要判断一个三角形是否是直角三角形，根据勾股定理的逆定理只需验证两较短边的平方是否等于最长边的平方即可判断求解.
10．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】【解答】∵(a-b)2+|a2+b2-c2|＝0，∴a-b=0且a2+b2-c2=0，∴a=b且a2+b2=c2，∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：C.
【分析】根据偶次方及绝对值的非负性可得a-b=0且a2+b2-c2=0，利用等腰三角形的性质及勾股定理的逆定理进行判断即可.
11．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点 出发，沿长方体表面到点 处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图：
根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
⑴AB2=（2+3）2+42=41；
⑵AB2=32+（4+2）2=45；
⑶AB2=22+（4+3）2=53；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB2=41，即AB=
故答案为：B
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
12．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．3.75 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：
由折叠可得：
设 则
故答案为：C.
【分析】由勾股定理求解 ，由对折可得 设 则 利用勾股定理求解x，再利用勾股定理可得答案.
二、填空题
13．若直角三角形的斜边长为，一条直角边长为1，则另一条直角边长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵直角三角形的斜边长为，一条直角边长为1，
∴另一条直角边长为
故答案为：.
【分析】直接利用勾股定理计算即可求出另一条直角边的长.
14．如图，是的中线，若，则 ．
【答案】12
【解析】【解答】解：∵是的中线，若，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：12．
【分析】根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出AD的长即可。
15．如图，∠C=∠ADB=90°，AD=1，BC= CD=2， 则AB= .
【答案】3
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=CD=2，
∴BD= =2 .
∵∠ADB=90°，BD=2 ，AD=1，
∴AB= =3.
故答案为：3.
【分析】在直角三角形BCD中，根据勾股定理先求出BD的长度，在直角三角形ABD中，根据勾股定理再求出AB的长度.
16．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 .
【答案】20cm
【解析】【解答】如图1，
∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，
∴BM=18﹣6=12，BN=10+6=16，
∴MN= =20；
如图2，
∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，
∴PM=18﹣6+6=18，NP=10，
∴MN= =2 .
∵20＜2
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20.
故答案为：20cm
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.
17．如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上.若PA＝AB＝5，点P到AD的距离是3，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵AG＝3，AP＝AB＝5，
∴PG＝4，
∴BG＝8，
∴PB＝
故这只蚂蚁的最短行程应该是
故答案为 ：.
【分析】先将立体转成平面图形，画出图形，然后利用勾股定理求出最短距离，即PB的长度
18．已知 中， ， ， 边上的高 ，则边 的长为 ．
【答案】21或9
【解析】【解答】解：如图，锐角△ABC中，AB=17，AC=10，BCBC边上高AD=8，
在Rt△ABD中AB=17，AD=8，由勾股定理得：
BD2=AB2 AD2=172 82=225，
∴BD=15，
在Rt△ACD中AC=10，AD=8，由勾股定理得
CD2=AC2 AD2=102 82=36，
∴CD=6，
∴BC的长为BD+DC=15+6=21；
在钝角△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上高AD=8，
BD2=AB2 AD2=172 82=225，
∴BD=15，
在Rt△ACD中AC=10，AD=8，由勾股定理得
CD2=AC2 AD2=102 82=36，
∴CD=6，
∴BC的长为DC BD=15 6=9．
故答案为21或9．
【分析】分在锐角三角形中和在钝角三角形中讨论，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC的长即可．
三、综合题
19．如图，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF=45°，CD⊥BC且CD=BE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：EF2=BE2+CF2．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCD﹣∠ACB=45°=∠B，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）由（1）知，△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=∠CAE+∠BAE=∠BAC=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠DAE﹣∠EAF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴DF=EF，
在Rt△DCF中，根据勾股定理得，DF2=CF2+CD2，
∵CD=BE，
∴EF2=CF2+BE2；
【解析】【分析】（1）先根据 △ABC是等腰直角三角形， 得出 AB=AC， 利用全等三角形的性质即可证出 △ABE≌△ACD（SAS）；
（2） 由（1）知，△ABE≌△ACD， 得出 AE=AD，∠BAE=∠CAD， 证出 △AEF≌△ADF（SAS），得出DF=EF，在Rt△DCF中，根据勾股定理得，DF2=CF2+CD2，CD=BE，即可得出结论。
20．
（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
【答案】（1）解：设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，
∵AC2＝AB2＋BC2，
∴（x＋2）2＝x2＋62，
解得x＝8，
∴AB＝8cm，
∴AC＝8＋2＝10（cm）；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，
∴AE＝AC EC＝4cm；
②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB BD＝（8 y）cm，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（8 y）2＝42＋y2，
解得：y＝3，
∴DE＝3cm．
【解析】【分析】（1）设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，由AC2＝AB2＋BC2，得出（x＋2）2＝x2＋62，解得出x的值，即可得出答案；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，得出AE＝AC EC＝4cm；②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB BD＝（8 y）cm，在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，得出（8 y）2＝42＋y2，解出y的值即可。
21．如图，在 ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．现将 ABC进行折叠，使点A恰好与点B重合．
（1）判断 ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕DE的长．
【答案】（1）解： 是直角三角形，
理由是：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 是直角三角形；
（2）由折叠可知 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）根据折叠的性质得出 ， ，求得 ，设 ，则 ，根据勾股定理即可得出结论。
22．已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．
（1）如图1，若AB＝ ，点A，E，P恰好在一条直线上时，求EF的长；
（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，求证：BF＝EF；
（3）若AB＝ ，设BP＝2，求QF的长．
【答案】（1）解：△ABE是等边三角形，A、E、P在同一直线上，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴∠APB＝30°，
∴，
∴点E是AP的中点，
∴QE⊥AP，
∴AE=AP=，
∴
∵∠APQ＝60°，∠APB＝30°，
∴∠QPF＝90°，
∴PQ2+PF2=FQ2即
解之：QF＝4，
∴EF＝QF QE＝1.
（2）证明：∵∠BAP＝∠BAE﹣∠EAP＝60°﹣∠EAP，
∠EAQ＝∠QAP﹣∠EAP＝60°﹣∠EAP，
∴∠BAP＝∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
，
∴△ABP≌△AEQ（SAS），
∴∠AEQ＝∠ABP＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEQ﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵∠EBF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BEF＝∠EBF，
∴EF＝BF
（3）解：如图2，过点F作FD⊥BE于点D，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝ ，
由（2）得∠EBF＝30°，
在Rt△BDF中，BD＝ BE＝ ，
∴BF＝ ＝1，
∴EF＝1，
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE＝BP＝2，
∴QF＝QE+EF＝2+1＝3
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得AB＝AE，∠BAE＝60°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AP的长；利用等边三角形的性质可求出AE的长，利用勾股定理求出EQ的长；再证明∠QPF＝90°，利用勾股定理求出PQ的长，然后根据EF＝QF QE，可求出EF的长.
（2）利用已知易证∠BAP＝∠EAQ，利用SAS证明△ABP≌△AEQ，利用全等三角形的性质可推出∠AEQ＝∠ABP＝90°，可求出∠BEF的度数，由此可证得∠BEF＝∠EBF，利用等角对等边可证得结论.
（3）过点F作FD⊥BE于点D利用等边三角形的性质可求出BE的长及BD的长，利用解直角三角形求出BF的长，可得到EF的长；利用全等三角形的性质可求出QE的长；然后根据QF=QE+EF，代入计算求出QF的长.
23．如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元.
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？
【答案】（1）解：根据分析，水厂的位置M为：
（2）解：如图2，
，
在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30（千米），BF＝BD+DF＝30+10＝40（千米），
∴BE＝ （千米），
∴铺设水管长度的最小值为50千米，
∴铺设水管所需费用的最小值为：
50×3＝150（万元）.
答：最低费用为150万元.
【解析】【分析】（1）作点A关于直线l的对称点E，连接BE交于直线l于一点，即为点M，此时铺设水管的费用最少；
（2）过点E作EF⊥BD交于点F，利用勾股定理求出BE的长，再乘以每千米3万元，即得最低费用.
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C会受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D点，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C会受到台风影响；
（2）解：由（1）得CD=240km，
如图所示，
当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，
此时△ECF为等腰三角形，
∵ ，
∴EF=140km，
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7h，
∴台风影响该海港持续的时间有7h．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间。
25．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若，AM=2.5，MN=6.5，BN=6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长.
【答案】（1）解：点M，N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴以AM，BN，MN为边的三角形是直角三角形，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点；
（2）解：设BN=x，
则MN=30-AM-BN=25-x，
①当MN是最长边时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴ ，
∴ ，
解得：x=12；
②当BN是最长边时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴ ，
∴ ，
解得：x=13；
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得AM2+BN2=MN2，则以AM，BN，MN为边的三角形是直角三角形，据此判断；
（2）设BN=x，则MN=25-x，①当MN是最长边时，AM2+BN2=MN2，代入求解可得x的值；②当BN是最长边时，AM2+MN2=BN2，代入求解可得x的值.
26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值.
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2 AC2＝102 62＝64，
∴BC＝8（cm）
（2）解：由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t 8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝62＋（2t 8）2，
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
即：102＋[62＋（2t 8）2]＝（2t）2，
解得：t＝ ，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝ ；
（3）解：①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t 8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，
所以（2t）2＝62＋（2t 8）2，
解得：t＝ ，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝ .
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理解答即可；
（2） 由于∠B＜90°，所以当△ABP为直角三角形 ，分两种情况 ①当∠APB为直角时，点P与点C重合；②当∠BAP为直角时 ，据此分别解答即可；
（3） 当△ABP为等腰三角形时，分三种情况，①当AB＝BP时②当AB＝AP时③当BP＝AP时 ，据此分别解答即可.
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